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EmMatemática, na área deteoria dos números, ocrivo de Selberg é uma técnica para estimar o tamanho de conjuntos crivados (ou "peneirados", pois crivo significa peneira) deinteiros positivos que satisfazem um conjunto de condições que são expressadas porcongruência. Foi desenvolvida porAtle Selberg na década de 1940.

Em termos deteoria dos crivos o crivo de Selberg é dotipo combinatório: isto é, provém do uso cauteloso doprincípio da inclusão-exclusão. Selberg substitui os valores dafunção de Möbius que surgem por um sistema de pesos que são então otimizados segundo o problema dado. O resultado retorna um limite superior para o tamanho do conjunto crivado.

SejaA um conjunto de inteiros positivos ≤x e sejaP um conjunto de primos. Para cadap inP, sejaA_p o conjunto de elementos deA divisíveis porp e estender isso para fazerA_d a intersecção deA_p parap dividindod, onded é um produto de primos distintos deP. Ainda seja A₁ a notação para o próprioA. Sejaz um número real positivo eP(z) a notação para o produto dos primos emP ≤z. A finalidade deste crivo é estimar

${\displaystyle S(A,P,z)=\left|A\setminus \bigcup _{p\mid P(z)}{A}_p\right|.}$

Assumimos então que |A_d| pode ser estimado por

${\displaystyle \left|A_d\right|=\frac{1}{f(d)}X+R_d.}$

ondef é umafunção multiplicativa eX   =   |A|. Seja a funçãog obtida a partir def pelafórmula de inversão de Möbius, isto é

${\displaystyle g(n)=\sum _{d\mid n}\mu (d)f(n/d)}$

${\displaystyle f(n)=\sum _{d\mid n}g(d)}$

onde μ é afunção de Möbius.Put

então

Muitas vezes, é útil para estimarV(z) pelo limite

${\displaystyle V(z)\ge \sum _{d\le z}\frac{1}{f(d)}.}$

• NoTeorema de Brun–Titchmarsh no número deprimos em progressão aritmética;
• O número den ≤x de tal forma quen éco-primo comφ(n) é assintótico para e^−γx / log log log (x) .

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• Diamond, Harold G.;Halberstam, Heini (2008).A Higher-Dimensional Sieve Method: with Procedures for Computing Sieve Functions. Col: Cambridge Tracts in Mathematics.177. With William F. Galway.Cambridge:Cambridge University Press.ISBN 978-0-521-89487-6.Zbl 1207.11099 
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• Selberg, Atle (1947). «On an elementary method in the theory of primes».Norske Vid. Selsk. Forh. Trondheim.19: 64–67.ISSN 0368-6302.Zbl 0041.01903 

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