Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Przejdź do zawartości
Wikipediawolna encyklopedia
Szukaj

Wyznacznik

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Schemat obliczania wyznacznika macierzy trzeciego stopnia

Wyznacznik (franc.determinant) – liczba lub ogólniej wartość przypisanamacierzy kwadratowejA{\displaystyle A} oznaczana jakodetA{\displaystyle \det A}. Wartość ta jest otrzymywana przez odpowiednie przemnożenie i dodawanie wartości macierzy (zob.sekcjęObliczanie wyznaczników)[1][2][3].

Wyznaczników używano pierwotnie głównie do rozwiązywaniaukładów równań liniowych, choć obecnie używa się ich w różnych obszarachalgebry,geometrii ianalizy; zob. sekcjęZastosowania.

Pierwotnie wyznacznik mógł być wyłącznieliczbą rzeczywistą, ale późniejsze uogólnienia pozwoliły na obliczanie wyznaczników z macierzy o innych wartościach, na których można wykonać odpowiednie operacje, czyli na macierzach o wartościach będących elementamipierścienia przemiennego. Formalne definicje wyznaczników znajdują się wsekcjiDefinicje wyznacznika.

Historia

[edytuj |edytuj kod]
Gabriel Cramer, twórca wyznaczników

Podstawy wyznaczników zostały stworzone w XVIII wieku przezGabriela Cramera jako metoda rozwiązywania układów równań liniowych[1]. W 1750 opublikował on swoje teorie dotyczące algebry w książceIntroduction à l'analyse des lignes courbes algébriques(inne języki), w której znalazły się między innymi metody rozwiązywania równań znane dzisiaj jakowzory Cramera[4].

W czasach Cramera nie istniałyliczby zespolone (1832)[5] anialgebra abstrakcyjna (XIX wiek), stąd też wyznacznikiem byłaliczba rzeczywista. Nawet w literaturze XX-wiecznej spotyka się określenie mówiące, że wyznacznik jest liczbą[2][1]. Uogólnienie teorii wyznaczników na innego rodzaju wartości macierzy przyszły później.

Teorie i dowody związane z wyznacznikami były rozwijane w XVIII wieku przezLaplace’a w jego dyskusjach opublikowanych w 1772 roku i równolegle przezVandermonde’a[6], a w kolejnych latach przezCauchy’ego i w XIX wieku przezJacobiego[1]. To trzeci z nich wprowadził istotne uogólnienie wyznaczników, stosując je do operacji na pochodnych funkcji (macierz Jacobiego). Rozwój algebry abstrakcyjnej pozwolił uogólnić wyznaczniki do macierzy z wartościami będącymi elementamipierścienia przemiennego[7].

Oznaczenia

[edytuj |edytuj kod]

Wyznacznik macierzy kwadratowejM{\displaystyle M} o wyrazachaij{\displaystyle a_{ij}} oznaczany jest jakodetM{\displaystyle \det M} lubdet[aij]{\displaystyle det[a_{ij}]} lub|aij|{\displaystyle |a_{ij}|}[1][2][3].

Dla macierzy:

M=[a11a12…a1na21a22…a2n⋮⋮⋱⋮an1an2…ann]{\displaystyle M={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{bmatrix}}}

stosuje się rozwinięte oznaczenia wyznacznika:

|a11a12…a1na21a22…a2n⋮⋮⋱⋮an1an2…ann|{\displaystyle \left|{\begin{array}{c}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{array}}\right|}   lub  det[a11a12…a1na21a22…a2n⋮⋮⋱⋮an1an2…ann].{\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{bmatrix}}.}

Notacja|aij|{\displaystyle |a_{ij}|} jest powszechnie używana (zwłaszcza jej rozwinięta forma), chociaż może prowadzić do nieporozumień, ponieważ podobnego zapisu używa się również dlanorm macierzy iwartości bezwzględnej[1].

Definicje wyznacznika

[edytuj |edytuj kod]

Wyznacznik może być zdefiniowany na kilka równoważnych sposobów. Niezależnie od tego wyznacznik można traktować jako funkcję nie samej macierzy, a jej współczynników

a11,…,a1n,…,an1,…ann.{\displaystyle a_{11},\dots ,a_{1n},\dots ,a_{n1},\dots a_{nn}.}

Jest on wówczaswielomianemn2{\displaystyle n^{2}} zmiennych stopnian{\displaystyle n} o współczynnikach, które sąliczbami rzeczywistymi lubzespolonymi.

