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Domínio de integridade

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
 Nota: Não confundir comDomínio (matemática).

Umdomínio de integridade (ouanel de integridade)é umanel(D,+,.){\displaystyle (D,+,.)} com as seguintes propriedades adicionais:

  1. ∃1∈D (1≠0∧∀x∈D (1.x=x.1=x)){\displaystyle \exists 1\in D\ (1\neq 0\land \forall x\in D\ (1.x=x.1=x))} (elemento neutro)
  2. ∀x,y∈D (x.y=y.x){\displaystyle \forall x,y\in D\ (x.y=y.x)} (comutatividade)
  3. ∀x,y∈D (x.y=0→(x=0∨y=0)){\displaystyle \forall x,y\in D\ (x.y=0\rightarrow (x=0\lor y=0))} (não existemdivisores de zero)

Exemplos

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Corpo de frações

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Ver artigo principal:Corpo de frações

Para todo domínio de integridadeD existe um corpoK,D⊆K,{\displaystyle D\subseteq K,} tal que todo elemento deK pode ser escrito da formaa/b, sendoa,b∈D.{\displaystyle a,b\in D.}

Este é ocorpo de frações deD, e éúnico no seguinte sentido algébrico: seK1{\displaystyle K_{1}} é outro corpoK1⊇D{\displaystyle K_{1}\supseteq D} em que todo elemento deK1{\displaystyle K_{1}} pode ser escrito comoa/b coma,b∈D,{\displaystyle a,b\in D,} entãoK eK1{\displaystyle K_{1}} sãoisomorfos.

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