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Black-Scholes

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Esta páginacita fontes, mas quenão cobrem todo o conteúdo. Ajude ainserir referências (Encontre fontes:ABW  • CAPES  • Google (notícias • livros • acadêmico)).(Maio de 2017)

O termoBlack–Scholes refere-se a três conceitos relacionados abaixo:

  • Ummodelo de precificação deativos não direcionais, no qual a evolução dos preços destes é considerada umprocesso estocástico.
  • Uma EDP (sigla paraequação diferencial parcial), que (neste modelo) mede tal evolução, utilizando como referência uma Opçãodo Tipo "europeia".
  • Umafórmula, cujo resultado obtido (pela solução da equação mencionada acima), projeta uma estimativa teórica do preço de tal Opção.[1]

Devido a sua relativa simplicidade e maleabilidade (facilidade tanto em ajustar seus parâmetros, como adicionar outros),heurísticas refinadas, derivadas da fórmulaBlack-Scholes, são as ferramentas mais utilizadas por operadores do mercado financeiro para precificação de ativos não direcionais (como no caso dederivativos, comoOpções por ex.).[2]

Origem

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Baseando-se em trabalhos desenvolvidos anteriormente por pesquisadores e práticos do mercado, comoLouis Bachelier, Sheen Kassouf eEd Thorp, entre outros,Fischer Black eMyron Scholes chegaram à fórmula ao longo do final da década de 1960.[3][4][5] Em 1970, após fracassarem na obtenção de ganho financeiro nos mercados aplicando-a, devido à falta de controle de risco em suas operações, resolveram concentrar seus esforços em sua área de domínio, o meio acadêmico.[6] Mesmo assim, a fórmula que viria a ser batizada como "Black-Scholes", em homenagem aos seus divulgadores, só seria publicada em 1973 num artigo intitulado "The Pricing of Options and Corporate Liabilities".[7][8][9]

Robert C. Merton foi o primeiro a publicar um artigo expandido a compreensão matemática do modelo de precificação de opções e cunhou o termo modelo de precificação de opções de "Black-Scholes". Merton e Scholes receberam em 1997 oPrémio de Ciências Económicas em Memória de Alfred Nobel por este trabalho e outros relacionados. Ainda que inelegível para o prêmio devido a sua morte em 1995, Black foi mencionado como contribuidor pela academia sueca.[10]

Modelo de Black-Scholes

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O modelo de precificação Black-Scholes de mercado para um ativo faz as seguintes suposições:

O modelo, dentro destes requisitos trata apenas de opções do tipo "europeu". A partir dessas condiçõesideais de mercado para correlação entre tal derivativo e seu ativo de origem, os autores mostram que o valor de uma opção (pela fórmula de Black-Scholes) varia teoricamente apenas com o preço da ação, e o tempo até o vencimento.

"Assim é possível criar umaposição protegida, consistindo em uma posição comprada na ação e uma posição vendida nas opções de compra da mesma ação, cujo valor não depende do preço da ação."[11]

Notação

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Define-se

S{\displaystyle S}, o preço da ação (ver notaabaixo).
V(S,t){\displaystyle V(S,t)}, o preço de um derivativo como função do tempo e do preço da ação.
C(S,t){\displaystyle C(S,t)} o preço de uma opção de compra europeia eP(S,t){\displaystyle P(S,t)} o preço de uma opção de venda europeia.
K{\displaystyle K}, o preço de exercício da opção.
r{\displaystyle r}, a taxa de juros livre de risco anualizada,capitalizada continuamente.
μ{\displaystyle \mu }, a tendência (drift rate) deS{\displaystyle S}, anualizada.
σ{\displaystyle \sigma }, a volatilidade da ação, i.e., a raiz quadrada da variação quadrática do logaritmo dos preços da ação.
t{\displaystyle t}, um tempo em anos; geralmente usa-se agora = 0 e vencimento =T{\displaystyle T}.
Π{\displaystyle \Pi }, o valor de umportfolio.
R{\displaystyle R}, o lucro ou prejuízo acumulado seguindo uma estratégia delta-neutra.

N(x){\displaystyle N(x)} denota afunção de distribuição acumuladanormal padrão,12π∫−∞xe−z22dz{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-{\frac {z^{2}}{2}}}\,dz}.

N′(z){\displaystyle N'(z)} denota afunção densidade de probabilidade normal padrão,e−z222π{\displaystyle {\frac {e^{-{\frac {{z}^{2}}{2}}}}{\sqrt {2\pi }}}}.

