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Achatamento

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
 Nota: Se procura o achatamento polar da Terra, vejaAchatamento da Terra.
Círculo de raioa comprimido a uma elipse

Achatamento, emcartografia, é uma medida da compressão de umcírculo ou umaesfera ao longo de um diâmetro para formar umaelipse ou umelipsoide de revolução (esferoide) respectivamente. Outro termo utilizado é elipticidade. A notação usual para o achatamento é f e sua definição em termos dos semi-eixos da elipse ou elipsóide resultantes é

achatamento=f=a−ba.{\displaystyle \mathrm {achatamento} =f={\frac {a-b}{a}}.}[1]

O fator de compressão éb/a em cada caso. Para a elipse, este factor é também a razão de aspecto da elipse.

Também pode ser definido como a razão entre a diferença entre os doisraios,equatorial (a) epolar (b), e o raio equatorial, em umaelipse, que pode ser expresso como uma função daexcentricidade angular,oε{\displaystyle o\!\varepsilon \,\!}:

xf=ver(oε)=2sin2⁡(oε2)=1−cos⁡(oε)=a−ba;{\displaystyle {}_{\color {white}x}f={\mbox{ver}}(o\!\varepsilon )=2\sin ^{2}\left({\frac {o\!\varepsilon }{2}}\right)=1-\cos(o\!\varepsilon )={\frac {a-b}{a}};\,\!}[2][3][4]

O valor obtido indica quanto o elipsóide se aproxima da forma esférica (razão 0).

Há duas outras variantes do achatamento (veja abaixo), e quando é necessário para evitar a confusão o achatamento acima é chamado deprimeiro achatamento. As definições seguintes podem ser encontradas em textos normalizados[5][6][7] e textos da web on-line[8][9]

Definições de achatamento

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No seguinte,a representa a dimensão maior (e.g. semi-eixo maior), enquantob é o (semi-eixo menor) menor. Todos os achatamentos são zero para um círculo (a=b).

(primeiro) achatamentof{\displaystyle f\,\!}a−ba{\displaystyle {\frac {a-b}{a}}\,\!}Fundamental. A inversa 1/f é a escolha normal para oselipsóides de referência geodésicos.
segundo achatamentof′{\displaystyle f'\,\!}a−bb{\displaystyle {\frac {a-b}{b}}\,\!}  Raramente usado.
terceiro achatamenton(f″){\displaystyle n\quad (f'')\,\!}  a−ba+b{\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}\,\!}Utilizado nos cálculos geodésicos como um pequeno parâmetro de expansão.[10]

O terceiro achatamento pode ser derivado da seguinte forma:

f′=tan2⁡(oε2)=1−cos⁡(oε)1+cos⁡(oε)=a−ba+b.{\displaystyle f'=\tan ^{2}\left({\frac {o\!\varepsilon }{2}}\right)={\frac {1-\cos(o\!\varepsilon )}{1+\cos(o\!\varepsilon )}}={\frac {a-b}{a+b}}.\,\!}

Referências

  1. ↑Osborne, Peter (2013).«The Normal and Transverse Mercator Projections on the Sphere and the Ellipsoid with Full Derivations of all Formulae»(PDF). Edinburgh. p. 10. Consultado em 13 de maio de 2013. Arquivado dooriginal(PDF) em 18 de janeiro de 2012 
  2. ↑Wolfgang Torge. Geodesy, 3rd Edition, pg. 8.
  3. ↑Site do curso de Engenharia Cartográfica da UFRGS. Geometria do Elipsóide.
  4. ↑Também se usa o termo "achatamento de uma elipse" como sinônimo de "excentricidade de uma elipse", de definição distinta. VideHoward A. Anton. Cálculo, volume 2, pg. 772.
  5. ↑Maling, Derek Hylton (1992).Coordinate Systems and Map Projections 2.ª ed. Oxford; New York: Pergamon Press.ISBN 0-08-037233-3 
  6. ↑Snyder, John P. (1987).Map Projections: A Working Manual. Col: U.S. Geological Survey Professional Paper.1395. Washington, D.C.: United States Government Printing Office 
  7. ↑Torge, W. (2001).Geodesy (3rd edition). de Gruyter.ISBN 3-11-017072-8
  8. ↑Osborne, P. (2008).The Mercator ProjectionsArquivado em 18 de janeiro de 2012, noWayback Machine. Chapter 5.
  9. ↑Rapp, Richard H. (1991).Geometric Geodesy, Part I. Dept. of Geodetic Science and Surveying, Ohio State Univ., Columbus, Ohio.[1]
  10. ↑F. W. Bessel, 1825,Uber die Berechnung der geographischen Langen und Breiten aus geodatischen Vermessungen,Astron.Nachr., 4(86), 241-254,doi:10.1002/asna.201011352, traduzido para o Inglês por C. F. F. Karney e R. E. Deakin comoThe calculation of longitude and latitude from geodesic measurements,Astron. Nachr. 331(8), 852-861 (2010), E-printArxiv
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