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Emmatemática, umdifeomorfismo é umisomorfismo nacategoria dasvariedades diferenciáveis. Ele é umainvertível que leva uma variedade diferenciável em outra, de modo que tanto a função quanto sua inversa sejamsuaves.

Duasvariedades diferenciáveis dizem-sedifeomeomorfas se existir umaaplicação entre essas variedades que sejadiferenciável,invertível e a suainversa seja diferenciável.

Seja${\displaystyle f:M\to N}$ uma aplicação entrevariedades diferenciáveis. Então${\displaystyle f}$ diz-se um difeomorfismo se as funções${\displaystyle {\varphi }_{i}f{\psi }_i^{-1}}$ foreminvertíveis e tanto elas como as suas inversas tiveremderivadas de todas as ordens.

1 Seja${\displaystyle M\subset R^n}$ um subconjunto. Se${\displaystyle f:M\to {\mathbb{R}}^k}$ é uma aplicação suave, então o gráfico de${\displaystyle f}$ é difeomorfo a${\displaystyle M}$.

2 Para qualquer${\displaystyle p\in S^n}$, tem-se que${\displaystyle \frac{S^n}{p}}$ é difeomorfo a${\displaystyle R^n}$. Assim este difeomorfismo é a canônica aplicação estereográfica.

3 Sejam${\displaystyle \alpha :I\to {\mathbb{R}}^3}$ uma curva regular e${\displaystyle s:I\to \alpha (I)=J}$ a função comprimento de arco a partir de${\displaystyle t_0\in I}$. Então${\displaystyle s:I\to J}$ é um difeomorfismo.

4 A aplicação${\displaystyle h=X^{-1}\circ Y}$${\displaystyle :}$${\displaystyle Y^{-1}(W)\to X^{-1}(W)}$ é um difeomorfismo${\displaystyle C^{\mathrm{\infty }}}$.^[1]

• Homeomorfismo
• Equivalência homotópica
• Geometria diferencial

Referências

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• Portal da matemática

• Topologia diferencial

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