Naanálise matemática etopologia diferencial , asclasses de diferenciabilidade são famílias defunções com certas propriedades quanto à suacontinuidade e de suasderivadas .
A classe das funções suaves corresponde àquelas funções que possuem derivadas de todas as ordens.
Sejaf : D → R {\displaystyle f:D\to \mathbb {R} } D ⊆ R {\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} }
f {\displaystyle f} C 0 ( D , R ) {\displaystyle C^{0}(D,\mathbb {R} )} função contínua .f {\displaystyle f} C 1 ( D , R ) {\displaystyle C^{1}(D,\mathbb {R} )} função contínua .f {\displaystyle f} C n ( D , R ) {\displaystyle C^{n}(D,\mathbb {R} )} função contínua .f {\displaystyle f} C ∞ ( D , R ) {\displaystyle C^{\infty }(D,\mathbb {R} )} C n ( D , R ) {\displaystyle C^{n}(D,\mathbb {R} )} n {\displaystyle n} f {\displaystyle f} analítica ou de classeC ω ( D , R ) {\displaystyle C^{\omega }(D,\mathbb {R} )} série de Taylor em uma vizinhança de cada ponto de seu domínio. Toda função analítica é suave.Sejaf : D → R m {\displaystyle f:D\to \mathbb {R} ^{m}} D ⊆ R n {\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{n}}
A funçãof (x )=x parax ≥0 e 0 caso contrário. A funçãof (x )=x 2 sin(1/x ) parax >0. Um função suave não analítica. A função
f ( x ) = { x se x ≥ 0 , 0 se x < 0 {\displaystyle f(x)={\begin{cases}x&{\mbox{se }}x\geq 0,\\0&{\mbox{se }}x<0\end{cases}}} é contínua, mas não é diferenciável, é portanto de classeC 0 {\displaystyle C^{0}} C 1 {\displaystyle C^{1}}
A função
f ( x ) = { x 2 sin 1 / x se x ≠ 0 , 0 se x = 0 {\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{2}\sin {1/x}&{\mbox{se }}x\neq 0,\\0&{\mbox{se }}x=0\end{cases}}} é diferenciável, com derivada
f ′ ( x ) = { 2 x sin 1 / x − cos 1 / x se x ≠ 0 , 0 se x = 0. {\displaystyle f'(x)={\begin{cases}2x\sin {1/x}-\cos {1/x}&{\mbox{se }}x\neq 0,\\0&{\mbox{se }}x=0.\end{cases}}} Como o limite decos ( 1 / x ) {\displaystyle \cos(1/x)} x {\displaystyle x} f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} f {\displaystyle f} C1 .
A função
f ( x ) = { e − 1 / ( 1 − x 2 ) se | x | < 1 , 0 caso contrario {\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{-1/(1-x^{2})}&{\mbox{ se }}|x|<1,\\0&{\mbox{ caso contrario }}\end{cases}}} é suave, e portanto de classeC ∞ {\displaystyle C^{\infty }} analítica , portanto não é de classeC ω {\displaystyle C^{\omega }} Exp(-1/x) .
Afunção exponencial é analítica e, portanto, de classeC ω {\displaystyle C^{\omega }}
