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Análise complexa

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Análise matemática →Análise complexa
Análise complexa
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Aanálise complexa, também conhecida como ateoria das funções de variável complexa, é o ramo damatemática que investiga asfunções denúmeros complexos. Ela é útil em muitas áreas da matemática, incluindogeometria algébrica,teoria dos números,análise combinatória ematemática aplicada; além disso, ela é amplamente utilizada em vários ramos dafísica, comohidrodinâmica,termodinâmica e, em particular,mecânica quântica. Por consequência, o escopo teórico da análise complexa também possui aplicações nas várias divisões da engenharia, como nas engenhariasnuclear,aeroespacial,mecânica eelétrica.

Já que umafunção diferenciável de variável complexa é igual à soma de suasérie de Taylor — isto é, também é umafunção analítica — a análise complexa tem interesse particular nas funções analíticas de variável complexa, denominadasfunções holomorfas.

Funções complexas

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A teoria das funções de variável complexa tem como um de seus principais objetivos a extensão docálculo diferencial e integral para odomínio dosnúmeros complexos.[1] Seja A um conjunto denúmeros complexos. Sez{\displaystyle z} denota qualquer um dos números do conjunto A, entãoz{\displaystyle z} é denominado umavariável complexa. Se existe uma correspondência entre os valores da variável complexaz{\displaystyle z} para com uma outra variável complexaw{\displaystyle w} para cada valor possível dez{\displaystyle z} (elementos do conjunto A), entãow{\displaystyle w} é umafunção da variável complexa z no conjunto A e isto é denotado comow=f(z).{\displaystyle w=f(z).} O conjunto A é usualmente algumdomínio, chamadodomínio de definição da funçãow.{\displaystyle w.}

Como todo número complexo pode ser escrito na formaz=a+bi,{\displaystyle z=a+bi,} em quea=R(z),b=Im(z){\displaystyle a=R(z),b=Im(z)} indicam a parte real e a parte imaginária do número complexo z, respectivamente, temos que é possível decompor afunção complexaw=f(z){\displaystyle w=f(z)} na formaf(z)=u(x,y)+iv(x,y).{\displaystyle f(z)=u(x,y)+iv(x,y).} Como nasfunções reais, existem diversas classes de funções que podem ser atribuídas às funções complexas, por exemplo:

P(z)=a0+a1z+a2z2+...+anzn,{\displaystyle P(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+...+a_{n}z^{n},} em que z é uma variável complexa, é umafunção polinomial em variável complexa.

Limites de funções complexas

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Ver artigo principal:Limite de uma função

Sejaf (z) uma função complexa definida nas vizinhanças do pontoz0, sendo possivelmente não definida no próprio pontoz0. De forma análoga aocaso real, define-se olimiteL dessa função quando a variávelz tende ao pontoz0 como sendo o valor da qual ela se aproxima (caso este exista) conformez fica arbitrariamente próximo dez0. Emlinguagem matemática formal, diz-se que

limz→z0f(z)=L{\displaystyle \lim _{z\to z_{0}}f(z)=L},

se, para cada númeroε > 0 existe um outro númeroδ > 0 com a propriedade de que a desigualdade|f (z) - L | <ε é válida para todos os valores dez tais que|z -z0 | <δ ez ≠z0.[2] Nessa definição, as barras|| representam omódulo de um número complexo, definido como|z| =√x2 +y2 paraz =x +yi, em quex ey são as partes real e complexa dez, respectivamente. Uma notação alternativa também utilizada para denotar um limite éf(z)→L{\displaystyle f(z)\to L} paraz→z0{\displaystyle z\to z_{0}}.[2]

Algumas propriedades típicas doslimites de funções reais também podem ser aplicadas às funções complexas, por exemplo:1) o limite da soma é igual a soma dos limites;2) o limite do produto é igual ao produto dos limites;3) o limite do quociente é igual ao quociente dos limites (dado que o denominador não seja 0);...

As condições decontinuidade para as funções complexas são as mesmas de umafunção real.

Derivada de uma função complexa

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Ver artigo principal:Derivada

Tomemos, à semelhança das funções reais, o limitelimΔz→0f(z0+Δz)−f(z0)Δz=f′(z0)=dfdz(z0),{\displaystyle \lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}=f'(z_{0})={\frac {df}{dz}}(z_{0}),} denominado "derivada" da funçãof{\displaystyle f} em relação az{\displaystyle z} no pontoz0.{\displaystyle z_{0}.} Assim, como nas funções reais, uma função complexa tem de sercontínua em um ponto para que sejadiferenciável neste ponto (mas a recíproca não é necessariamente verdadeira). As principais fórmulas de diferenciação empregadas nas funções reais tem sua versão análoga para as funções complexas.