Definicja rekurencyjna

[edytuj |edytuj kod]
 Osobny artykuł:Rozwinięcie Laplace’a.

Oznaczamy macierzA∈Mn×n(R),{\displaystyle A\in M_{n\times n}(\mathbb {R} ),} czyli macierz kwadratową n-stopnia o elementach zpierścienia przemiennegoR.{\displaystyle \mathbb {R} .} Wyznacznikiem macierzydetA{\displaystyle \det {A}} nazwiemy element pierścieniaR{\displaystyle \mathbb {R} } spełniający:

  1. jeślin=1,{\displaystyle n=1,} todetA=a11,{\displaystyle \det A=a_{11},}
  2. jeślin>1,{\displaystyle n>1,} todetA=∑i=1n(−1)i+jaijdetAi,j,{\displaystyle \det A=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det A_{i,j},} gdziej{\displaystyle j} jest dowolnąliczbą naturalną z zakresu1⩽j⩽n,{\displaystyle 1\leqslant j\leqslant n,} a przezAi,j{\displaystyle A_{i,j}} oznaczamy macierz stopnian−1,{\displaystyle n-1,} powstałą z macierzyA{\displaystyle A} poprzez skreśleniei{\displaystyle i}-tego wiersza ij{\displaystyle j}-tej kolumny (por.minor).

Jeśli stosuje się inną definicję wyznacznika, to powyższe rozwinięcie w sumę jest twierdzeniem nazywanymrozwinięciem Laplace’a. Powyższa definicja opiera się o rozwinięcie wzdłużj{\displaystyle j}-tej kolumny, równoważnie można definiować wyznacznik w oparciu o rozwinięcie wzdłużi{\displaystyle i}-tego wiersza.

Definicja permutacyjna

[edytuj |edytuj kod]

NiechA∈Mn×n(R){\displaystyle A\in M_{n\times n}(\mathbb {R} )} jest macierzą. Wówczas[8]:

detA=∑σ∈Sn(−1)Inv(σ) a1σ(1)⋅a2σ(2)⋅…⋅anσ(n),{\displaystyle \det A=\sum _{\sigma \in S_{n}}(-1)^{\mathrm {Inv} (\sigma )}~a_{1\sigma (1)}\cdot a_{2\sigma (2)}\cdot \ldots \cdot a_{n\sigma (n)},}

gdzieSn{\displaystyle S_{n}} oznacza zbiór wszystkichpermutacji zbioru{1,2,…,n},{\displaystyle \{1,2,\dots ,n\},} zaśInv(σ){\displaystyle \mathrm {Inv} (\sigma )} oznacza liczbęinwersji danej permutacjiσ∈Sn.{\displaystyle \sigma \in S_{n}.}

Przykładowo składnika13a21a34a42{\displaystyle a_{13}a_{21}a_{34}a_{42}} w wyznaczniku czwartego stopnia ma ujemny znak, gdyż permutacja indeksów

τ=(12343142),{\displaystyle \tau ={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&1&4&2\end{pmatrix}},}

ma trzy inwersje, mianowicie:(3,1),{\displaystyle (3,1),}(3,2){\displaystyle (3,2)} i(4,2),{\displaystyle (4,2),} skądInv(τ)=3{\displaystyle \mathrm {Inv} (\tau )=3} oraz(−1)3=−1.{\displaystyle (-1)^{3}=-1.}

Definicja permutacyjna ma swoje uogólnienie w postaci:

detpA=∑σ∈Sn(p)Inv(σ) a1σ(1)⋅a2σ(2)⋅…⋅anσ(n),{\displaystyle \det _{p}A=\sum _{\sigma \in S_{n}}(p)^{\mathrm {Inv} (\sigma )}~a_{1\sigma (1)}\cdot a_{2\sigma (2)}\cdot \ldots \cdot a_{n\sigma (n)},}

gdzieA,{\displaystyle A,}Sn,{\displaystyle S_{n},}Inv(σ){\displaystyle \mathrm {Inv} (\sigma )} jak wyżej.

