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Cardinalidade

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Namatemática, acardinalidade de umconjunto é uma medida do "número deelementos do conjunto". Por exemplo, o conjunto A={2,4,6} contém 3 elementos e por isso possui cardinalidade 3. Existem duas abordagens para cardinalidade - uma que compara conjuntos diretamente, usandofunções bijetoras efunções injetoras, e outra que usanúmeros cardinais^[1].

A cardinalidade de um conjunto A é usualmente denotada |A|, com umabarra vertical de cada lado; trata-se da mesma notação usada paravalor absoluto, por isso o significado depende docontexto. A cardinalidade de um conjunto pode ser denotada ainda ${\overline {\overline {A}}}\,$ ou # A.

Comparação de conjuntos

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Caso 1: |A|=|B|

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Dois conjuntos A e B possuem a mesma cardinalidade se existe umabijeção, ou seja, umafunção que seja simultaneamenteinjetora esobrejetora, entre eles.

Por exemplo, o conjunto E={0, 2, 4, 6, ...} dosnúmeros pares não-negativos tem a mesma cardinalidade do conjunto N={0, 1, 2, 3, ...} dosnúmeros naturais, uma vez que a funçãof(n)=2n é uma bijeção de N para E.

Caso 2: |A|≥|B|

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A tem cardinalidade maior ou igual que a cardinalidade de B se existe uma função injetora de B para A.

Caso 3: |A|>|B|

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A tem cardinalidade estritamente maior do que a cardinalidade de B se existe uma função injetora de B para A, mas não existe nenhuma função bijetora de B para A.

Por exemplo, o conjuntoR de todos osnúmeros reais tem cardinalidade estritamente maior do que a cardinalidade do conjuntoN de todos osnúmeros naturais pois a função identidadei:N→R, definida como i(x)=x, é injetora. Por outro lado, é possível demonstrar a inexistência de uma função bijetora deN paraR (vejaArgumento de Diagonalização de Cantor ou aPrimeira Prova da Incontabilidade de Cantor).

Números cardinais

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Ver artigo principal:Número cardinal

Acima, "cardinalidade" foi definida de forma funcional. ou seja, a "cardinalidade" de um conjunto não foi definida como um objeto específico independente. No entanto, tal objeto pode ser definido como segue.

A relação de possuir a mesma cardinalidade é chamadaequipotência, e ela é umarelação de equivalência sobre aclasse de todos os conjuntos. Aclasse de equivalência de um conjunto A sob essa relação consiste, então, de todos os conjuntos que possuem a mesma cardinalidade de A. Existem duas formas de definir a "cardinalidade de um conjunto":

A cardinalidade de um conjuntoA é definida como a sua classe de equivalência sob a equipotência.
Um conjunto representativo é designado para cada classe de equivalência. A escolha mais comum recai sobre oordinal inicial da classe. Esta consiste, usualmente, na definição denúmero cardinal nateoria dos conjuntos.

As cardinalidades de conjuntos infinitos são denotadas:

\aleph _{0}<\aleph _{1}<\aleph _{2}<\ldots .

Para cadaordinal α,ℵ_{α + 1} é o menor número cardinal maior do queℵ_α.

A cardinalidade dosnúmeros inteiros é denotadaaleph-zero (ℵ₀), enquanto que a cardinalidade dosnúmeros reais é denotadac, e também conhecida comocardinalidade do contínuo. É possível mostrar quec = 2^ℵ₀ ; esta também é a cardinalidade do conjunto de todos os subconjuntos dos números inteiros. AHipótese do Contínuo diz queℵ₁ = 2^ℵ₀, isto é, que 2^ℵ₀ é o menor número cardinal maior queℵ₀, ou seja, que não existe conjunto cuja cardinalidade esteja situada estritamente entre a dos números inteiros e a dos números reais. A hipótese do contínuo permanece não-solucionada num sentido "absoluto"^[2].Veja abaixo para mais detalhes sobre a cardinalidade do contínuo.

Conjuntos finitos, contáveis e incontáveis

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Caso oaxioma da escolha seja verdadeiro, então aLei da Tricotomia é verdadeira para a cardinalidade. Portanto, é possível fazer as seguintes definições:

Qualquer conjuntoX com cardinalidade menor que a do conjunto dosnúmeros naturais, ou | X | < | N |, é ditoconjunto finito.
Qualquer conjunto X que tenha a mesma cardinalidade do conjunto dos números naturais, ou | X | = | N | =ℵ₀, é denominadoconjunto infinitamente contável.
Qualquer conjuntoX com cardinalidade maior que a do conjunto dos números naturais, ou | X | > | N |, por exemplo | R | =c > | N |, é denominadoincontável.

