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Cone

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Este artigonão citafontes confiáveis. Ajude ainserir referências. Conteúdo nãoverificável pode ser removido.—Encontre fontes:ABW • CAPES • Google (notícias • livros • acadêmico)(Setembro de 2011)

Nota: Para outros significados, vejaCone (desambiguação).

Um cone.

Emgeometria, ocone é umsólido geométrico obtido quando se tem umapirâmide cuja base é umpolígono regular, o número de lados da base tende ao infinito e a medida de lado do polígono tende a zero.

Classificação

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Os cones podem ser divididos em:

Reto;
Oblíquo;
Equilátero.

Reto

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O cone é dito reto quando a sua base é umcírculo e areta que liga o vértice superior aocentro dacircunferência da sua base (isto é, o seu eixo) éperpendicular ao plano da base.Em um cone circular reto, cuja base é um círculo, a face lateral é formada porgeratrizes (g), que são linhas retas que ligam o vértice superior a pontos constituintes da circunferência do círculo. Oconjunto desses pontos, ou seja, a totalidade da circunferência, tem o nome de diretriz, porque é a direção que as geratrizes tomam para criar a superfície cônica. Pode-se dizer também que o cone é gerado por umtriângulo retângulo que roda sobre um eixo formado por um doscatetos, no caso de ser um cone reto.

Oblíquo

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Denomina-se oblíquo quando não é um cone reto, ou seja, quando o eixo não é perpendicular ao plano da base.

Equilátero

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Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua seção meridiana é uma regiãotriangular equilátera e neste caso a medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.

Cone de um espaço vetorial

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Um subconjuntoC doespaço vetorialE chama-se umcone quando, para todo elementov pertencente aC e todot > 0real, tem-se quetv pertence aC.

Fórmulas

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Ovolume, ${\textstyle V}$ , de um cone de altura, ${\textstyle h}$ , e base com raio, ${\textstyle r}$ , é ${\textstyle 1/3}$ do volume docilindro com as mesmas dimensões, ou seja:

$V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h$

O centro de massa (considerando que o cone possuidensidade uniforme) está localizado no seu eixo a ${\textstyle 1/4}$ da distância da base ao eixo.Aárea da superfície de um cone ${\textstyle A}$ é dada por:

$A=\pi r(r+g)$

onde, ${\textstyle g={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$ é a geratriz ou altura lateral do cone. O primeiro termo nesta fórmula, ${\textstyle \pi r^{2}}$ é a área da base, enquanto que o segundo termo ${\textstyle \pi rg}$ é a área lateral. Ou seja, a área total é a área lateral mais a área da base:

_{$A=\pi r\cdot g+\pi r^{2}$}

Com uso de cálculo integral

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Aqui, obteremos as fórmulas do volume e área total do cone usando de técnicas decálculo diferencial e integral. Um cone de altura ${\textstyle h}$ e raio ${\textstyle r}$ corresponde ao sólido de revolução que se obtém ao rotacionar a função:

$y={\frac {r}{h}}x$

em torno do eixo ${\textstyle x}$ .

Volume

Cone de revolução.

Notemos que a área da seção circular do cone é dada por:

$A=\pi y^{2}=\pi \left({\frac {r}{h}}x\right)^{2}$

Para um deslocamento infinitesimal ${\textstyle dx}$ tem-se o incremento de volume:

$dV=\pi {\frac {r^{2}}{h^{2}}}x^{2}dx$

Então, integrando de ${\textstyle 0}$ a ${\textstyle h}$ obtemos o volume do cone:

$\int _{0}^{h}dV=\pi {\frac {r^{2}}{h^{2}}}\int _{0}^{h}x^{2}dx\Rightarrow V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h$

Área total

O cálculo da área de superfície total do cone se divide em duas partes: o cálculo da área da base e o cálculo da área lateral. A base é um círculo de área:

$A_{b}=\pi r^{2}$

Agora, para obtermos a área da superfície lateral, vamos empregar um raciocínio semelhante ao do cálculo do volume. Primeiramente, observamos que um deslocamento infinitesimal ${\textstyle dx}$ corresponde a um deslocamento de comprimento de linha ${\textstyle dL}$ sobre a reta ${\textstyle y={\frac {r}{h}}x}$ . PeloTeorema de Pitágoras temos que $(dL)^{2}=(dy)^{2}+(dx)^{2}$ , ou seja:

$dL={\sqrt {\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}+1}}\,dx$

Considerando a rotação do segmento ${\textstyle dL}$ em torno do eixo ${\textstyle x}$ , temos que o incremento de área lateral infinitesimal é dada por:

$dA_{l}=2\pi y\,dL$

Substituindo ${\textstyle y}$ e ${\textstyle dL}$ em função de ${\textstyle x}$ e ${\textstyle dx}$ , obtemos:

$dA_{l}=2\pi {\frac {r}{h}}x{\sqrt {{\frac {r^{2}}{h^{2}}}+1}}\,dx$

Integrando de ${\textstyle 0}$ a ${\textstyle h}$ , temos:

$\int _{0}^{h}dA_{l}=\int _{0}^{h}2\pi {\frac {r}{h}}x{\sqrt {{\frac {r^{2}}{h^{2}}}+1}}\,dx\Rightarrow A_{l}=\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$

Somando-se as áreas da base e lateral temos a área total:

$A=\pi r(g+r)$

onde, $g={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$ .

Para cones equiláteros

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A área da base do cone é:

A_{b}=\pi r^{2}

PeloTeorema de Pitágoras temos que ${\textstyle (2r)^{2}=h^{2}+r^{2}}$ , logo ${\textstyle h^{2}=4r^{2}-r^{2}=3r^{2}}$ , assim:

h=r{\sqrt {3}}

Como o volume do cone é obtido por ${\textstyle 1/3}$ do produto da área da base pela altura, temos:

V={\frac {\pi r^{3}{\sqrt {3}}}{3}}

Similarmente, a área lateral é dada por:

A_{l}=\pi \cdot r\cdot g=\pi \cdot r\cdot 2r=2\cdot \pi \cdot r^{2}

e, a área total por:

A=3\pi r^{2}

Ver também

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Ligações externas

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(em inglês)Volume de um cone truncado elíptica

Ícone de esboço

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