Przykładowo dlap=−1{\displaystyle p=-1} otrzymujemy wyżej zdefiniowany wyznacznik, zaś dlap=1{\displaystyle p=1} otrzymujemypermanent.

Definicja aksjomatyczna

[edytuj |edytuj kod]

NiechA∈Mn×n(R){\displaystyle A\in M_{n\times n}(\mathbb {R} )} będzie macierzą, której kolejne kolumny są oznaczoneA1,A2,…,An.{\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}.} Każda z tych kolumn jest wektorem zprzestrzeni liniowejRn.{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}

Wyznacznikiem macierzy(A1,A2,…,An){\displaystyle (A_{1},A_{2},\dots ,A_{n})} jest funkcjadet:Mn×n(R)→R{\displaystyle \det \colon M_{n\times n}(\mathbb {R} )\to \mathbb {R} } spełniająca:

Z powyższej definicji wynika, że wyznacznik jest antysymetrycznym odwzorowaniem wieloliniowym. Dowodzi się, że istnieje dokładnie jedno takie odwzorowanie spełniające powyższe aksjomaty. W powyższej definicji macierze traktuje się jako układ kolumn, równoważnie można macierz traktować jako układ wierszy.

Obliczanie wyznaczników

[edytuj |edytuj kod]

Wyznacznikdrugiego stopnia obliczamy według łatwego wzoru, wynikającego wprost z definicji permutacyjnej wyznacznika:

detA=|a11a12a21a22|=a11a22−a12a21{\displaystyle \det A={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}

Wyznaczniktrzeciego stopnia obliczamy według tzw.reguły Sarrusa:

detA=|a11a12a13a21a22a23a31a32a33|=a11a22a33+a21a32a13+a31a12a23−a21a12a33−a11a32a23−a31a22a13{\displaystyle \det A={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{31}a_{12}a_{23}-a_{21}a_{12}a_{33}-a_{11}a_{32}a_{23}-a_{31}a_{22}a_{13}}

W przypadku macierzywyższych stopni, a także niejednokrotnie w przypadku macierzy stopnia trzeciego, wygodniej jest stosowaćrozwinięcie Laplace’a.

Wyznacznik macierzy można też obliczyć, stosującmetodę eliminacji Gaussa. Wyznacznikmacierzy trójkątnej jest równy iloczynowi wyrazów na jej przekątnej, jest więc łatwy do obliczenia. Każdą macierz można sprowadzić do macierzy trójkątnej za pomocąoperacji elementarnych, pamiętając, że operacje te mają następujący wpływ na wyznacznik:

  1. Dodanie wielokrotności jednego wiersza (kolumny, odpowiednio) do innego wiersza (innej kolumny, odpowiednio) nie zmienia wartości wyznacznika.
  2. Pomnożenie wiersza (kolumny) przez liczbę powoduje pomnożenie wyznacznika przez tę liczbę.
  3. Zamiana miejscami dwóch wierszy, tak jak i zamiana miejscami dwóch kolumn, zmienia znak wyznacznika.

Do obliczenia wyznacznika można wykorzystać równieżmetodę LU.

