Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Przejdź do zawartości
Wikipediawolna encyklopedia
Szukaj

Tensor metryczny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
W tym artykule obowiązujekonwencja sumacyjna Einsteina.

Tensor metryczny –tensor drugiego rzędu (o dwóch indeksach),symetryczny, charakterystyczny dla danegoukładu współrzędnych. Jest podstawowym pojęciemgeometrii różniczkowej, znajduje zastosowanie np. welektrodynamice, wogólnej teorii względności i innych teoriach, korzystających z geometrii różniczkowej.

Tensor metryczny można zdefiniować na dwa sposoby:

  • za pomocąiloczynu skalarnego,
  • za pomocąelementu liniowego.

W artykule opisano oba sposoby.

Wektory bazowe

[edytuj |edytuj kod]

Niechxi,i=1,2,…,n{\displaystyle x^{i},i=1,2,\dots ,n} oznaczają współrzędne (na ogółkrzywoliniowe), zdefiniowane narozmaitościM,{\displaystyle M,} przy czymn{\displaystyle n} jest wymiarem rozmaitości.Wektory styczne do linii współrzędnych oblicza się ze wzoru

ei=∂x∂xi,i=1,2,…,n,{\displaystyle e_{i}={\frac {\partial {\boldsymbol {x}}}{\partial x^{i}}},\quad i=1,2,\dots ,n,}

gdziex=(x1,…,xn){\displaystyle {\boldsymbol {x}}=(x^{1},\dots ,x^{n})} jestwektorem wodzącym punktu na rozmaitości. Wektory te definiują lokalnąbazę, określoną dlaprzestrzeni stycznejTMx{\displaystyle TM_{x}} w punkciex{\displaystyle x} rozmaitościM.{\displaystyle M.} (Odtąd będziemy skrótowo mówić „punktx{\displaystyle x}” zamiast „punkt o wektorze wodzącymx{\displaystyle x}”. Zauważmy jednak, że wektor wodzący zależy od przyjętego początku układu współrzędnych, punkt zaś jest niezależnym od tego wyboru elementem rozmaitości.) Dla każdego punktu rozmaitości da się określić lokalną, unikalną bazę.

Tensor metryczny

[edytuj |edytuj kod]

Niech dana będzie n-wymiarowa rozmaitość różniczkowaM{\displaystyle M} ze zdefiniowanym w niejiloczynem skalarnym. Iloczyn skalarny jest symetrycznym, dodatnio określonymfunkcjonałem dwuliniowym[1]φ:M×M→K,{\displaystyle \varphi \colon M\times M\to K,} gdzieK=R{\displaystyle K=R} lubK=C{\displaystyle K=C} (ciałoliczb rzeczywistych lubzespolonych).

Tensor metryczny rozmaitości definiuje się poprzez iloczyny skalarne wektorów bazy układu współrzędnych (w ogólnościwspółrzędnych krzywoliniowych), tj.:

gij=eiej,i,j=1,2,…,n.{\displaystyle g_{ij}=e_{i}e_{j},\quad i,j=1,2,\dots ,n.}

Tensor ten ma więcn×n{\displaystyle n\times n} elementów. Jest to postaćkowariantna (o dolnych indeksach) tensora.

Postaćkontrawariantną (o górnych indeksach) otrzymuje się jakomacierz odwrotną z macierzy(gij),{\displaystyle (g_{ij}),} czyli:

(gij)=(gij)−1.{\displaystyle (g^{ij})=(g_{ij})^{-1}.}

Współrzędnegij{\displaystyle g_{ij}} tensora metrycznego są więc równe iloczynom skalarnym wektorów bazowychei,ej{\displaystyle e_{i},e_{j}} lokalnego układu współrzędnych[2].

Obniżanie/podnoszenie wskaźników

[edytuj |edytuj kod]
 Osobny artykuł:Podnoszenie i opuszczanie wskaźników.

