O espaço vectorial dospolinómios p(x) de coeficientes reais tem uma base infinita, o conjunto
Cada corpoK pode ser considerado como um espaço vectorial sobre ele mesmo. Neste caso, qualquer elemento não-nulo forma uma base
O espaço vectorial formado pelo vetor nulo tem como base oconjunto vazio.[2]
Seja um elemento algébrico sobre o corpo sendo uma extensão de Então existe umpolinômio com coeficientes em tal que Podemos definir o grau de em como o menor grau dos polinômios em que Então é umaextensão algébrica de e, portanto, podemos considerar como um espaço vetorial sobre Neste caso, a sua base é
Um espaço vectorial pode ter mais de uma base. De facto, um espaço vectorial só pode ter uma única base nos seguintes casos:
o espaço formado só por sobre qualquer corpo (a base é o conjunto vazio);
o espaço como espaço vectorial sobre o corpo (a base é {}).
Os seguintes resultados, porém, são válidos:
Se um espaço vectorial tem uma base finita, então todas as outras bases também são finitas, e têm a mesmacardinalidade.[3]
De modo geral, supondo-se oaxioma da escolha, duas bases de um espaço vectorial tem a mesma cardinalidade (mesmo se a base for um conjunto infinito). Esta cardinalidade designa-se pordimensão de[4] Um espaço vectorial que possui uma de suas bases formada por 3 vectores, por exemplo, é um espaço vetorial de dimensão 3.
Usando-se uma forma equivalente do axioma da escolha, oLema de Zorn, é fácil mostrar que todo espaço vectorial tem uma base e, mais geralmente, provar que, para qualquer conjuntolinearmente independente de vectores de existe uma base de que contém Seja o conjunto de todos as partes linearmente independentes de que contêm O conjunto estáparcialmente ordenado pela inclusão de conjuntos. Seja uma parte detotalmente ordenada. Então é majorado; basta ver que a união de todos os elementos de é novamente linearmente independente e contém (ou seja, pertence a) e que contém todos os elementos de O lema de Zorn afirma então que tem algum elemento maximal Então, como ∈ é linearmente independente e contém Se não gerasse haveria algum vector ∈ que não seriacombinação linear de elementos de Então ∪ seria também um conjunto linearmente independente que conteria Mas ⊂ ∪ e ≠ ∪ o que está em contradição com ser um elemento maximal de Logo, gera e, portanto, é uma base.
Uma boa forma de interpretar o conceito de Base é pensar nas cores primárias: se misturarmos amarelo, magenta e azul ciano nas proporções correctas podemos criar qualquer outra cor que desejemos. Além do mais, tal proporção é única para a cor desejada. Da mesma forma, uma Base permite-nos, de maneira única, combinar linearmente ("misturar") os seus vectores ("cores primárias") para obtermos o vector ("a cor") que pretendemos.
Callioli, Carlos A.; Hygino H. Domingues; Roberto C. F. Costa (1990).Álgebra Linear e Aplicações 6 ed. São Paulo: Atual.ISBN 9788570562975A referência emprega parâmetros obsoletos|coautor= (ajuda)
