Aanálise funcional é o ramo damatemática, e mais especificamente daanálise, que trata do estudo de espaços defunções. Tem suas raízes históricas no estudo de transformações, tais como aTransformada de Fourier, e no estudo deequações diferenciais eequações integrais. A palavrafuncional remonta aocálculo de variações, implicando uma função cujo argumento é uma função. Seu uso em geral é atribuído aVolterra.[1][2]
Um grande impulso para o avanço da análise funcional durante o século XX foi a modelagem, devida aJohn von Neumann, damecânica quântica emespaços de Hilbert.
Entre osteoremas importantes da análise funcional, estão:
A análise funcional faz uso de muitos conceitos deálgebra linear, e pode ser considerada até certo ponto como o estudo de espaços normados de dimensão infinita. Durante o século XX diversas técnicas da topologia foram aplicadas no estudo da análise funcional, principalmente a teoria do grau.Um tópico da análise funcional que possui forte relação com a topologia é o estudo dos espaços vetoriais localmente convexos, onde não se admite necessariamente a existência de uma norma definindo uma topologia sobre os espaços vetoriais estudados.A partir da segunda metade do século XX, graças aos trabalhos de von Neumann, Naimark e Gelfand, a análise funcional tem sido utilizada no estudo de álgebras não-comutativas e daK-teoria algébrica.
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