Aby obniżyć wskaźniki dowolnego wektora trzeba pomnożyć go przez tensor metrycznygij{\displaystyle g_{ij}}

Ai=gijAj{\displaystyle A_{i}=g_{ij}A^{j}}

– przy czym sumuje się po powtarzającym się indeksiej=1,…,n.{\displaystyle j=1,\dots ,n.}

Aby podwyższyć wskaźniki, trzeba wykorzystać tensorgij:{\displaystyle g^{ij}{:}}

Ai=gijAj.{\displaystyle A^{i}=g^{ij}A_{j}.}

Iloczyn skalarny dowolnych wektorów

[edytuj |edytuj kod]

Iloczyn skalarny dowolnych dwóchwektorów wyraża się przez tensor metryczny i współrzędne wektorów w jeden z trzech równoważnych sposobów:

gdzie:

gij{\displaystyle g_{ij}} –tensor metryczny,
Ai,Bi{\displaystyle A^{i},B^{i}} –współrzędne kontrawariantne (o górnych indeksach) wektorówA,B,{\displaystyle A,B,}
Ai,Bi{\displaystyle A_{i},B_{i}} –współrzędne kowariantne (o dolnych indeksach) wektorówA,B.{\displaystyle A,B.}

Dlaprzestrzeni euklidesowej mamy:gii=1,{\displaystyle g_{ii}=1,}gij=0.{\displaystyle g_{ij}=0.} Wtedy współrzędne kowariantne równe są kontrawariantnym oraz

A⋅B=AiBi=AiBi=AiBi.{\displaystyle A\cdot B=A^{i}B^{i}=A^{i}B_{i}=A_{i}B^{i}.}

Dowód:

Stąd otrzymamy:

A⋅B=(∑i=1nAiei)(∑j=1nBjej)=∑i=1n∑j=1n eiejAiBj=∑i=1n∑j=1ngijAiBj.{\displaystyle A\cdot B=\left(\sum _{i=1}^{n}A^{i}e_{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{n}B^{j}e_{j}\right)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\ e_{i}e_{j}A^{i}B^{j}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}A^{i}B^{j}.}

Stosując konwencję sumacyjną oraz zasady podwyższania/obniżania wskaźników, otrzymamy:

A⋅B=gijAiBj=AjBj=AiBi,{\displaystyle A\cdot B=g_{ij}A^{i}B^{j}=A_{j}B^{j}=A^{i}B_{i},} c.n.d.

Definicja tensora metrycznego przez element liniowy

[edytuj |edytuj kod]

(1) Niech będą dane dwa układy współrzędnych w n-wymiarowejrozmaitości różniczkowej:

(2) Definiujmyelement liniowy jako[3]

ds2=(dx1)2+…+(dxn)2=∑i=1n(dxi)2.{\displaystyle ds^{2}=(dx^{1})^{2}+\ldots +(dx^{n})^{2}=\sum _{i=1}^{n}(dx^{i})^{2}.}

(3) Można przejść od układu współrzędnych kartezjańskich do układu współrzędnych krzywoliniowych za pomocą transformacji:

xi=xi(q1,…,qn), i=1,2,…,n,{\displaystyle x^{i}=x^{i}(q^{1},\dots ,q^{n}),\ i=1,2,\dots ,n,}

gdziexi(q1,…,qn){\displaystyle x^{i}(q^{1},\dots ,q^{n})} – funkcje wyrażające współrzędne kartezjańskie przez krzywoliniowe.

(4) Jeżeli każda funkcjaxi(q1,…,qn){\displaystyle x^{i}(q^{1},\dots ,q^{n})} ma ciągłe pochodne względem wszystkich swoich argumentów, to ze wzoru naróżniczkę zupełną otrzymamy

dxi=∑j=1n∂xi∂qjdqj.{\displaystyle dx^{i}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{j}}}dq^{j}.}

(5) Wstawiając te różniczki do wzoru na element liniowy otrzymamy

ds2=∑i=1n(dxi)2=∑i=1n(∑j=1n∂xi∂qjdqj)(∑k=1n∂xi∂qkdqk)=∑i=1n∑j=1n∑k=1n∂xi∂qj∂xi∂qkdqjdqk.{\displaystyle ds^{2}=\sum _{i=1}^{n}(dx^{i})^{2}=\sum _{i=1}^{n}\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{j}}}dq^{j}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{k}}}dq^{k}\right)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{j}}}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{k}}}dq^{j}dq^{k}.}

(6) Tensorem metrycznym nazywa się występujące w powyższym wzorze wielkości[4]

gjk≡∑i=1n∂xi∂qj∂xi∂qk{\displaystyle g_{jk}\equiv \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{j}}}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{k}}}}