Condições de Cauchy-Riemann

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Ver artigo principal:Equações de Cauchy-Riemann

Suponha que a função f sejaderivável emz0,{\displaystyle z_{0},} em quez0=x0+iy0:{\displaystyle z_{0}=x_{0}+iy_{0}:}

f(z)=u(x,y)+iv(x,y){\displaystyle f(z)=u(x,y)+iv(x,y)}

f′(z)=a+ib{\displaystyle f'(z)=a+ib}

Δf=f(z0+Δz)−f(z0){\displaystyle \Delta f=f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}

Δu=u(x0+Δx,yo+Δy)−u(x0,y0){\displaystyle \Delta u=u(x_{0}+\Delta x,y_{o}+\Delta y)-u(x_{0},y_{0})}

eΔv,{\displaystyle \Delta v,} para a mudança correspondente em v(x,y). EntãolimΔz→0ΔfΔz=limΔz→0Δu+iΔvΔx+iΔy=a+ib{\displaystyle \lim _{\Delta z\to 0}{\frac {\Delta f}{\Delta z}}=\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {\Delta u+i\Delta v}{\Delta x+i\Delta y}}=a+ib}

e também:

limΔx→0,Δy→0Re(Δu+iΔvΔx+iΔy)=a{\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0,\Delta y\to 0}{\text{Re}}\left({\frac {\Delta u+i\Delta v}{\Delta x+i\Delta y}}\right)=a}

limΔx→0,Δy→0Im(Δu+iΔvΔx+iΔy)=b{\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0,\Delta y\to 0}{\text{Im}}\left({\frac {\Delta u+i\Delta v}{\Delta x+i\Delta y}}\right)=b}

Em particular, quandoΔy=0,{\displaystyle \Delta y=0,} em queΔz=Δx,{\displaystyle \Delta z=\Delta x,} esses limites se tornam limites de funções de uma variável (\Delta x) de forma que:

limΔx→0u(x0+Δx,y0)−u(x0,y0)Δx=a{\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {u(x_{0}+\Delta x,y_{0})-u(x_{0},y_{0})}{\Delta x}}=a}

limΔx→0v(x0+Δx,y0)−v(x0,y0)Δx=b{\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {v(x_{0}+\Delta x,y_{0})-v(x_{0},y_{0})}{\Delta x}}=b}

ou seja, asderivadas parciais∂u∂x{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}} e∂v∂x{\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial x}}} com relação a x existem no ponto(x0,y0){\displaystyle (x_{0},y_{0})} e

∂u∂x=a{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}=a}e∂v∂x=b{\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial x}}=b}

O procedimento análogo pode ser feito observando quandoΔx=0(Δz=iΔy){\displaystyle \Delta x=0(\Delta z=i\Delta y)} de forma que existem as derivadas parciais com relação a y e são elas:

∂u∂y=−b{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}=-b}e∂v∂y=a,{\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial y}}=a,} no ponto(x0,y0){\displaystyle (x_{0},y_{0})}

Dos dois procedimentos, chegamos às equações:

∂u∂x=∂v∂y{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}}

∂u∂y=−∂v∂x{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}}

Que são asCondições de Cauchy-Riemann. Comof′(z)=a+ib,{\displaystyle f'(z)=a+ib,} chegamos à expressãof′(z)=∂u∂x+i∂v∂x=∂v∂y−i∂u∂y,{\displaystyle f'(z)={\frac {\partial u}{\partial x}}+i{\frac {\partial v}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}-i{\frac {\partial u}{\partial y}},} no ponto(x0,y0).{\displaystyle (x_{0},y_{0}).} Estabelece-se o Teorema:

Teorema.Se a derivadaf′(z){\displaystyle f'(z)} de uma funçãof=u+iv{\displaystyle f=u+iv} existe num pontoz,{\displaystyle z,} então as derivadas parciais de primeira ordem, com relação ax{\displaystyle x} ey,{\displaystyle y,} de cada componenteu{\displaystyle u} ev{\displaystyle v} devem existir naquele ponto e satisfazer as condições de Cauchy-Riemann. Além disso,f′(z){\displaystyle f'(z)} é dada em termos de suas derivadas parciais pela equaçãof′(z)=∂u∂x+i∂v∂x=∂v∂y−i∂u∂y.{\displaystyle f'(z)={\frac {\partial u}{\partial x}}+i{\frac {\partial v}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}-i{\frac {\partial u}{\partial y}}.}

Referências

  1. ↑Ahlfors 1979, p. 21
  2. ↑abAhlfors 1979, p. 22

Bibliografia

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OWikilivros tem um livro chamadoAnálise complexa
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