Emmatemática, umacurva oulinha curva é, em termos gerais, um objeto semelhante a umalinha reta, mas que não é obrigatoriamenteretilíneo. Tecnicamente, uma curva é o lugar geométrico ou trajetória seguida por um ponto que se move de acordo com uma ou mais leis especificadas, neste caso, as leis comporão uma condição necessária e suficiente para a existência do objeto definido. Frequentemente há maior interesse nas curvas em um espaço euclidiano de duas dimensões (curvas planas) ou três dimensões (curvas espaciais).
Em tópicos diferentes dentro da matemática o termo possui significados distintos dependendo da área de estudo, então o sentido exato depende do contexto. Um exemplo simples de uma curva é a espiral, mostrada a direita. Um grande número de outras curvas já foi bem estudado em diversos campos da matemática.
Se o intervalo for fechado e as imagens dos pontos inicial e final coincidirem a curva diz-sefechada.Se a função for injectiva (exceptuando a possibilidade de a curva ser fechada), a curva diz-sesimples.A curva pode ainda ser adjectivada com as propriedades adicionais que tenha a função. Por exemplo, se a função fordiferenciável, a curva diz-sediferenciável, etc.
A curva é dita sersimples, ou umacurva deJordan, se ela é injetiva, ou seja, se para todo, em, tem-se. Se é um intervalo fechado, também é permitida a possibilidade de que (esta convenção torna possível falar sobre curvas simples "fechadas", veja abaixo). Em outras palavras, este tipo de curva "não cruza a si mesma e não tem pontos faltando".[1]
Se para algum (outros além das extremidades de), então é chamado de umponto duplo (oumúltiplo) da curva.
Umacurva plana é uma curva para a qualX é oplano euclidiano — estes são os primeiros exemplos encontrados — ou em alguns casos oplano projetivo.Umacurva espacial é uma curva para a qualX é tridimensional, sendo geralmente oespaço euclidiano; umacurva torcida (skew curve) é uma curva espacial que não está contida em nenhum plano. Essas definições também se aplicam acurvas algébricas (veja abaixo). No entanto, no caso das curvas algébricas é muito comum não impor a restrição de que a curva tenha pontos definidos apenas sobre os números reais.
Esta definição de curva captura nossa noção intuitiva de curva como sendo uma figura geométrica contínua, conexa que é "parecida" com uma reta, sem espessura e desenhável sem interrupção, embora ela também inclua figuras que dificilmente podem ser chamadas de curvas no sentido comum. Por exemplo, a imagem de uma curva pode preencher umquadrado no plano (curva de Peano). A imagem de uma curva plana simples pode ter umadimensão de Hausdorff maior do que um (vejaFloco de neve de Koch) e até mesmomedida de Lebesgue positiva.[2] (o último exemplo pode ser obtido através de uma pequena variação na construção da curva de Peano). Acurva do dragão é outro exemplo incomum.
Curvas n-dimensionais são frequentemente utilizadas na mecânica para representar a trajetória que uma partícula irá percorrer, se deslocando conforme o tempo passa. Assim sendo, é comum expressar as n coordenadas da posição da partícula como funções do tempo, em um vetorr de funções, sendo cada componente uma coordenada.
Em muitos desses casos, é conveniente descrever o espaço não através dos vetores unitários cartesianos convencionais, mas de um conjunto análogo de vetores unitários mutuamente ortogonais que tenham a partícula como origem - ou seja, eles mudam a todo instante para continuarem acompanhando ela, sendo, portanto, vetores de funções do tempo. No caso n = 3, esses vetores são chamados deTangente,Normal eBinormal - conhecidos como oTriedro de Frenet-Serret.
T é descrito como sendo o vetor unitário tangente à curva, que aponta na direção que a partícula está se movendo. Ora, pois a direção de tangência sempre será dada pela derivada, e para se ter um vetor unitário basta dividi-lo por sua norma, portanto
N é descrito como sendo o vetor unitário ortogonal aT que aponta para o centro de curvatura da trajetória. Ora, pois se um vetor varia sua orientação no tempo mas não sua norma (é o caso deT), então sua derivada será justamente um vetor ortogonal a ele que aponta para o centro de curvatura de sua trajetória; e como já foi dito, um vetor se torna unitário se for dividido por sua norma; isso nos dá
B é descrito como sendo o vetor unitário ortogonal a ambosT eN, que aponte no sentido positivo do deslocamento da partícula. Ele será, portanto, dado por
Grandezas características de trajetórias de partículas
A curvatura em um ponto de uma trajetória representa a relação entre as alterações no vetor tangente unitárioT e a função posição da partícula. ConsiderandoC, uma função vetorial lisa no espaço bi ou tridimensional, parametrizada em termos de comprimento de arcos, podemos associar a intensidade de encurvamento deC com a taxa e variação deT em relação as. Portanto, a curvatura deC,, é dada por
Assim, é possível observar que, seC for uma reta, a direção deT mantem-se constante. Logo, a derivada do vetor tangente unitário, nesse caso, é zero, bem como a curvatura deC, resultado esperado para o gráfico representado pela equação da reta.
Como a trajetória de uma partícula é usualmente representada em função do tempo, a curva C é descrita pela função vetorial. Sendo assim, é preciso mudar o parâmetro des parat da relação encontrada para curvatura, para isso, utilizamos a regra da cadeia
e correlacionamos a taxa e a função vetorial
.
Dessa forma, a curvatura de uma trajetória é definida por
É o raio do círculo em torno do qual a partícula parece girar enquanto executa um trecho infinitesimal de sua trajetória. Já foi dito aqui que uma grande curvatura é dada por uma grande variação da orientação da partícula em um curto espaço de curva, mas na realidade a ideia que se tem de um grande raio de curvatura é justamente o contrário: a partícula seguir numa trajetória suave, sem variar muito sua orientação, por grandes comprimentos de curva. Então, o raio da curva é dado por
É uma grandeza que foi criada para medir “o quão tridimensional uma curva é”. Ora, pois o vetor que sai do plano para o 3D é justamente o vetor Binormal; quanto mais este vetor variar sua trajetória, mais a curva estará sendo imersa no espaço tridimensional. Por isso, define-se o módulo da torção por
Movimento de uma partícula ao longo de uma curva C
Existem fórmulas muito mais práticas quando queremos calcular a curvatura, essas podem ser obtidas a partir do estudo do movimento de partículas ao longo de uma curva C, oriundas de conceitos físicos.