(7) Wzór na element liniowy we współrzędnych krzywoliniowych przyjmie postać (przy czym zmieniono nazwy indeksów sumacyjnych)

ds2=∑i=1n∑j=1ngijdqidqj.{\displaystyle ds^{2}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}dq^{i}dq^{j}.}

(8) Stosująckonwencję sumacyjną Einsteina, otrzymuje się uproszczony zapis

ds2=gijdqidqj.{\displaystyle ds^{2}=g_{ij}dq^{i}dq^{j}.}

(9) Uwaga:

Powyżej wyprowadzony wzór na tensor metryczny

gjk≡∑i=1n∂xi∂qj∂xi∂qk{\displaystyle g_{jk}\equiv \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{j}}}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{k}}}}

jest równoważny definicji tensora metrycznego za pomocą iloczynów skalarnych wektorów bazy

gjk=ejek,j,k=1,2,…,n.{\displaystyle g_{jk}=e_{j}e_{k},\quad j,k=1,2,\dots ,n.}

Dowód:

Korzystając z definicji wektorówei,ej{\displaystyle e_{i},e_{j}} i rozkładając je w bazie kartezjańskiej mamy

ej=∂x∂qj=∑in∂xi∂qjx^i{\displaystyle e_{j}={\frac {\partial {\boldsymbol {x}}}{\partial q^{j}}}=\sum _{i}^{n}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{j}}}{\hat {x}}_{i}}
ek=∂x∂qk=∑ln∂xl∂qkx^l{\displaystyle e_{k}={\frac {\partial {\boldsymbol {x}}}{\partial q^{k}}}=\sum _{l}^{n}{\frac {\partial x^{l}}{\partial q^{k}}}{\hat {x}}_{l}}

gdziex^i,x^l{\displaystyle {\hat {x}}_{i},{\hat {x}}_{l}} – wersory układu kartezjańskiego, takie żex^ix^l=δi,l.{\displaystyle {\hat {x}}_{i}{\hat {x}}_{l}=\delta _{i,l}.} Mnożąc powyższe wyrażenia przez siebie otrzyma się

ejek=∂x∂qj∂x∂qk=∑i=1n∂xi∂qjx^i∑l=1n∂xl∂qkx^l=∑i=1n∂xi∂qj∂xi∂qk{\displaystyle e_{j}e_{k}={\frac {\partial {\boldsymbol {x}}}{\partial q^{j}}}{\frac {\partial {\boldsymbol {x}}}{\partial q^{k}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{j}}}{\hat {x}}_{i}\sum _{l=1}^{n}{\frac {\partial x^{l}}{\partial q^{k}}}{\hat {x}}_{l}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{j}}}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{k}}}}

przy czym w ostatnim wzorze wykorzystano ortogonalność bazy kartezjańskiej, cnd.

Iloczyn skalarny wektoradx{\displaystyle dx}

[edytuj |edytuj kod]

Tensor metryczny pozwala obliczyć iloczyn skalarny dowolnych wektorów. W szczególności obliczymy iloczyn skalarny wektora nieskończenie małego przesunięcia. Niech:

Ponieważ(dx1,…,dxn)=∑i=1ndxiei,{\displaystyle (dx^{1},\dots ,dx^{n})=\sum _{i=1}^{n}dx^{i}e_{i},} to kwadrat długości wektoradx{\displaystyle d\mathbf {x} } wynosi:

ds2≡dx2=dx dx=,{\displaystyle ds^{2}\equiv d\mathbf {x} ^{2}=d\mathbf {x} \ d\mathbf {x} =,}
=(∑i=1ndxiei)(∑j=1ndxjej)=∑i=1n∑j=1neiej dxidxj=∑i=1n∑j=1ngijdxidxj.{\displaystyle =\left(\sum _{i=1}^{n}dx^{i}e_{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{n}dx^{j}e_{j}\right)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}e_{i}e_{j}\ dx^{i}dx^{j}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}dx^{i}dx^{j}.}

Korzystając z konwencji sumacyjnej Einsteina mamy ostatecznie:

ds2=gijdxidxj.{\displaystyle ds^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j}.}

Własności tensora metrycznego

[edytuj |edytuj kod]

Symetryczność

[edytuj |edytuj kod]

