Mecânica do contínuo
Leis Conservação da massa Conservação do momento Conservação da energia Desigualdade da entropia
Mecânica dos sólidos Sólidos Tensão Deformação Compatibilidade Deformação finita Deformação infinitesimal Elasticidade linear Plasticidade Flexão Lei de Hooke Teoria de falha dos materiais Mecânica da fratura Mecânica do contato Sem fricção Friccional
Mecânica dos fluidos Fluidos Estática dos fluidos Dinâmica dos fluidos Empuxo Equações de Navier-Stokes Pressão Princípio de Bernoulli Princípio de Arquimedes Princípio de Pascal Turbulência Líquidos Tensão superficial Capilaridade Gases Atmosfera Lei de Boyle-Mariotte Lei de Charles Lei de Gay-Lussac Lei combinada dos gases Plasma
Reologia Viscosidade Newtoniano Não newtoniano Viscoelasticidade Fluidos inteligentes Magnetoreológico Eletroreológico Ferrofluidos Reometria Reômetro
Cientistas Bernoulli Boyle Cauchy Charles Euler Gay-Lussac Hooke Navier Newton Pascal Poiseuille Stokes
v d e

Umaequação de compatibilidade é umaequação adicional a um problema mecânico de equilíbrio necessária para assegurar que a solução buscada é compatível com as condições de contorno ou para poder assegurar a integralidade do campo de deformações.

Na aproximação doproblema elástico, as equações de compatibilidade são equações que se cumprem-se garantem a existência de um campo de deslocamentos compatível com as deformações calculadas. Em outras palavras, as equações de compatibilidade são as condições necessárias de integrabilidade para o campo de deslocamentos em termos dos componentes do tensor tensão.

Em elasticidade linear umadeformação será fisicamente possível se é compatível com um determinado campo de deslocamentos${\displaystyle \mathbf{u}}$, ou seja, se cumpre-se as seguintes relações para os componentes dotensor deformação:

Normalmente os componentes do campo de deslocamento são desconhecidos pelo que necessitamos uma relação expressável só em termos dos componentes do tensor deformação. A expressão buscada é precisamente:^[1]

${\displaystyle \mathrm{\forall }i,j:\frac{{\mathrm{\partial }}^2{\epsilon }_{ij}}{\mathrm{\partial }{x}_k\mathrm{\partial }{x}_k}+\frac{{\mathrm{\partial }}^2{\epsilon }_{kl}}{\mathrm{\partial }{x}_i\mathrm{\partial }{x}_j}=\frac{{\mathrm{\partial }}^2{\epsilon }_{il}}{\mathrm{\partial }{x}_k\mathrm{\partial }{x}_j}+\frac{{\mathrm{\partial }}^2{\epsilon }_{kj}}{\mathrm{\partial }{x}_i\mathrm{\partial }{x}_l}}$[1]

Estas últimas relações são precisamente as que são conhecidas comoequações de compatibilidade daelasticidade linear.

Em teoria da elasticidade não linear a relação entre o vetor de deslocamentos e os componentes do tensor tensão são não lineares e substancialmente mais complicadas:

${\displaystyle {\epsilon }_{ij}=\frac{1}{2}\left[\frac{\mathrm{\partial }{u}_i}{\mathrm{\partial }{x}_j}+\frac{\mathrm{\partial }{u}_j}{\mathrm{\partial }{x}_i}+\sum _k\left(\frac{\mathrm{\partial }{u}_k}{\mathrm{\partial }{x}_i}\ast \frac{\mathrm{\partial }{u}_k}{\mathrm{\partial }{x}_j}\right)\right]}$

Pelo que as equações de compatibilidade em elasticidade não linear também sãonão-lineares:

${\displaystyle \mathrm{\forall }i,j\frac{{\mathrm{\partial }}^2{\epsilon }_{ij}}{\mathrm{\partial }{x}_k\mathrm{\partial }{x}_k}+\frac{{\mathrm{\partial }}^2{\epsilon }_{kl}}{\mathrm{\partial }{x}_i\mathrm{\partial }{x}_j}+\sum _r{\mathrm{\Gamma }}_{jlr}{\mathrm{\Gamma }}_{ikr}=\frac{{\mathrm{\partial }}^2{\epsilon }_{il}}{\mathrm{\partial }{x}_k\mathrm{\partial }{x}_j}+\frac{{\mathrm{\partial }}^2{\epsilon }_{kj}}{\mathrm{\partial }{x}_i\mathrm{\partial }{x}_l}\ast \sum _r{\mathrm{\Gamma }}_{jkr}{\mathrm{\Gamma }}_{ilr}}$[2]