Własności

[edytuj |edytuj kod]
  1. Wyznacznik macierzy jest równy zero(detA=0){\displaystyle (\det A=0)} jeśli:
    1. Macierz zawiera kolumnę lub wiersz składający się z samych zer[3].
    2. Macierz zawiera dwie jednakowe kolumny lub wiersze[3].
  2. Dodając lub odejmując od dowolnego wiersza/kolumny inny wiersz/kolumnę lubkombinacje liniowe innych wierszy/kolumn nie zmieniamy wartości wyznacznika[3].
  3. Zamiana miejscami dwóch dowolnych kolumn lub wierszy macierzy powoduje zmianę wartości wyznacznika na znak przeciwny[3].
  4. Pomnożenie dowolnej kolumny lub dowolnego wiersza przez stałą mnoży przez tę samą stałą wartość wyznacznika[3].
  5. Transpozycja macierzy nie powoduje zmiany wartości jej wyznacznika:detAT=detA{\displaystyle \det A^{T}=\det A}[3].
  6. Dla macierzy tego samego stopnia zachodzi:det(A⋅B)=detA⋅detB{\displaystyle \det(A\cdot B)=\det A\cdot \det B}[3].
  7. Wyznacznikmacierzy odwrotnej jest równy odwrotności wyznacznika:det(A−1)=(detA)−1.{\displaystyle \det(A^{-1})=(\det A)^{-1}.}
  8. Zachodzidet(k⋅A)=kn⋅detA,{\displaystyle \det(k\cdot A)=k^{n}\cdot \det A,} gdziek{\displaystyle k} jest dowolną liczbą,n{\displaystyle n} stopniem macierzyA.{\displaystyle A.}
  9. Pochodna wyznacznika wyraża się przez ślad w następujący sposób:d(det(A))(X)=det(A)tr⁡(A−1X){\displaystyle d(\det(A))(X)=\det(A)\operatorname {tr} (A^{-1}X)}

Dowody niektórych własności

[edytuj |edytuj kod]

Niech zapis

(A1,…Ai,…,An){\displaystyle (A_{1},\dots A_{i},\dots ,A_{n})}

oznacza macierz, której kolejnymi kolumnami są wektory pionoweA1,…Ai,…,An.{\displaystyle A_{1},\dots A_{i},\dots ,A_{n}.}

Przyjmijmy następujące własności wyznacznika:

det(A1,…,k⋅Ai,…,An)=k⋅det(A1,…Ai,…,An){\displaystyle \det(A_{1},\dots ,k\cdot A_{i},\dots ,A_{n})=k\cdot \det(A_{1},\dots A_{i},\dots ,A_{n})}
  • dodanie jednej kolumny do drugiej nie zmienia wartości wyznacznika
det(A1,…,Ai,…,Aj,…,An)=det(A1,…,Ai,…,Aj+Ai,…,An){\displaystyle \det(A_{1},\dots ,A_{i},\dots ,A_{j},\dots ,A_{n})=\det(A_{1},\dots ,A_{i},\dots ,A_{j}+A_{i},\dots ,A_{n})}

Wówczas

  • Dodanie dowolnej wielokrotności jednej kolumny do drugiej nie zmienia wartości wyznacznika:
det(A1,…,Ai,…,Aj,…,An)=det(A1,…,Ai,…,Ai+k⋅Ai,…,An){\displaystyle \det(A_{1},\dots ,A_{i},\dots ,A_{j},\dots ,A_{n})=\det(A_{1},\dots ,A_{i},\dots ,A_{i}+k\cdot A_{i},\dots ,A_{n})}
  • Zamiana dwóch kolumn miejscami zmienia znak wyznacznika:
det(A1,…,Ai,…,Aj,…,An)=−det(A1,…,Aj,…,Ai,…,An){\displaystyle \det(A_{1},\dots ,A_{i},\dots ,A_{j},\dots ,A_{n})=-\det(A_{1},\dots ,A_{j},\dots ,A_{i},\dots ,A_{n})}
Dowód

Dodanie dowolnej wielokrotności jednej kolumny do drugiej nie zmienia wartości wyznacznika. Dlak=0{\displaystyle k=0} dowód jest trywialny, niech więck≠0:{\displaystyle k\neq 0{:}}

det(A1,…,Ai,…,Aj,…,An)= 1kdet(A1,…,k⋅Ai,…,Aj,…,An)= 1kdet(A1,…,k⋅Ai,…,Aj+k⋅Ai,…,An)= det(A1,…,Ai,…,Aj+k⋅Ai,…,An){\displaystyle {\begin{aligned}&\det(A_{1},\dots ,A_{i},\dots ,A_{j},\dots ,A_{n})\\=\ &{\frac {1}{k}}\det(A_{1},\dots ,k\cdot A_{i},\dots ,A_{j},\dots ,A_{n})\\=\ &{\frac {1}{k}}\det(A_{1},\dots ,k\cdot A_{i},\dots ,A_{j}+k\cdot A_{i},\dots ,A_{n})\\=\ &\det(A_{1},\dots ,A_{i},\dots ,A_{j}+k\cdot A_{i},\dots ,A_{n})\end{aligned}}}