(1) Tensor metryczny definiuje się tak, że jest on zawsze symetryczny, tj.

gij=gji.{\displaystyle g_{ij}=g_{ji}.}

Jest to możliwe, gdyż w wyrażeniuds2=∑i=1∑j=1gijdxidxj{\displaystyle ds^{2}=\sum _{i=1}\sum _{j=1}g_{ij}dx^{i}dx^{j}} dla każdej pary wskaźnikówi,j{\displaystyle i,j} mamy sumę dwóch wyrazów:

gijdxidxj+gjidxjdxi{\displaystyle g_{ij}dx^{i}dx^{j}+g_{ji}dx^{j}dx^{i}} =(gji+gji)dxidxj.{\displaystyle (g_{ji}+g_{ji})dx^{i}dx^{j}.}

Gdybygij≠gji,{\displaystyle g_{ij}\neq g_{ji},} to można dokonać symetryzacji przyjmując nowe wartościgijnowe=gjinowe=gij+gji2.{\displaystyle g_{ij}^{nowe}=g_{ji}^{nowe}={\frac {g_{ij}+g_{ji}}{2}}.}

(2) Ponieważ tensor o górnych wskaźnikach otrzymuje się dokonując obliczenia macierzy odwrotnej do macierzy(gij),{\displaystyle (g_{ij}),} to implikuje to natychmiast, że tensorgij{\displaystyle g^{ij}} jest symetryczny, tj.

gij=gji.{\displaystyle g^{ij}=g^{ji}.}

Symetria góra-dół

[edytuj |edytuj kod]

Z tensoragij{\displaystyle g_{ij}} można otrzymać tensoryg ji{\displaystyle g_{\ j}^{i}} orazgj i{\displaystyle g_{j}^{\ i}} odpowiednio przez podwyższenie pierwszego lub drugiego wskaźnika:

g ji=gikgkj,{\displaystyle g_{\ j}^{i}=g^{ik}g_{kj},}
gj i=gkigjk.{\displaystyle g_{j}^{\ i}=g^{ki}g_{jk}.}

Ponieważ tensorygij{\displaystyle g_{ij}} orazgij{\displaystyle g^{ij}} są symetryczne, togikgkj=gkigjk{\displaystyle g^{ik}g_{kj}=g^{ki}g_{jk}} i z powyższych dwóch wzorów otrzymamy:

g ji=gj i,{\displaystyle g_{\ j}^{i}=g_{j}^{\ i},}

co oznacza, że istniejesymetria związaną z zamianą wskaźników góra-dół na dół-góra tensora metrycznego.

„Diagonalność” i współczynniki Lamego

[edytuj |edytuj kod]

Jeżeli układ współrzędnych jestortogonalny, to tensor metryczny dla tego układu jestdiagonalny. Zdefiniować wtedy możnawspółczynniki Lamego:

hi2=gii{\displaystyle h_{i}^{2}=g_{ii}} (nie ma sumowania).

Przykłady tensorów metrycznych

[edytuj |edytuj kod]

Układ kartezjański 3D

[edytuj |edytuj kod]

Element liniowy 3-wymiarowej przestrzeni Euklidesa nie zmienia się przy obrotach, translacjach, odbiciach układu współrzędnych, tj. odległości punktówP1{\displaystyle P_{1}} iP2{\displaystyle P_{2}} obliczone w danym układzie i po dokonaniu transformacji

ds2=dx2+dy2+dz2,{\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},}

oraz

ds′2=dx′2+dy′2+dz′2.{\displaystyle ds^{'2}=dx^{'2}+dy^{'2}+dz^{'2}.}

będą identyczne. Z tego względuds2{\displaystyle ds^{2}} stanowi niezmiennik geometrii. Obliczając z definicji tensor metryczny otrzymujemy:

gij=gji=(100010001).{\displaystyle g_{ij}=g^{ji}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}.}

Można pokazać, że dowolna transformacja z wyżej wymienionych, np.obrót układu współrzędnych, nie zmienia tensora metrycznego.

