Transformata Gelfanda – dla danejprzemiennejalgebry Banacha${\displaystyle A}$ przyporządkowanie

${\displaystyle a\mapsto \hat{a},a\in A}$

dane wzorem

${\displaystyle \hat{a}(\gamma )=\gamma (a),}$

gdzie${\displaystyle \gamma }$ jest elementem zbioru${\displaystyle {\mathrm{\Phi }}_A,}$ tj.${\displaystyle \gamma }$ należy do zbioru wszystkich niezerowych homomorfizmów algebry${\displaystyle A}$ o wartościach wciele liczb zespolonych^[1]. W zbiorze${\displaystyle {\mathrm{\Phi }}_A}$ wprowadza sięnajsłabszą topologię względem, której wszystkie jego elementy są funkcjami ciągłymi (tzw.topologię Gelfanda; zbiór${\displaystyle {\mathrm{\Phi }}_A}$ z topologią Gelfanda nazywany jestprzestrzenią Gelfanda algebry${\displaystyle A}$). Przestrzeń Gelfanda jest zawszelokalnie zwartąprzestrzenią Hausdorffa, przy czym jest onazwarta wtedy i tylko wtedy, gdy algebra${\displaystyle A}$ ma jedynkę^[2].Otoczeniabazowe danego punktu${\displaystyle {\gamma }_0}$ z przestrzeni Gelfanda są postaci

gdzie${\displaystyle F}$ jest skończonym podzbiorem${\displaystyle A.}$ Zbiór

${\displaystyle A_{\mathrm{\Gamma }}=\{a\in A:\hat{a}=0\}}$

nazywany jestradykałem Gelfanda algebry${\displaystyle A.}$ Radykał Gelfanda zawieraradykał Jacobsona algebry${\displaystyle A}$ oraz dowolny jejkomutator, tj. element postaci${\displaystyle ab-ba,}$ gdzie${\displaystyle a}$ i${\displaystyle b}$ są elementami algebry${\displaystyle A.}$

Transformata Gelfanda

${\displaystyle \hat{\cdot }:A\to C({\mathrm{\Phi }}_A)}$

jest ciągłym homomorfizmem algebr o wartościach wC*-algebrze wszystkich funkcji ciągłych na przestrzeni Gelfanda danej algebry.

• H. Garth Dales: Banach algebras and automatic continuity. T. 24. Oxford: New Series (The Clarendon Press Oxford University Press), 2000, seria: London Mathematical Society Monographs. Brak numerów stron w książce
• Theodore W. Palmer: Banach algebras and the general theory of *-algebras. T. Volume 1, Algebras and Banach algebras. Cambridge: Cambridge University Press, 1994, s. 303–318.
• Walter Rudin: Analiza funkcjonalna. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009. Brak numerów stron w książce
• Гамелин Т.: Равномерные алгебры. Москва: Мир, 1973. (ros.). Brak numerów stron w książce

• Algebry Banacha

• Szablon cytowania książki – brak numeru strony