Złożenie relacji dwuargumentowych – uogólnieniezłożenia funkcji na dowolnerelacje dwuargumentowe; sposób konstrukcji relacji dwuargumentowej z dwóch innych, a zarazem wynik tej konstrukcji. Formalnie dla zbiorów${\displaystyle X,Y,Z}$ i relacji${\displaystyle R\subseteq X\times Y,}$${\displaystyle S\subseteq Y\times Z}$złożenie tej dwójki to zbiór${\displaystyle S\circ R}$ zdefiniowany warunkiem^[1][2]:

${\displaystyle S\circ R:=\{(x,z)\in X\times Z:\underset{y\in Y}{\mathrm{\exists }}xRy\wedge ySz\};}$

innymi słowy${\displaystyle x(S\circ R)z}$wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnego${\displaystyle y}$ zachodzi${\displaystyle xRySz}$^[3].

Uwaga. Powyższa definicja sprawia, że w przypadku kiedy relacja dwuargumentowa jest też funkcją, złożenie funkcji jest szczególnym przypadkiem złożenia relacji. W niektórych źródłach^[4], zwłaszcza z pograniczy informatyki i teorii baz danych, można spotkać definicję relacji różniącą się kolejnością składanych relacji.

${\displaystyle R\circ S:=\{(x,z)\in X\times Z:\underset{y\in Y}{\mathrm{\exists }}xRy\wedge ySz\};}$

Niech${\displaystyle R}$ i${\displaystyle S}$ będą takimi relacjami w zbiorze${\displaystyle \mathbb{N},}$ że:

${\displaystyle R=\{(2,1),(3,1),(4,2),(4,5),(5,3)\}}$

${\displaystyle S=\{(1,3),(4,1),(3,6),(6,8),(6,7)\}}$

Wtedy odpowiednio złożeniem relacji będą:

${\displaystyle S\circ R=\{(2,3),(3,3),(5,6)\}}$

${\displaystyle R\circ S=\{(1,1)\}}$

 Zobacz też:własności relacji dwuargumentowych.

• Jest to działaniełączne^[1][5]; relacje dwuczłonowe na ustalonym zbiorzetworzą z nim półgrupę:

  ${\displaystyle S\circ (R\circ T)=(S\circ R)\circ T.}$

• Operacja złożenia relacji nie jestprzemienna^[6] – istnieją relacje${\displaystyle S}$ i${\displaystyle R,}$ dla których

  ${\displaystyle S\circ R\ne R\circ S.}$

• Jeśli relacje${\displaystyle R}$ i${\displaystyle S}$ są jednoznaczne lewostronnie (iniektywne), to złożenie relacji${\displaystyle S\circ R}$ również jest jednoznaczne lewostronnie (iniektywne). W drugą stronę jednoznaczność lewostronna (iniektywność)${\displaystyle S\circ R}$ pociąga jedynie jednoznaczność lewostronną (iniektywność)${\displaystyle R}$^{[potrzebny przypis]}.
• Jeśli relacje${\displaystyle R}$ i${\displaystyle S}$ są całkowite prawostronnie (surjektywne), to złożenie relacji${\displaystyle S\circ R}$ również jest całkowite prawostronnie (surjektywne). Odwrotnie całkowitość prawostronna (surjektywność)${\displaystyle S\circ R}$ pociąga tylko całkowitość prawostronną (surjektywność)${\displaystyle S}$^{[potrzebny przypis]}.
• Składanie relacji jest prawostronnierozdzielne względemsumy zbiorów^[1]:

${\displaystyle (R\cup S)\circ T=(R\circ T)\cup (S\circ T).}$

• Działanie to nie jest rozdzielne względemprzekroju zbiorów, jednak zachodzisłabszy fakt^[1]:

${\displaystyle (R\cap S)\circ T\subseteq (R\circ T)\cap (S\circ T).}$

• Antoni Smoluk: Algebra liniowa. Wrocław: WydawnictwoUniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu, 2017.ISBN 978-83-7695-635-0.

• Relacje dwuczłonowe
• Działania dwuargumentowe

• Szablon cytowania używa pól opisowych
• Artykuły z brakującymi przypisami od 2023-08