Onde ossímbolos de Christoffel são dados por:

${\displaystyle {\mathrm{\Gamma }}_{abc}=\frac{\mathrm{\partial }{\epsilon }_{ac}}{\mathrm{\partial }{x}_b}+\frac{\mathrm{\partial }{\epsilon }_{cb}}{\mathrm{\partial }{x}_a}-\frac{\mathrm{\partial }{\epsilon }_{ab}}{\mathrm{\partial }{x}_c}}$

A equação[2] pode ser reinterpretada em termos de geometria diferencial, se consideramos que o sólido se deforma sobre um espaço euclidiano uma vez deformado as coordenadas materiais deixaram de ser cartesianas e a medição de distâncias requererá o uso de um tensor métrico da forma:

${\displaystyle g_{ij}=\frac{1}{2}({\delta }_{ij}-{\epsilon }_{ij})}$

E nesse caso a condição[2] não expressa mais que o tensor de Riemann do espaço euclidiano expresso nesta métrica deve ser nulo${\displaystyle R_{ijkl}=0}$

Com frequência, em problemas mecânicos ou de resistência de materiaishiperestáticos o cálculo de alguma força ou outra grandeza resulta insuficiente a partir das condições deequilíbrio. Nesse caso, as equações de equilíbrio formam um sistema compatível indeterminado. Dado que a situação física real apresenta uma solução unívoca, ou seja, as peças mecânicas tomam valores de tensão concretos e as reações reais tem valores totalmente determinados, concluímos que as equações de equilíbrio devem ser complementadas com algum outro tipo de informação adicional que faça que o problema seja determinado.

De fato, muitos problemas se tornam completamente determinados se levamos em conta que os deslocamentos observados na realidade tem valores determinados. Assim se introduzimos equações que expressem certos deslocamentos em função do resto de variáveis, podemos chegar a construir um sistema de equações compatível determinado. Este sistema estaria formado pelas equações de equilíbrio, e várias equações adicionais chamadas equações de compatibilidade. Por exemplo na figura (Fig. 1) se mostra um problema unidimensional consistente na aplicação de uma força em um ponto intermediário embutido em seus extremos. Neste caso, o problema éestaticamente indeterminado ouhiperestático. A análise de forças leva a uma única equação para as duasreações incógnitas existentes:

${\displaystyle R_A+R_B=P}$

Neste casoP é uma força conhecida. Para poder determinar as reações observamos que a parte esquerda (entreR_A eP) estátracionada e portanto se estirará, ainda que a parte direita (entreP eR_B) estácomprimida e portanto se encolherá. Dado que a peça é um únicosólido deformável o estiramento da parte esquerda compensará exatamente o estiramento da parte direita, do contrário a peça se romperia. Portanto estiramento e encurtamento devem ser compatíveis, essa é precisamente a condição de compatibilidade adicional que resolve o problema:

As equações adicionais podem ser obtidas por diversos métodos, por exemplo usando osteoremas de Castigliano ou usando a equação dacurva elástica. Se o problema é suficientemente simples, como no exemplo anterior, pode encontrar-se a equação de compatibilidade diretamente.

Referências

• Timoshenko, Stephen; Godier J.N. (1951). McGraw-Hill, ed.Theory of elasticity. [S.l.: s.n.] A referência emprega parâmetros obsoletos|coautores= (ajuda)
• Ortiz Berrocal, Luis (1998). McGraw-Hill, ed.Elasticidad. Aravaca (Madrid): [s.n.] pp. 94–96.ISBN 84-481-2046-9 
• Olivella, X.; Agelet de Saracibar, C. (2000).«3»(PDF). In: Edicions UPC.Mecánica de Medios Continuos para Ingenieros. Barcelona: [s.n.] pp. 71–75.ISBN 978-84-8301-412-7 A referência emprega parâmetros obsoletos|coautores= (ajuda)

• Mecânica

• !Páginas que usam referências com parâmetros obsoletas