W mechanice konstrukcji rzeczywiste ciała zastępuje się ich modelami mechanicznymi takimi jakpręty,płyty,powłoki. Obliczaniem zginanych płyt i powłok zajmują się odpowiednie działymechaniki ośrodków ciągłych[1].
We wszystkich rozważaniach posługiwać się będziemy prawoskrętnym układem współrzędnych związanym z przekrojem poprzecznym pręta, którego normalna zewnętrzna jest skierowana zgodnie zujemnym zwrotem osi Układ będzie utożsamiany z układemosi głównych, centralnych. Oś pokrywać się będzie z osią pręta skierowaną poziomo „w prawo”, oś – skierujemy „poziomo w głąb”, a oś – „w górę”. Znaki występujące we wzorach będą się odnosić do takiego właśnie układu współrzędnych.
Siły przekrojowe w przekroju są dodatnie wtedy, gdy mają zwroty zgodne z układem osi Wartości tych sił wynikają z redukcji lewostronnych obciążeń zewnętrznych dośrodka ciężkości przekroju
Czyste, płaskie zginanie pręta pryzmatycznegoMomenty zginające w belce
Zginanie czyste (proste) występuje wówczas, gdy we wszystkich przekrojach poprzecznych pręta, na całej jego długości,siły wewnętrzne redukują się tylko do momentu zginającego, o wektorze leżącym w płaszczyźnie przekroju pręta[2]. Jeżeli ten wektor madwie, różne od zera składowe i (liczone względemgłównych centralnych osi bezwładności), to zginanie takie jestukośne (dwuosiowe, skośne). W przeciwnym razie, gdy np. zginanie jestpłaskie (jednoosiowe, proste) i zachodzi w płaszczyźnieNaprężenia normalne w przypadku czystego zginania, określone są przezsiły przekrojowe wzorem
Zginanie poprzeczne charakteryzuje się występowaniem sił poprzecznych spowodowanych działaniem obciążeń prostopadłych do osi pręta[2]. Siły te sprawiają, że wartości momentów zginających i są zmienne na długości pręta. Naprężenia normalne określa ten sam wzór co wyżej.
Ściskanie/rozciąganie mimośrodowe jest superpozycją działania momentów zginających i z działaniem siły podłużnej Naprężenie normalne określone jestwzorem[2]
Ten ogólny przypadek zginania występuje we wszystkich elementach konstrukcji zbudowanych z prętów smukłych, w których wymiary przekroju poprzecznego nie przekraczają 1/10 długości osi pręta.
Maksymalnenaprężenie normalne w przekroju poprzecznym pręta występuje dla i wynosi:
gdzie:
– wskaźnik (współczynnik) wytrzymałości przekroju na zginanie, który zależy od rozmiaru i kształtu przekroju pręta.
W praktyce inżynierskiej problem zginania prętów rozpatrywany jest na gruncie prostej teorii Eulera-Bernoulliego. Podstawowym założeniem tej teorii jest, że odcinek prosty i prostopadły do osi pręta (lub powierzchni środkowej płyty lub powłoki) przed deformacją, pozostaje prosty i prostopadły po wystąpieniu deformacji. Jest to konsekwencją pominięcia wpływu naprężeń stycznych w przekroju. Dla przypadku czystego płaskiego zginania, względem osi otrzymujemy dzięki temu liniową zmienność odkształcenia wzdłuż wysokości przekroju pręta
Zgodnie zprawem Hooke’a naprężenia normalne wyrażają się wzorem
Na podstawie teorii Eulera-Bernoulliego, dla przykładu, rozważymy szczegółowo przypadek płaskiego zginania poprzecznego, gdy
Analizując równowagę elementu o długości wyciętego z pręta zginanego poprzecznie obciążeniem zewnętrznym dochodzi się, na podstawie zapisanych dla niego dwu równań równowagi statycznej w płaszczyźnie do dwóch podstawowych związków pomiędzy obciążeniem, siłą poprzeczną i momentem zginającym (twierdzenie Schwedlera-Żurawskiego)
skąd po zróżniczkowaniu i podstawieniu otrzymuje się podstawowe równanie
Prostoliniowy pręt pryzmatyczny zginany względem osi tzn. w płaszczyźnie ulega wygięciu w tej płaszczyźnie. Deformacja ta polega na tym, że oś pręta, prostoliniowa przed wygięciem, przybiera postać krzywej okrzywiźnie Parametry tej krzywej określa działające obciążenie i ich wyznaczenie można przeprowadzić następująco.
Z nieodkształconego pręta wycinamy przekrojami element o długości Proste prostopadłe do osi w tych punktach są do siebie równoległe. Na skutek wygięcia osi przekroje obracają się względem siebie o kąt i taki sam kąt tworzą proste dotąd równoległe. Przecinają się one w punkcie odległym o od osi Odległość tę nazywamypromieniem krzywizny, przy czym zachodzi związek Wydłużenie „włókna” położonego w odległości od osi obojętnej przekroju wynosi
Po uwzględnieniu podobieństwa trójkątów i wykorzystaniu wzorów
otrzymujemy dla wydłużenia jednostkowego wzór
Uwzględniając fakt, że otrzymujemy przy założeniu, że następujące związki:
W przypadku ogólnym, dla każdego przedziału osi pręta pryzmatycznego, na długości którego można napisać
gdzie przez oznaczono wartości obliczone dla przekroju w punkcie na osi pręta.
Dana jestpryzmatycznabelka wspornikowa o długości utwierdzona na prawym końcu i zginana w płaszczyźnie obciążeniem o wartościq stałej na całej długości. Warunki brzegowe są dla niej następujące:
gdzie przez oznaczono rzędną linii ugięcia osi.
Otrzymujemy kolejno po uwzględnieniu warunków brzegowych