Conjuntos infinitos

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A intuição obtida com osconjuntos finitos desaparece quando se lida comconjuntos infinitos. No final do século dezenove,Georg Cantor,Gottlob Frege,Richard Dedekind e outros, rejeitaram a ideia de Galileu (por sua vez derivada deEuclides) de que o todo não pode ter o mesmo tamanho da parte. Um exemplo disso é oParadoxo do Hotel de Hilbert.

A razão disso é que as várias caracterizações do significado de um conjunto A ser maior do que um conjunto B, ou de ter o mesmo tamanho que um conjunto B, e que são todas equivalentes para conjuntos finitos, não são mais equivalentes para conjuntos infinitos. Diferentes caracterizações podem produzir resultados diferentes. Por exemplo, na caracterização popular de tamanho escolhida por Cantor, pode acontecer de um conjunto infinito A ser maior (nesse sentido) do que um conjunto infinito B; outras caracterizações podem dar como resultado que um conjunto infinito A tem sempre o mesmo tamanho de um conjunto infinito B.

Para conjuntos finitos, a contagem é apenas umabijeção (correspondência um-para-um) entre o conjunto sendo contado e um segmento inicial dos inteiros positivos. Portanto, não existe noção equivalente para acontagem de conjuntos infinitos. Enquanto que, aplicada aos conjuntos finitos, a contagem produz um resultado único, um conjunto infinito pode ser colocado numa correspondência um-para-um com muitosnúmeros ordinais diferentes, dependendo de como se escolhe "contar" (ordenar) o mesmo.

Adicionalmente, diferentes caracterizações de tamanho, quando estendidas para conjuntos infinitos, irão violar diferentes regras válidas para conjuntos finitos. Quais regras serão violadas varia de caracterização para caracterização. Por exemplo, a caracterização de Cantor, que por um lado preserva a regra de que às vezes um conjunto é maior do que outro, viola a regra de que a exclusão de um elemento torna o conjunto menor. Outra caracterização poderia preservar a regra de que a exclusão de um elemento torna o conjunto menor, mas violaria outra regra. Além disso, uma caracterização pode não violar uma regra diretamente, mas ela pode também não sustentá-la diretamente, no sentido de que qualquer que seja o caso se dependa de um axioma controverso tal como o axioma da escolha ou a hipótese do contínuo. Portanto, existem três possibilidades. Cada caracterização violará algumas regras, manterá outras e será inconclusiva em relação a outras.

Se forem considerados osmulticonjuntos, outras regras, válida para multiconjuntos finitos, serão violadas (considerando-se a abordagem de Cantor). Dados dois multiconjuntos A e B, A não sendo maior do que B, e B não sendo maior do que A, não necessariamente implica que A tem o mesmo tamanho de B. Essa regra é válida para multiconjuntos que sejam finitos. A lei de tricotomia é explicitamente violada nesse caso, em oposição ao caso dos conjuntos, onde ela é equivalente ao axioma da escolha.

Dedekind simplesmente definiu um conjunto infinito como sendo aquele que possui o mesmo tamanho (no sentido de Cantor) de pelo menos umsubconjunto próprio seu. Essa noção de infinitude é denominadaInfinito de Dedekind. Essa definição, no entanto, é válida apenas na presença de alguma forma do axioma da escolha, por isso ela não é considerada válida por alguns matemáticos.

Cantor introduziu os acima-mencionados números cardinais, e mostrou (no sentido de Cantor) que alguns conjuntos infinitos são maiores do que outros. A menor cardinalidade infinita é aquela dos números naturais (ℵ₀).

Cardinalidade do contínuo

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Um dos resultados mais importantes do trabalho de Cantor foi a demonstração de que acardinalidade do contínuo ( ${\mathfrak {c}}$ ) é maior do que aquela dos números naturais (ℵ₀); ou seja, existem mais números reais emR do que números inteiros emN. Cantor provou que

{\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}>{\aleph _{0}}

(vejaArgumento de diagonalização de Cantor).

AHipótese do Continuum diz que não existenúmero cardinal entre a cardinalidade dos números reais e a cardinalidade dos números naturais, ou seja,

{\mathfrak {c}}=\aleph _{1}=\beth _{1}

(vejaNúmero Beth 1)

No entanto, essa hipótese não pode ser nem provada nem refutada dentro da amplamente aceitaTeoria Axiomática dos Conjuntos deZFC, se ela for consistente.

A aritmética de cardinais pode ser usada para mostrar não apenas que o número de pontos nareta real é igual ao número de pontos em qualquersegmento dessa reta, mas também que esse número é igual ao número de pontos num plano e, também, em qualquer espaço dimensional finito. Esses resultados são altamente contra-intuitivos, pois eles implicam a existência desubconjuntos próprios esuperconjuntos próprios de um conjunto infinito S que possuem o mesmo tamanho de S, apesar de S conter elementos que não pertencem aos seus subconjuntos e os superconjuntos de S conterem elementos que não estão incluídos nele.

