Uma elipse é a intersecção de uma superfície cônica com um plano que a corta numa curva fechada.
Emgeometria, umaelipse é um tipo deseção cônica: se uma superfície cônica é cortada com um plano que não passe pela base e que não intersete as duas folhas do cone, a interseção entre ocone e oplano é uma elipse. Para uma prova elementar disto, vejaesferas de Dandelin.
Em alguns contextos, pode-se considerar ocírculo e osegmento de reta como casos especiais de elipses; no caso do círculo, o plano que corta o cone é paralelo à sua base.
A elipse tem doisfocos, que no caso do círculo são sobrepostos. O segmento de reta que passa pelos dois focos chama-se eixo maior, e o segmento de reta que passa pelo ponto médio do eixo maior e é perpendicular a ele chama-se eixo menor. Fixando o comprimento do eixo maior e diminuindo o comprimento do eixo menor, obtêm-se elipses cada vez mais próximas de um segmento de reta. A elipse é também a intersecção de uma superfície cilíndrica com um plano que a corta numa curva fechada.
As medidas da elipse são dadas pela metade dos eixos maior e menor sendo chamadas, respetivamente, de semieixo maior () e semieixo menor ().
Algebricamente, uma elipse é acurva noplano cartesiano definida por uma equação da forma
tal que
onde todos os coeficientes sãoreais, e onde mais de uma solução, definindo um par de pontos () na elipse, existe. O caso corresponde ao círculo. Quando os eixos da elipse sãoparalelos aos eixos coordenados, a equação anterior torna a forma mais simples:
onde () é o centro da elipse, e e são os semieixos da elipse.
A elipse é o conjunto dos pontos do plano tais que a soma das distâncias de a dois pontos fixos (focos) é constante. Oteorema de Dandelin mostra que esta caracterização da elipse é equivalente à definição como secção cónica.
Ou seja, se então a elipse é o conjunto dos pontos tais que em que (no caso especial do círculo, os pontos coincidem então com sendo oraio do círculo).
A excentricidade da elipse é definida por A excentricidade também pode ser calculada pelo ângulo característico () da elipse.[1]
Tem-se (de novo, apenas no caso da circunferência, o caso corresponderia aosegmento de reta, mas normalmente corresponde a umaparábola). Se for o semi-eixo maior e o semi-eixo menor da elipse, então peloteorema de Pitágoras vem
Aárea de uma elipse com semieixo maior e semieixo menor é igual a (semieixo significa metade do eixo). Se a excentricidade da elipse é nula, os semieixos são iguais ficamos então com um círculo de raio Neste caso, a fórmula da área resulta na expressão mais conhecida para a área de um círculo:
As linhas FM e F'M formam ângulos iguais com a tangente à elipse no ponto M.
A elipse tem a propriedade de que a bissectriz do ângulo formado pelos dois focos e por um ponto qualquer da elipse (como vértice) é perpendicular à tangente à elipse nesse ponto.
Como consequência, qualquer raio luminoso ou onda sonora, que parta de um dos focos, será reflectido pela elipse na direcção do outro foco.
Segundo esta propriedade, numa mesa debilhar elíptica, qualquer choque entre duas bolas, acontecido num foco, será refletido e fará bater em uma terceira bola estacionada no outro foco.
Num plano de três dimensões, esse é o princípio da sala de sussurro que existe em museus e exposições: duas pessoas estacionadas nos focos de umelipsoide podem conversar entre si em voz baixa e mesmo assim serem ouvidas por uma pessoa estacionada no outro foco. NoCapitólio dos Estados Unidos há uma sala elíptica onde a propriedade refletora da elipse teria sido usada pelo presidenteJohn Quincy Adams para escutar conversas que decorriam do outro lado da sala.
Outro fato curioso sobre as elipses é que, trabalhando com sua excentricidade (), podemos obter tanto circunferências (casos de excentricidade nula e, portanto, com distância focal igual a zero) quanto segmentos de reta (casos de excentricidade igual a ou seja, a distância focal coincide com o tamanho do eixo maior).
O acompanhamento portelescópio do reflexo da intensa luminosidade de umasupernova nos gases e poeira que se encontram sobre oelipsoide, cujos focos são a supernova e aTerra, tem permitido compreender melhor a estrutura domeio interestelar.[2]
Aprimeira lei de Kepler afirma que aórbita dosplanetas em redor doSol é elíptica, estando o Sol num dos focos. Dos seiselementos orbitais necessários para descrever completamente a órbita do planeta dois são os parâmetros que definem a elipse.