EDP de Black-Scholes

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De acordo com as hipóteses acima, assume-se que o ativo-objeto (usualmente a ação) segue ummovimento Browniano geométrico. Isto é,

dSt=μStdt+σStdWt{\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t}\,}

ondeWt{\displaystyle W_{t}} é Browniano — o termodW{\displaystyle dW} representa toda e qualquer fonte de incerteza no preço histórico da ação.

  • Movimentos Brownianos Geométricos simulados com parâmetros do Market Data
    Movimentos Brownianos Geométricos simulados com parâmetros do Market Data

O payoff (perde-ganha) de uma opçãoV(S,T){\displaystyle V(S,T)} no vencimento é conhecido. Para encontrar seu valor em um tempo anterior, é necessário saber comoV{\displaystyle V} evolui como função deS{\displaystyle S} eT{\displaystyle T}. Pelolema de Itō para duas variáveis, tem-se

dV=(μS∂V∂S+∂V∂t+12σ2S2∂2V∂S2)dt+σS∂V∂SdW.{\displaystyle dV=\left(\mu S{\frac {\partial V}{\partial S}}+{\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)dt+\sigma S{\frac {\partial V}{\partial S}}\,dW.}

Agora, seja uma estratégia de negociação segundo a qual mantenha-se uma opção e negocie-se continuamente a ação de forma a manter-se−∂V∂S{\displaystyle -{\frac {\partial V}{\partial S}}} ações.No tempot{\displaystyle t}, o valor dessa carteira será

Π=V−S∂V∂S.{\displaystyle \Pi =V-S{\frac {\partial V}{\partial S}}.}

A composição desse portfolio, chamado portfólio protegido em delta (delta-hedge), varia a cada instante no tempo. FazendoR{\displaystyle R} denotar o lucro ou prejuízo acumulado com essa estratégia, no intervalo de tempo[t,t+dt]{\displaystyle [t,t+dt]} o lucro ou prejuízo instantâneo é

dR=dV−∂V∂SdS.{\displaystyle dR=dV-{\frac {\partial V}{\partial S}}\,dS.}

Substituindo nas equações acima, chega-se em

dR=(∂V∂t+12σ2S2∂2V∂S2)dt.{\displaystyle dR=\left({\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)dt.}

Esta equação não contém termos emdW{\displaystyle dW}. Ou seja, a estratégia é completamente sem risco (delta-neutra). Black e Scholes argumentam que, sob essas condições ideais, a taxa de retorno desse portfolio precisa ser igual, em todos os tempos, à taxa de retorno de qualquer outro instrumento sem risco; do contrário, haveria oportunidades dearbitragem. Assumindo que a taxa de retorno livre de risco sejar{\displaystyle r}, é preciso que no período[t,t+dt]{\displaystyle [t,t+dt]}

rΠdt=dR=(∂V∂t+12σ2S2∂2V∂S2)dt.{\displaystyle r\Pi \,dt=dR=\left({\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)dt.}

SubstituindoΠ{\displaystyle \Pi } e dividindo pordt{\displaystyle dt} obtém-se aEDP de Black-Scholes:

∂V∂t+12σ2S2∂2V∂S2+rS∂V∂S−rV=0.{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0.}

Com as hipóteses do modelo de Black-Scholes, a equação diferencial parcial é válida sempre queV{\displaystyle V} é duas vezes derivável em relação aS{\displaystyle S} e uma vez em relação at{\displaystyle t}.

Fórmula de Black-Scholes

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A seguir é mostrado como chegar a uma precificação específica para uma opção a partir da EDP geral de Black-Scholes, considerando como exemplo o preço Black-Scholes de uma opção de compra (call), para a qual a EDP acima tem comocondições de contorno

C(0,t)=0 para todo t{\displaystyle C(0,t)=0{\text{ para todo }}t\,}
C(S,t)→S quando S→∞{\displaystyle C(S,t)\rightarrow S{\text{ quando }}S\rightarrow \infty \,}
C(S,T)=max(S−K,0).{\displaystyle C(S,T)=\max(S-K,0).\,}

A última condição retorna o valor de uma opção na data de exercício. A solução da EDP retorna o valor de uma opção em qualquer tempo antes disso,E[max(S−K,0)]{\displaystyle \mathbb {E} \left[\max(S-K,0)\right]}. Para resolver a EDP, transforma-se a equação em umaequação da difusão, que pode ser resolvida pelos métodos usuais. Para isso, introduz-se as mudanças de variável