Zamiana dwóch kolumn miejscami zmienia znak wyznacznika:

det(A1,…,Ai,…,Aj,…,An)= det(A1,…,Ai,…,Aj−Ai,…,An)= det(A1,…,Ai+(Aj−Ai),…,Aj−Ai,…,An)= det(A1,…,Aj,…,Aj−Ai,…,An)= det(A1,…,Aj,…,Aj−Ai−Aj,…,An)= det(A1,…,Aj,…,−Ai,…,An)= −det(A1,…,Aj,…,Ai,…,An){\displaystyle {\begin{aligned}&\det(A_{1},\dots ,A_{i},\dots ,A_{j},\dots ,A_{n})\\=\ &\det(A_{1},\dots ,A_{i},\dots ,A_{j}-A_{i},\dots ,A_{n})\\=\ &\det(A_{1},\dots ,A_{i}+(A_{j}-A_{i}),\dots ,A_{j}-A_{i},\dots ,A_{n})\\=\ &\det(A_{1},\dots ,A_{j},\dots ,A_{j}-A_{i},\dots ,A_{n})\\=\ &\det(A_{1},\dots ,A_{j},\dots ,A_{j}-A_{i}-A_{j},\dots ,A_{n})\\=\ &\det(A_{1},\dots ,A_{j},\dots ,-A_{i},\dots ,A_{n})\\=\ &-\det(A_{1},\dots ,A_{j},\dots ,A_{i},\dots ,A_{n})\end{aligned}}}

Analogicznie wyprowadza się te zależności dla wierszy.

Zastosowania

[edytuj |edytuj kod]

Wyznaczniki stosuje się w co najmniej kilku działach matematyki jak:

Zobacz też

[edytuj |edytuj kod]

Przypisy

[edytuj |edytuj kod]
  1. ↑abcdefAndrzejA. Mostowski AndrzejA.,MarceliM. Stark MarceliM.,Elementy Algebry Wyższej, t. 16, 1958 (Biblioteka Matematyczna), s. 79-86 (pol.).
  2. ↑abcRomanR. Leitner RomanR.,Zarys matematyki wyższej dla studentów Część 1, Warszawa: WNT, 1995, s. 84-85,ISBN 83-204-2396-1 .
  3. ↑abcdefghiWyznacznik macierzy - definicja i własności [online], OpenAGH e-podręczniki [dostęp 2023-11-28] (pol.).
  4. ↑Cramera wzory, [w:]Encyklopedia PWN [online],Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-12-04] .
  5. ↑István Hargittai: Fivefold symmetry (wyd. 2). Singapur: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 1992, s. 153.ISBN 981-02-0600-3.
  6. ↑Pierre Simon Laplace (1749 - 1827), [w:]W.W. RouseW.W.R. Ball W.W. RouseW.W.R.,A Short Account of the History of Mathematics, www.maths.tcd.ie, 1908 [dostęp 2023-12-04] (ang.).
  7. ↑KazimierzK. Szymiczek KazimierzK.,Algebra liniowa nad pierścieniami [online], Uniwersytet Śląski, 2008 [dostęp 2023-12-04] (pol.).
  8. ↑Wyznacznik, [w:]Encyklopedia PWN [online],Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-21] .

Bibliografia

[edytuj |edytuj kod]

Linki zewnętrzne

[edytuj |edytuj kod]
Zobacz hasłowyznacznik w Wikisłowniku
Polskojęzyczne
Anglojęzyczne
Macierze
Niektóre
typy macierzy
Cechy niezależne
od bazy
Cechy zależne
od bazy
Operacje
na macierzach
jednoargumentowe
dwuargumentowe
Niezmienniki
liczbowe
inne
Inne pojęcia

Formy naprzestrzeniach liniowych
forma liniowa
formy dwuliniowe
ipółtoraliniowe
iloczyny
skalarne
pojęcia podstawowe
ortogonalność
inne
formy kwadratowe
tensory
Kontrola autorytatywna (similarity invariance):
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Wyznacznik&oldid=74718880”
Kategoria:
Ukryte kategorie:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp