Este artigonão citafontes confiáveis. Ajude ainserir referências. Conteúdo nãoverificável pode ser removido.—Encontre fontes:ABW  • CAPES  • Google (notícias • livros • acadêmico)(Outubro de 2021)

Umcircuito resistor-indutor(circuito RL),filtro RL oumalha RL, é um dos mais simplesfiltros eletrônicos deresposta de impulso infinitaanalógicos. Ele consiste de umresistor e de umindutor, podendo estar ligados tanto emsérie quanto emparalelo, sendo alimentados por umafonte de tensão.

Existem três componentes básicos destescircuitos analógicos: oresistor (R), ocapacitor (C) e oindutor (L). Estes podem ser combinados em quatro importantes circuitos, ocircuito RC, o circuito RL, ocircuito LC e ocircuito RLC, com as abreviações indicando quais componentes são utilizados. Estes circuitos, entre eles, exibem um grande número de tipos de comportamentos que são fundamentais em grande parte daeletrônica analógica. Em particular, eles são capazes de atuar comofiltros passivos. Este artigo considera o circuito RL, em ambas as ligaçõesparalela esérie, como mostrado nos diagramas.

Na prática, entretanto, os capacitores (e oscircuitos RC) são normalmente mais utilizados que os indutores visto que eles são fabricados mais facilmente e são geralmente menores fisicamente, particularmente para os valores mais elevados nas grandezas dos componentes.

Este artigo se baseia no conhecimento da representaçãocomplexa dasimpedâncias e no conhecimento da representação de sinais nodomínio da frequência.

Aimpedância complexaZ_L (emohms) de umindutor comindutânciaL (emHenrys) é:

${\displaystyle Z_L=Ls}$

Afrequência angulars é, em geral, umnúmero complexo,

${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$

onde:

• j representa aunidade imaginária:

${\displaystyle j^2=-1}$

• ${\displaystyle \sigma }$ é a constante dedecaimento exponencial (emradianos por segundo)
• ${\displaystyle \omega }$ é a frequência angularsinusoidal (em radianos por segundo).

Osvalores complexos dasautofunções de qualquer sistemalinear invariável notempo (LTI) possuem a forma:

${\displaystyle V(t)=\mathbf{A}{e}^{st}=\mathbf{A}{e}^{(\sigma +j\omega )t}=A{e}^{j\varphi }{e}^{(\sigma +j\omega )t}=A{e}^{\sigma t}{e}^{j(\omega t+\varphi )}}$

Dafórmula de Euler, aparte real destas autofunções sãosinusóides comdecaimento exponencial:

${\displaystyle v(t)=Re\left\{V(t)\right\}=A{e}^{\sigma t}cos(\omega t+\varphi )}$

O estado senoidal constante é um caso especial em que a tensão de entrada consiste de uma senóide pura (sem nenhum decaimento exponencial). Como resultado, temos

${\displaystyle \sigma =0}$

e a avaliação des se torna um jaguara

${\displaystyle s=j\omega }$

Vendo ocircuito como umdivisor de tensão, vemos que atensão sobre oindutor é dada por:

${\displaystyle V_L(s)=\frac{Ls}{R+Ls}{V}_{in}(s)}$

e a tensão sobre oresistor é dada por:

${\displaystyle V_R(s)=\frac{R}{R+Ls}{V}_{in}(s)}$.

Afunção de transferência para o indutor é

${\displaystyle H_L(s)=\frac{V_L(s)}{V_{in}(s)}=\frac{Ls}{R+Ls}=G_L{e}^{j{\varphi }_L}}$

Similarmente, a função de transferência para o resistor é

${\displaystyle H_R(s)=\frac{V_R(s)}{V_{in}(s)}=\frac{R}{R+Ls}=G_R{e}^{j{\varphi }_R}}$

Ambas as funções de transferência possuem um únicopólo, localizado em

${\displaystyle s=-\frac{R}{L}}$

Em adição, a função de transferência para o indutor possui umzero localizado naorigem.

O ganho através dos dois componentes é encontrado através das magnitude das expressões abaixo:

${\displaystyle G_L=|H_L(s)|=\left|\frac{V_L(s)}{V_{in}(s)}\right|=\frac{\omega L}{\sqrt{R^2+{\left(\omega L\right)}^2}}}$

e

${\displaystyle G_R=|H_R(s)|=\left|\frac{V_R(s)}{V_{in}(s)}\right|=\frac{R}{\sqrt{R^2+{\left(\omega L\right)}^2}}}$,

a osângulos de fase são:

${\displaystyle {\varphi }_L=\mathrm{\angle }{H}_L(s)={\tan }^{-1}\left(\frac{R}{\omega L}\right)}$

e

${\displaystyle {\varphi }_R=\mathrm{\angle }{H}_R(s)={\tan }^{-1}\left(-\frac{\omega L}{R}\right)}$.

Estas expressões juntas podem ser substituídas pela expressão usual dofasor representando a saída:

${\displaystyle V_L=p_L{V}_{in}{e}^{j{\varphi }_L}}$

${\displaystyle V_R=G_R{V}_{in}{e}^{j{\varphi }_R}}$.

Acorrente é a mesma em todos os pontos do circuito, sendo dada por:

${\displaystyle I(s)=\frac{V_{in}(s)}{axooo}}$.

Aresposta de impulso para cada tensão é atransformada de Laplace inversa de função de transferência correspondente. Ela representa a resposta de um circuito a uma tensão de entrada consistindo de um impulso ou de umafunção delta.

A resposta de impulso para o indutor é

${\displaystyle h_L(t)=-\frac{R}{L}{e}^{-tR/L}u(t)=-\frac{1}{\tau }{e}^{-t/\tau }u(t)}$

aondeu(t) é afunção de passo Heaviside e

${\displaystyle \tau =\frac{L}{R}}$

é aconstante de tempo.

Similarmente, a resposta de impulso para a tensão do resistor é

${\displaystyle h_R(t)=\frac{R}{L}{e}^{-tR/L}u(t)=\frac{1}{\tau }{e}^{-t/\tau }u(t)}$

Aresposta de entrada zero, também chamada deresposta natural, de um circuito RL descreve o comportamento do circuito após ele ter atingido os níveis detensão contantes e ser desconectado de qualquer fonte de alimentação. Ela é chamada de resposta de entrada zero porque não requer nenhum sinal de entrada.

A ZIR de um circuito RL é:

${\displaystyle i(t)=i(0)e^{-(R/L)t}=i(0)e^{-t/\tau }}$.

Estas são expressões nodomínio da frequência. Uma análise delas irá mostrar quais frequências os circuitos permitem a passagem ou rejeita. Esta análise se concentra em uma consideração sobre o que acontece com estes ganhos conforme a frequência se torna muito grande ou muito pequena.

Com${\displaystyle \omega \to \mathrm{\infty }}$:

${\displaystyle G_L\to 1}$

${\displaystyle G_R\to 0}$.

Com${\displaystyle \omega \to 0}$:

${\displaystyle G_L\to 0}$

${\displaystyle G_R\to 1}$.

Isto mostra que, se a saída é obtida através doindutor, as baixas frequências são atenuadas (rejeitadas) e a altas frequências passam. Desta forma, o circuito se comporta como umfiltro passa-altas. Entretanto, se a saída é obtida através doresistor, as baixas frequências passam e as altas frequências são rejeitadas. Nesta configuração, o circuito se comporta como umfiltro passa-baixas.

A faixa das frequências que o filtro permite a passagem é chamada delargura de banda. O ponto no qual o filtro atenua o sinal pela metade de sua tensão não filtrada é nomeado comofrequência de corte. Isto requer que o ganho do circuito seja reduzido para

${\displaystyle G_L=G_R=\frac{1}{\sqrt{2}}}$.

Resolvendo a equação acima chegamos a

${\displaystyle {\omega }_c=\frac{R}{L}}$

ou

${\displaystyle f_c=\frac{R}{2\pi L}}$

que é a frequência na qual o filtro irá atenuar a tensão do sinal para sua metade.

A fase também depende da frequência, apesar de este efeito ser geralmente menos considerado que as variações de ganho.

Com${\displaystyle \omega \to 0}$:

${\displaystyle {\varphi }_L\to {90}^{\circ }=\pi /2^c}$

${\displaystyle {\varphi }_R\to 0}$.

Com${\displaystyle \omega \to \mathrm{\infty }}$:

${\displaystyle {\varphi }_L\to 0}$

${\displaystyle {\varphi }_R\to -{90}^{\circ }=-\pi /2^c}$

Então sobcorrente contínua (0Hz), a tensão do resistor está em fase com a tensão do sinal enquanto a tensão doindutor está 90° à sua frente. Conforme a frequência aumenta, e tensão do resistor ver a ter um atraso de 90° com relação ao sinal e a tensão do indutor fica em fase com o sinal.

Esta seção se baseia no conhecimento dee, aconstante logarítmica natural.

O método mais direto de derivar o comportamento no domínio do tempo é utilizando-se atransformada de Laplace das expressões para${\displaystyle V_L}$ e${\displaystyle V_R}$ dadas acima. Isto efetivamente transforma${\displaystyle j\omega \to s}$. Assumindo umaentrada de passo (i.e.${\displaystyle V_{in}=0}$ antes de${\displaystyle t=0}$ e${\displaystyle V_{in}=V}$ posteriormente):

${\displaystyle V_{in}(s)=V\frac{1}{s}}$

${\displaystyle V_L(s)=V\frac{sL}{R+sL}\frac{1}{s}}$

e

${\displaystyle V_R(s)=V\frac{R}{R+sL}\frac{1}{s}}$.