τ=T−t{\displaystyle \tau =T-t\,}
u=Cerτ{\displaystyle u=Ce^{r\tau }\,}
x=ln⁡(S/K)+(r−σ22)τ.{\displaystyle x=\ln(S/K)+(r-{\frac {\sigma ^{2}}{2}})\tau .\,}

Assim, a EDP de Black-Scholes torna-se a equação de difusão

∂u∂τ=σ22∂2u∂x2.{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial \tau }}={\frac {\sigma ^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.}

A condição finalC(S,T)=max(S−K,0){\displaystyle C(S,T)=\max(S-K,0)} torna-se uma condição inicial:

u(x,0)=u0(x)≡Kmax(ex−1,0).{\displaystyle u(x,0)=u_{0}(x)\equiv K\max(e^{x}-1,0).\,}

Utilizando o método tradicional para a solução de uma equação da difusão, chega-se em

u(x,τ)=1σ2πτ∫−∞∞u0(y)e−(x−y)2/(2σ2τ)dy.{\displaystyle u(x,\tau )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi \tau }}}}\int _{-\infty }^{\infty }u_{0}(y)e^{-(x-y)^{2}/(2\sigma ^{2}\tau )}\,dy.}

E com alguma álgebra, obtém-se

u(x,τ)=Kex+σ2τ/2N(d1)−KN(d2){\displaystyle u(x,\tau )=Ke^{x+\sigma ^{2}\tau /2}N(d_{1})-KN(d_{2})}
onde:
d1=x+σ2τστ{\displaystyle d_{1}={\frac {x+\sigma ^{2}\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}} ed2=xστ.{\displaystyle d_{2}={\frac {x}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}.}

Substituindo parau{\displaystyle u},x{\displaystyle x}, eτ{\displaystyle \tau }, obtém-se o valor de uma opção de compra em termos dos parâmetros de Black-Scholes:

C(S,t)=SN(d1)−Ke−r(T−t)N(d2){\displaystyle C(S,t)=SN(d_{1})-Ke^{-r(T-t)}N(d_{2})\,}
onde:
d1=ln⁡(S/K)+(r+σ2/2)(T−t)σT−t{\displaystyle d_{1}={\frac {\ln(S/K)+(r+\sigma ^{2}/2)(T-t)}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}} ed2=d1−σT−t.{\displaystyle d_{2}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}.}

O preço de uma opção de venda (put) pode ser computado então a partir da paridade put-call, e resulta em

P(S,t)=Ke−r(T−t)N(−d2)−SN(−d1).{\displaystyle P(S,t)=Ke^{-r(T-t)}N(-d_{2})-SN(-d_{1}).\,}


Interpretação:N(d1){\displaystyle N(d_{1})} andN(d2){\displaystyle N(d_{2})} are the probabilities of the option expiring in-the-money under the equivalent exponentialmartingale probability measure (numéraire = stock) and the equivalentmartingale probability measure (numéraire = risk free asset), respectively. The equivalent martingale probability measure is also called the risk neutral probability measure. Note that both of these are "probabilities" in ameasure theoretic sense, and neither of these is the true probability of expiring in-the-money under the real probability measure.

  • Superficie de precificação de uma opção de compra europeia de Black-Scholes
    Superficie de precificação de uma opção de compra europeia de Black-Scholes

Gregas

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Asgregas calculadas de acordo com Black-Scholes são dadas em forma fechada, conforme segue:

O queCallsPuts
delta∂C∂S{\displaystyle {\frac {\partial C}{\partial S}}}N(d1){\displaystyle N(d_{1})\,}−N(−d1)=N(d1)−1{\displaystyle -N(-d_{1})=N(d_{1})-1\,}
gamma∂2C∂S2{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}C}{\partial S^{2}}}}N′(d1)SσT−t{\displaystyle {\frac {N'(d_{1})}{S\sigma {\sqrt {T-t}}}}\,}
vega∂C∂σ{\displaystyle {\frac {\partial C}{\partial \sigma }}}SN′(d1)T−t{\displaystyle SN'(d_{1}){\sqrt {T-t}}\,}
theta−∂C∂t{\displaystyle -{\frac {\partial C}{\partial t}}}−SN′(d1)σ2T−t−rKe−r(T−t)N(d2){\displaystyle -{\frac {SN'(d_{1})\sigma }{2{\sqrt {T-t}}}}-rKe^{-r(T-t)}N(d_{2})\,}−SN′(d1)σ2T−t+rKe−r(T−t)N(−d2){\displaystyle -{\frac {SN'(d_{1})\sigma }{2{\sqrt {T-t}}}}+rKe^{-r(T-t)}N(-d_{2})\,}
rho∂C∂r{\displaystyle {\frac {\partial C}{\partial r}}}K(T−t)e−r(T−t)N(d2){\displaystyle K(T-t)e^{-r(T-t)}N(d_{2})\,}−K(T−t)e−r(T−t)N(−d2){\displaystyle -K(T-t)e^{-r(T-t)}N(-d_{2})\,}

