Ten artykuł od 2010-12 wymagazweryfikowania podanych informacji:jaka jest dziedzina?.

Należy podać wiarygodne źródła w formieprzypisów bibliograficznych.
Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte.
Sprawdź w źródłach:Encyklopedia PWN •Google Books • Google Scholar •BazHum •BazTech •RCIN • Internet Archive (texts /inlibrary)
Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się wdyskusji tego artykułu.
Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon{{Dopracować}} z tego artykułu.

Transformata Hilberta${\displaystyle \hat{g}(t)}$ funkcji${\displaystyle g(t)}$ oraz transformata do niej odwrotna definiowana jest w następujący sposób:

${\displaystyle \hat{g}(t)=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{g(\tau )}{t-\tau }d\tau ,}$

${\displaystyle g(t)=-\frac{1}{\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{\hat{g}(\tau )}{t-\tau }d\tau .}$

Jest tosplot funkcji${\displaystyle g(t)}$ z funkcją${\displaystyle h(t)=\frac{1}{\pi t}.}$

Transformata Fouriera funkcji${\displaystyle h(t)}$ wynosi:

gdzie${\displaystyle j}$ oznaczajednostkę urojoną.

Na podstawie zasady, żesplotowi funkcji odpowiadamnożenie ich widm (w sensie transformat Fouriera), wynika z tego, że widmo transformaty Hilberta${\displaystyle \hat{s}(t)}$ różni się od widma „oryginalnego” sygnału${\displaystyle s(t)}$ jedynie tym, że dodatnia połówka ulega wymnożeniu przez${\displaystyle -j,}$ a ujemna przez${\displaystyle +j.}$ Mnożenie widma przez${\displaystyle \pm j}$ oznacza przesunięcie fazy o${\displaystyle \pm }$90°, przy zachowaniu niezmienionejamplitudy.

1. Transformata jestprzekształceniem liniowym.
2. Sygnał${\displaystyle g(t)}$ i jego transformata Hilberta mają to samo widmo amplitudowe.
3. Dwukrotnie transformując sygnał${\displaystyle g(t)}$ otrzymamy${\displaystyle -g(t).}$
4. Sygnał${\displaystyle g(t)}$ i jego transformata są ortogonalne.

Sygnał  ${\displaystyle u(t)}$	transformata Hilberta  ${\displaystyle \hat{u}(t)}$
${\displaystyle \sin (t)}$	${\displaystyle -\cos (t)}$
${\displaystyle \cos (t)}$	${\displaystyle \sin (t)}$
${\displaystyle \frac{1}{t^2+1}}$	${\displaystyle \frac{t}{t^2+1}}$
funkcja sinc   ${\displaystyle \frac{\sin (t)}{t}}$	${\displaystyle \frac{1-\cos (t)}{t}}$
sygnał prostokątny   ${\displaystyle \sqcap (t)}$	${\displaystyle \frac{1}{\pi }\ln \left|\frac{t+\frac{1}{2}}{t-\frac{1}{2}}\right|}$
delta Diraca   ${\displaystyle \delta (t)}$	${\displaystyle \frac{1}{\pi t}}$
funkcja charakterystyczna zbioru   ${\displaystyle {\chi }_{[a,b]}(x)}$	${\displaystyle \frac{1}{\pi }\log \left|\frac{x-a}{x-b}\right|}$

• sygnał analityczny

• Materiały dydaktyczne DSP AGH. dsp.agh.edu.pl. [zarchiwizowane ztego adresu (2013-12-17)].

• Transformaty

• Artykuły wymagające uzupełnienia źródeł od 2010-12