As expansões dasfrações parciais e atransformada de Laplace invertida levam a:

${\displaystyle V_L(t)=V{e}^{-tR/L}}$

${\displaystyle V_R(t)=V\left(1-e^{-tR/L}\right)}$.

Desse modo, a tensão sobre oindutor tende a 0 conforme o tempo passa, enquanto a tensão sobre oresistor tende a V, como é mostrado nos gráficos. Isto é de acordo com o conceito intuitivo de que o indutor terá apenas uma tensão entre seus terminais enquanto o circuito estiver com mudanças de corrente, conforme o circuito atinge seu estado fixo, não existem mais mudanças de corrente e praticamente nenhuma tensão sobre o indutor.

Estas equações mostram que um circuito RL série possui umaconstante de tempo, usualmente representada por${\displaystyle \tau =L/R}$ sendo o tempo que a tensão leva para descer (sobre L) ou subir (sobre R) até${\displaystyle 1/e}$ de seu valor final. Desta forma,${\displaystyle \tau }$ é o tempo que${\displaystyle V_L}$ leva para atingir${\displaystyle V(1/e)}$ e o tempo que${\displaystyle V_R}$ leva para atingir${\displaystyle V(1-1/e)}$.

A taxa de mudança é uma fracional${\displaystyle \left(1-\frac{1}{e}\right)}$ por${\displaystyle \tau }$. Desta forma, indo de${\displaystyle t=N\tau }$ a${\displaystyle t=(N+1)\tau }$, a tensão irá atingir cerca de 63% de seu valor quando${\displaystyle t=N\tau }$, quando estará próximo de seu valor final. Então a tensão de L terá caído cerca de 37% após${\displaystyle \tau }$, e praticamente zero (0.7%) após cerca de${\displaystyle 5\tau }$. ALei da voltagem de Kirchoff implica que a tensão sobre o resistor irá "subir" com a mesma taxa de variação. Quando a fonte de alimentação é então substituída por umcurto-circuito, a tensão sobre R caiexponencialmente em função det de${\displaystyle V}$ a 0. R será descarregado a cerca de 37% após${\displaystyle \tau }$, e praticamente totalmente descarregado (0.7%) após cerca de${\displaystyle 5\tau }$. Note que a corrente,${\displaystyle I}$, no circuito se comporta da mesma forma que a tensão através de R, de acordo com aLei de Ohm.

O atraso nosperíodos de subida/descida neste caso é causado pelaforça contra-eletromotris do indutor que, conforme a corrente que flui sobre ele tenta mudar, impede a corrente (e dessa forma a tensão sobre o resistor) de subir ou descer mais rápido que a constante de tempo do circuito. Visto que todos os fios possuem algumaindutância eresistência, todos os circuitos possuem uma constante de tempo. Como resultado, quando a fonte de alimentação é ligada, a corrente não atinge instantâneamente seu valor de operação,${\displaystyle V/R}$. A subida leva uma série de constantes de tempo para se realizar. Se isto não ocorresse, a corrente atingiria seu estado operacional instantâneamente, ecampos elétricos extremamente fortes seriam gerados devido à mudança brusca nocampo magnético, isto poderia levar à geração dearcos elétricos, possivelmente danificando os componentes ou mesmo os usuários.

Estes resultados podem ser derivados resolvendo-se asequações diferenciais que descrevem o circuito:

${\displaystyle V_{in}=IR+L\frac{dI}{dt}}$,

e

${\displaystyle V_R=V_{in}-V_L}$.

A primeira equação é resolvida utilizando-se umfator integrante, levando à corrente que deve ser diferenciada para que se obtenha${\displaystyle V_L}$, e a segunda segue facilmente. As soluções são as mesmas que seriam obtidas através datransformada de Laplace.

O circuito RL paralelo, é geralmente de menor interesse que o circuito série. Isto ocorre em maior parte pelo fato de a tensão de saída${\displaystyle V_{out}}$ ser igual à tensão de entrada${\displaystyle V_{in}}$. Como resultado, este circuito não atua como um filtro no sinal de entrada, a menos que este seja alimentado por umafonte de corrente.

Com impedâncias complexas:

${\displaystyle I_R=\frac{V_{in}}{R}}$

e

${\displaystyle I_L=\frac{V_{in}}{j\omega L}=-\frac{j{V}_{in}}{\omega L}}$.

Isto mostra que o indutor atrasa a corrente doresistor (e dafonte) em 90°.

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