Cardioide gerado pela rolagem de um círculo sobre outro círculo de mesmo raio. Emgeometria , ocardioide é umepicicloide que possui somente umaponta . Isto é, um cardioide é umacurva que pode ser produzida como umlocus — traçando-se o caminho de um dado ponto de umcírculo , que rola sem cair ao redor de um outro círculo, que é fixo mas que tem o mesmoraio do círculo rolante.[ 1]
O cardioide é também um tipo especial delimaçon : é o limaçon de uma ponta. (A ponta é formada quando oraio de a até b naequação é igual a um).
Um cardioide é uma curvamatemática cuja forma se assemelha à de um coração. Por este motivo, recebe o nome derivado do gregokardioeides =kardia :coração +eidos :forma.
Comparado ao símbolo ♥ entretanto, um cardioide não termina em uma ponta fina. Ele tem mais a forma do contorno da seção em cruz de umaameixa .
O cardioide é umtransformador inverso de umaparábola .
A grande figura preta central em umconjunto Mandelbrot é um cardioide. Este cardioide é cercado por uma arranjofractal de círculos.
Uma vez que o cardioide é umaepiciclóide com uma ponta, asequações paramétricas do cardioide são:
x ( θ ) = ρ ( θ ) cos θ = ( 1 + cos θ ) ⋅ cos θ = cos θ + 1 2 + 1 2 cos 2 θ , {\displaystyle x(\theta )=\rho (\theta )\cos \theta =(1+\cos \theta )\cdot \cos \theta =\cos \theta +{1 \over 2}+{1 \over 2}\cos 2\theta ,\qquad \qquad } y ( θ ) = ρ ( θ ) sin θ = ( 1 + cos θ ) ⋅ sin θ = sin θ + 1 2 sin 2 θ . {\displaystyle y(\theta )=\rho (\theta )\sin \theta =(1+\cos \theta )\cdot \sin \theta =\sin \theta +{1 \over 2}\sin 2\theta .\qquad \qquad } A mesma curva pode ser definida emcoordenadas polares pela equação:
ρ ( θ ) = 1 + cos θ . {\displaystyle \rho (\theta )=1+\cos \theta .\ }
quatro gráficos dos cardioides [ 2] orientados nos quatrosentidos cardeais , com suas respectivas equações polares. A área de um cardioide a que seja cogruente com
ρ ( θ ) = a ( 1 − cos θ ) {\displaystyle \rho (\theta )=a(1-\cos \theta )} é
A = 3 2 π a 2 {\displaystyle A={3 \over 2}\pi a^{2}} [ 3] Basta verificar que
A = ∫ 0 2 π ∫ 0 ρ ( θ ) r d r d θ = 3 2 π a 2 {\displaystyle \displaystyle A=\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\rho (\theta )}rdrd\theta ={\frac {3}{2}}\pi a^{2}}
Essa área é facilmente calculada utilizando oTeorema de Green para umcampo vetorial cuja circulação seja igual a 1
F → ( x , y ) = ( − y 2 , x 2 ) {\displaystyle {\vec {F}}(x,y)=\left(-{\frac {y}{2}},{\frac {x}{2}}\right)}
pois, pelo Teorema
∮ C F → ⋅ d l → = ∮ C L d x + M d y = ∬ R [ ∂ ∂ x x 2 − ∂ ∂ y ( − y 2 ) ] d A = ∬ R d A {\displaystyle \oint \limits _{C}{\vec {F}}\cdot d{\vec {l}}=\oint \limits _{C}Ldx+Mdy=\iint \limits _{R}\left[{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {x}{2}}-{\frac {\partial }{\partial y}}\left(-{\frac {y}{2}}\right)\right]dA=\iint \limits _{R}dA}
então basta calcular a circulação ao longo da cardioide
P → ( θ ) = ( r ( θ ) cos θ , r ( θ ) s e n θ ) {\displaystyle {\vec {P}}(\theta )=\left(r(\theta )\cos \theta ,r(\theta )~\mathrm {sen} ~\theta \right)}
no campoF → ( x , y ) {\displaystyle {\vec {F}}(x,y)}
A = ∮ P F → ( P x , P y ) ⋅ P → ′ ( θ ) d θ = 1 2 ∮ P P x d y − P y d x = 1 2 ∮ P ( r 2 s e n 2 θ + r 2 cos 2 θ ) d θ = a 2 2 ∫ 0 2 π ( 1 + cos θ ) 2 d θ {\displaystyle A=\oint \limits _{P}{\vec {F}}(P_{x},P_{y})\cdot {\vec {P}}~'(\theta )d\theta ={\frac {1}{2}}\oint \limits _{P}P_{x}dy-P_{y}dx={\frac {1}{2}}\oint \limits _{P}\left(r^{2}~\mathrm {sen} ^{2}\theta +r^{2}\cos ^{2}\theta \right)d\theta ={\frac {a^{2}}{2}}\int \limits _{0}^{2\pi }\left(1+\cos \theta \right)^{2}d\theta } = a 2 2 ∫ 0 2 π ( 1 + 2 cos θ + cos 2 θ ) d θ = a 2 2 ∫ 0 2 π ( 1 + 2 cos θ + 1 + cos 2 θ 2 ) d θ = a 2 2 [ θ + θ 2 ] 0 2 π = 3 2 a 2 π {\displaystyle ={\frac {a^{2}}{2}}\int \limits _{0}^{2\pi }\left(1+2\cos \theta +\cos ^{2}\theta \right)d\theta ={\frac {a^{2}}{2}}\int \limits _{0}^{2\pi }\left(1+2\cos \theta +{\frac {1+\cos 2\theta }{2}}\right)d\theta ={\frac {a^{2}}{2}}\left[\theta +{\frac {\theta }{2}}\right]_{0}^{2\pi }={\frac {3}{2}}a^{2}\pi }