É importante notar que as fórmulas de gamma e vega são as mesmas para calls e puts. Isso pode ser visto diretamente a partir da paridade call-put.

Na prática, algumas variáveis são usualmente cotadas em termos escalonados, para ficarem compatíveis com a escala de mudanças usuais nos parâmetros. Por exemplo, rho é comumente utilizada dividida por 10000, vega por 100, e theta por 365 ou 252 (um dia de decaimento baseado no ano-calendário ou no número de dias úteis por ano).

Extensões do modelo

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O modelo acima pode ser estendido para ter taxas e volatilidades não constantes (mas determinísticas). O modelo também pode ser utilizado para precificar opções europeias sobre instrumentos que pagam dividendos. Neste caso, soluções fechadas são possíveis se o dividendo é uma proporção conhecida do preço da ação. Opções americanas e opções sobre ações pagando um dividendo com valor conhecido em dinheiro (no curto prazo, mais realista que um dividendo proporcional) são mais difíceis de precificar, mas existe um conjunto de técnicas capaz de solucionar esse problema (por exemplo lattices e grids).

Instrumentos que pagam taxas contínuas de dividendos

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Para opções sobre índices, é razoável aceitar a hipótese simplificada de que dividendos são pagos continuamente, e que a quantidade de dividendos é proporcional ao nível do índice.

O dividendo pago no período de tempo[t,t+dt]{\displaystyle [t,t+dt]} é modelado como

qStdt{\displaystyle qS_{t}\,dt}

para alguma constanteq{\displaystyle q} (odividend yield).

Nessa formulação, o preço livre de arbitragem previsto pelo modelo Black-Scholes pode ser mostrado como sendo

C(S0,T)=e−rT(FN(d1)−KN(d2)){\displaystyle C(S_{0},T)=e^{-rT}(FN(d_{1})-KN(d_{2}))\,}

onde agora

F=S0e(r−q)T{\displaystyle F=S_{0}e^{(r-q)T}\,}

é o preço futuro modificado que ocorre nos termos ded1{\displaystyle d_{1}} ed2{\displaystyle d_{2}}:

d1=ln⁡(F/K)+(σ2/2)TσT{\displaystyle d_{1}={\frac {\ln(F/K)+(\sigma ^{2}/2)T}{\sigma {\sqrt {T}}}}}
d2=d1−σT.{\displaystyle d_{2}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T}}.}

A mesma fórmula é utilizada para precificar opções sobre moedas estrangeiras, exceto que nesse casoq{\displaystyle q} faz o papel das taxas de juros estrangeiras livres de risco eS{\displaystyle S} é o câmbio à vista. Este é o modelo deGarman–Kohlhagen (1983).

Instrumentos que pagam dividendos discretos proporcionais

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Também é possível estender a teoria de Black-Scholes para opções sobre instrumentos que pagam dividendos discretos proporcionais. Isso é útil quando a opção é baseada em uma única ação.

Um modelo típico é assumir que uma proporçãoδ{\displaystyle \delta } do preço da ação é pago em momentos pré-determinadost1,t2,...{\displaystyle t_{1},t_{2},...} O preço da ação é então modelado como

St=S0(1−δ)n(t)eut+σWt{\displaystyle S_{t}=S_{0}(1-\delta )^{n(t)}e^{ut+\sigma W_{t}}}

onden(t) é o número de dividendos que foram pagos até o tempot{\displaystyle t}.

O preço de uma opção de compra sobre tal ação é novamente

C(S0,T)=e−rT(FN(d1)−KN(d2)){\displaystyle C(S_{0},T)=e^{-rT}(FN(d_{1})-KN(d_{2}))\,}

onde agora

F=S0(1−δ)n(T)erT{\displaystyle F=S_{0}(1-\delta )^{n(T)}e^{rT}\,}

é o preço futuro para a ação que paga dividendos.