O primeiro desses resultados é aparente considerando-se, por exemplo, afunção tangente, que estabelece umacorrespondência um-para-um entre ointervalo (−½p, ½p) eR (veja também oParadoxo do Hotel de Hilbert).

O segundo resultado foi demonstrado pela primeira por Cantor em 1878, mas ficou mais aparente em 1890, quandoGiuseppe Peano introduziu ascurvas de preenchimento de espaço, linhas curvas que se torcem e dobram o suficiente para preencher a totalidade de um quadrado, um cubo, umhipercubo ou espaço dimensional finito. Essas curvas não são umaprova direta de que a linha tem o mesmo número de pontos que um espaço dimensional finito, mas elas podem ser facilmente usadas para obter tal prova.

Cantor também mostrou a existência de conjuntos com cardinalidade estritamente maior do que ${\mathfrak {c}}$ (veja o seuargumento diagonal generalizado eteorema). Eles incluem, por exemplo:

o conjunto de todos os subconjuntos deR, i.e., oconjunto potência deR, denotadoP(R) ou 2^R
o conjuntoR^R de todas as funções deR paraR

Ambos possuem cardinalidade

2^{\mathfrak {c}}=\beth _{2}>{\mathfrak {c}}

(vejaNúmero Beth 2).

Asigualdades cardinais ${\mathfrak {c}}^{2}={\mathfrak {c}},$ ${\mathfrak {c}}^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}},$ e ${\mathfrak {c}}^{\mathfrak {c}}=2^{\mathfrak {c}}$ podem ser demonstradas usando-se aaritmética cardinal:

{\mathfrak {c}}^{2}=\left(2^{\aleph _{0}}\right)^{2}=2^{2\times {\aleph _{0}}}=2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}},

{\mathfrak {c}}^{\aleph _{0}}=\left(2^{\aleph _{0}}\right)^{\aleph _{0}}=2^{{\aleph _{0}}\times {\aleph _{0}}}=2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}},

{\mathfrak {c}}^{\mathfrak {c}}=\left(2^{\aleph _{0}}\right)^{\mathfrak {c}}=2^{{\mathfrak {c}}\times \aleph _{0}}=2^{\mathfrak {c}}.

Exemplos e propriedades

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SeX = {a,b,c} eY = {maçãs, laranjas, pêssegos}, então | X | = | Y | pois {(a, maçãs), (b, laranjas), (c, pêssegos)} é uma bijeção entre os conjuntosX eY. A cardinalidade de ambos os conjuntos é 3.
Se | X | < | Y |, então existeZ tal que | X | = | Z | eZ ⊆Y.
Conjuntos com a cardinalidade do contínuo

Grupo de Montagem

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O Grupo de Montagem é um exemplo de organização que sempre mantém a cardinalidade.

Ver também

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OCommons possui umacategoria com imagens e outros ficheiros sobreCardinalidade

Referências

↑Weisstein, Eric W. "Cardinal Number." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.http://mathworld.wolfram.com/CardinalNumber.html
↑Penrose, R (2005),The Road to Reality: A Complete guide to the Laws of the Universe,ISBN 0-099-44068-7, Vintage Books

v d e Teoria dos conjuntos
Axiomas	Axioma da escolha Axioma da escolha numerável Princípio da Escolha Dependente Axioma da extensão Axioma do infinito Axioma do par Axioma da potência Axioma da regularidade Axioma da união Axioma da substituição Axioma da separação Hipótese do continuum Axioma de Martin Propriedade de grande cardinal
Operações	Produto cartesiano Teoremas de De Morgan Interseção Conjunto de partes Complementar Diferença simétrica União
Conceitos	Cardinalidade Número cardinal Classe Universo construível Elemento Família Função bijectiva Número ordinal Indução transfinita Diagrama de Venn
Conjuntos	Argumento de diagonalização de Cantor Conjunto contável Conjunto vazio Conjunto finito Conjunto difuso Conjunto hereditariamente finito Conjunto infinito Conjunto recursivo Subconjunto Conjunto transitivo Conjunto não enumerável Conjunto universo
Teorias	Teoria axiomática dos conjuntos Teorema de Cantor Forçamento Teoria de conjuntos de Morse–Kelley Teoria ingênua dos conjuntos New Foundations Paradoxos Principia mathematica Paradoxo de Russell Problema de Suslin NBG Teoria de conjuntos de Zermelo ZFC Teorias de conjuntos alternativas
Pessoas	Abraham Fraenkel Bertrand Russell Ernst Zermelo Georg Cantor John von Neumann Kurt Gödel Lotfali Askar-Zadeh Paul Bernays Paul Cohen Richard Dedekind Thomas Jech Willard Quine

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