Derivação da fórmula

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Derivação elementar

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SejaS0{\displaystyle S_{0}} o preço atual de uma ação objeto eS{\displaystyle S} o preço quando a opção expira no tempoT{\displaystyle T}. EntãoS0{\displaystyle S_{0}} é conhecido, masS{\displaystyle S} é umavariável aleatória. Assuma que

X≡ln⁡(SS0){\displaystyle X\equiv \ln \left({\frac {S}{S_{0}}}\right)\,}

é umavariável aleatória normal commédiauT{\displaystyle uT} evariânciaσ2T{\displaystyle \sigma ^{2}T}, e segue que a média deS{\displaystyle S} é

E[S]=S0eqT{\displaystyle \mathbb {E} \left[S\right]=S_{0}e^{qT}\,}

para alguma constanteq{\displaystyle q} (independente deT{\displaystyle T}).Agora um simples argumento de inexistência de oportunidade de arbitragem mostra que o valor futuro teórico de um derivativo pagando um papel da ação no tempoT{\displaystyle T}, com payoffS{\displaystyle S}, é

S0erT{\displaystyle S_{0}e^{rT}\,}

onder{\displaystyle r} é a taxa de juros livre de risco. Isso sugere fazer a identificaçãoq=r{\displaystyle q=r} com o objetivo de precificar derivativos. Defina o valor teórico de um derivativo como ovalor presente do payoffesperado nesse sentido, para uma opção de compra com preço de exercícioK{\displaystyle K} essa expectativa descontada (utilizandoprobabilidades de risco neutro) é

C(S0,T)=e−rTE[max(S−K,0)].{\displaystyle C(S_{0},T)=e^{-rT}\mathbb {E} \left[\max(S-K,0)\right].\,}

A derivação da fórmula paraC é facilitada pelo seguintelema: SejaZ{\displaystyle Z} umavariável aleatória normal padrão e sejab{\displaystyle b} umnúmero real estendido. Defina

Z+(b)={Zse Z>b−∞caso contrário.{\displaystyle Z^{+}(b)={\begin{cases}Z&{\mbox{se }}Z>b\\-\infty &{\mbox{caso contrário}}.\end{cases}}}

Sea é um número real positivo, então

E[eaZ+(b)]=ea2/2N(a−b){\displaystyle \mathbb {E} \left[e^{aZ^{+}(b)}\right]=e^{a^{2}/2}N(a-b)}

ondeN{\displaystyle N} é afunção de distribuição acumulada normal padrão. No caso especialb=−∞{\displaystyle b=-\infty }, tem-se

E[eaZ]=ea2/2.{\displaystyle \mathbb {E} \left[e^{aZ}\right]=e^{a^{2}/2}.}

Agora faça

Z=X−uTσT{\displaystyle Z={\frac {X-uT}{\sigma {\sqrt {T}}}}}

e use umcorolário do lema para verificar a proposição acima sobre a médiaS{\displaystyle S}. Defina

S+={Sif S>K0otherwise{\displaystyle S^{+}={\begin{cases}S&{\mbox{if }}S>K\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}
X+=ln⁡(S+/S0){\displaystyle X^{+}=\ln(S^{+}/S_{0})\,}

e observe que

X+−uTσT=Z+(b){\displaystyle {\frac {X^{+}-uT}{\sigma {\sqrt {T}}}}=Z^{+}(b)}

para algumb{\displaystyle b}. Defina

K+={Kif S>K0otherwise{\displaystyle K^{+}={\begin{cases}K&{\mbox{if }}S>K\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}

e observe que

max(S−K,0)=S+−K+.{\displaystyle \max(S-K,0)=S^{+}-K^{+}.\,}

O restante do cálculo é direto.

Ainda que a derivação "elementar" leve ao resultado correto, ela é incompleta por não conseguir explicar por que a fórmula se refere à taxa de juros livre de risco enquanto uma taxa mais alta de retorno é esperada para investimentos de risco. Essa limitação pode ser superada utilizando-se medidas de probabilidade de risco neutro, mas o conceito de neutralidade ao risco e a teoria relacionada está longe de ser elementar. Em termos simples, o valor de uma opção hojenão é o valor esperado da opção no vencimento, descontado com a taxa livre de risco. (Então os resultados básicos domodelo de precificação de ativos (CAPM) não são violados.) Contrariamente, o valor é calculado utilizando expectâncias de acordo comoutra distribuição de probabilidade, chamada probabilidade neutra ao risco.

Outras derivações da EDP

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Acima usou-se o método da precificação livre de arbitragem para derivar EDPs governando os preços de opções dados pelo modelo de Black-Scholes. É também possível utilizar um argumento de neutralidade de risco. Este último método retorna o preço como sendo ovalor esperado do payoff da opção sob umamedida de probabilidade particular, chamadamedida neutra ao risco, que difere da medida real.


Observações sobre a notação

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É importante alertar para a notação inconsistente que aparece ao longo desse artigo. A letraS é usada como:

(1) uma constante denotando o preço atual da ação
(2) uma variável real denotando o preço em um momento arbitrário
(3) uma variável aleatória denotando o preço no vencimento
(4) um processo estocástico denotando o preço em um momento arbitrário

É também usada no contexto de (4) com um índice denotando tempo, mas nesse caso o índice é meramente mnemômico.

Nas derivadas parciais, as letras nos numeradores e denominadores são naturalmente variáveis reais, e as derivadas parciais propriamente ditas são, inicialmente, funções reais de variáveis reais. Mas depois da substituição de um processo estocástico por um dos argumentos, elas se tornam processos estocásticos.

A EDP de Black-Scholes é, inicialmente, uma afirmação sobre o processo estocásticoS{\displaystyle S}, mas quandoS{\displaystyle S} é reinterpretado como uma variável real, ela se torna uma EDP ordinária. É somente então que se pode procurar sua solução.

O parâmetrou{\displaystyle u} que aparece no modelo de dividendos discretos não é o mesmo que o parâmetroμ{\displaystyle \mu } que aparece em outros lugares no artigo. Para relações entre eles vejaMovimento Browniano Geométrico.

Notas e referências

  1. ↑MacKenzie, 2006. Chapter 01.
  2. ↑Artigo (em inglês) no "Journal of Economic Behavior & Organization" nr 77. Elsevier, 2011, Págs 97–106."
  3. ↑Taleb, 1997. Págs 91 e 110-111.
  4. ↑Mandelbrot & Hudson, 2006. Págs 9-10.
  5. ↑Thorp, 2017. Pág.11.
  6. ↑Mandelbrot & Hudson, 2006. Pág. 74
  7. ↑Mandelbrot & Hudson, 2006. Págs 72-75.
  8. ↑Derman, 2004. Págs 143-47.
  9. ↑Thorp, 2017. Págs.183-89.
  10. ↑Nobel prize foundation, 1997 Press release
  11. ↑Black, Fischer; Myron Scholes (1973). "The Pricing of Options and Corporate Liabilities". Journal of Political Economy 81 (3): 637–654.

Referências primárias

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  • Black, Fischer; Myron Scholes (1973). «The Pricing of Options and Corporate Liabilities».Journal of Political Economy.81 (3): 637–654.doi:10.1086/260062 A referência emprega parâmetros obsoletos|coautor= (ajuda)[1] (Black and Scholes' original paper.)
  • Merton, Robert C. (1973). «Theory of Rational Option Pricing».Bell Journal of Economics and Management Science.4 (1): 141–183.doi:10.2307/3003143 [2]

Bibliografia citada

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Aspectos históricos e sociológicos

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  • Bernstein, Peter (1992).Capital Ideas: The Improbable Origins of Modern Wall Street. [S.l.]: The Free Press.ISBN 0-02-903012-9 
  • MacKenzie, Donald (2003). «An Equation and its Worlds: Bricolage, Exemplars, Disunity and Performativity in Financial Economics».Social Studies of Science.33 (6): 831–868.doi:10.1177/0306312703336002 [3]
  • MacKenzie, Donald; Yuval Millo (2003). «Constructing a Market, Performing Theory: The Historical Sociology of a Financial Derivatives Exchange».American Journal of Sociology.109 (1): 107–145.doi:10.1086/374404 A referência emprega parâmetros obsoletos|coautor= (ajuda)[4]

Ligações externas

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Discussão do modelo
Derivação e solução
Revisitando o modelo
Implementações computacionais
Históricos
  • «Trillion Dollar Bet» —Companion Web site to a Nova episode originally broadcast on February 8, 2000."The film tells the fascinating story of the invention of the Black-Scholes Formula, a mathematical Holy Grail that forever altered the world of finance and earned its creators the 1997 Nobel Prize in Economics."
  • «BBC Horizon»  A TV-programme on the so-calledMidas formula and the bankruptcy ofLong-Term Capital Management (LTCM)
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