Układ kartezjański n-wymiarowy

[edytuj |edytuj kod]

Element liniowy n-wymiarowej przestrzeni Euklidesa nie zmienia się przy obrotach i translacjach układu współrzędnych, tj.

ds2=(dx1)2+…+(dxn)2.{\displaystyle ds^{2}=(dx^{1})^{2}+\ldots +(dx^{n})^{2}.}

Stąd tensor metryczny ma postać diagonalną:

gij=δij=gij,{\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}=g^{ij},}

gdzie:

δij{\displaystyle \delta _{ij}} –delta Kroneckera.

Z postaci tego tensora wynika też, że w n-wymiarowym układzie kartezjańskim współrzędnekontra- ikowariantne są takie same.

Czasoprzestrzeń płaska (4D)

[edytuj |edytuj kod]

W czterowymiarowej czasoprzestrzeni (opisywanej przezszczególną teorię względności)interwał czasoprzestrzenny jest niezmiennikiemtransformacji Lorentza. Niezmienniczość ta jest konsekwencją postulatu Einsteina o identycznościprędkości światła we wszystkich układach nieinercjalnych i stanowi punkt wyjścia teorii względności: mierząc odległości czasowe i przestrzenne impulsu światła, rozchodzącego się między danymi dwoma obiektami w danym układzie i układzie poruszającym się otrzymamy identyczne wartości, tj. jeśli w dwóch poruszających się względem siebie układach obliczy się interwały

ds2=c2dt2−dx2−dy2−dz2,{\displaystyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2},}
ds′2=c2dt′2−dx′2−dy′2−dz′2,{\displaystyle ds^{'2}=c^{2}dt^{'2}-dx^{'2}-dy^{'2}-dz^{'2},}

to wyniki te będą identyczne, tj.

ds2=ds′2.{\displaystyle ds^{2}=ds^{'2}.}

mimo że wielkościdt,dx,dy,dz{\displaystyle dt,dx,dy,dz} orazdt′,dx′,dy′,dz′{\displaystyle dt',dx',dy',dz'} w ogólności będą się różnić. Fakt, iż powyższa wielkość jest niezmiennikiem implikuje, że geometria rzeczywistego świata fizycznego jest geometrią nieeuklidesową: czas i przestrzeń wiążą się ze sobą nierozerwalnie w czasoprzestrzeń, wielkośćds=ds′{\displaystyle ds=ds'} stanowi element liniowy geometrii czasoprzestrzeni, niezmienniczy względem transformacji Lorentza.

Wektor położenia punktu w czasoprzestrzeni – to4-wektor, mający współrzędną czasową i trzy współrzędne przestrzenne. Wmechanice relatywistycznej przyjęło się oznaczać 4-wektory i tensory za pomocą indeksów greckich, np.μ,ν.{\displaystyle \mu ,\nu .}

Stosując tę konwencję przyjmuje się następujące indeksowanie współrzędnych:x0=ct,x1=x,x2=y,x3=z.{\displaystyle x^{0}=ct,x^{1}=x,x^{2}=y,x^{3}=z.} Wtedy niezmiennik przyjmie postać:

ds2=(dx0)2−(dx1)2−(dx2)2−(dx3)2.{\displaystyle ds^{2}=(dx^{0})^{2}-(dx^{1})^{2}-(dx^{2})^{2}-(dx^{3})^{2}.}

Z postaci niezmiennikads2{\displaystyle ds^{2}} natychmiast wynika postać tensora metrycznego:

gμν=gμν=(10000−10000−10000−1){\displaystyle g_{\mu \nu }=g^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}}

Tensor ten implikuje, że 4-wymiarowa czasoprzestrzeń (przestrzeń Minkowskiego) jest przestrzenią płaską (niezakrzywioną). Nie jest to jednak przestrzeń euklidesową, ze względu na przeciwne znaki przy trzech współrzędnych (przestrzennych) w relacji do współrzędnej czasowej. Przestrzeń taką nazywaprzestrzenią pseudoeuklidesową.

Czasoprzestrzeń zakrzywiona (4D)

[edytuj |edytuj kod]

Wogólnej teorii względności rozważa się inne tensory metryczne opisujące zakrzywienie przestrzeni, np. dlametryki Schwarzschilda we współrzędnych(ct,r,θ,ϕ){\displaystyle (ct,r,\theta ,\phi )} tensor ten ma postać:

gμν=(1−rsr0000−11−rsr0000−r20000−r2sin2⁡θ){\displaystyle g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1-{\frac {r_{s}}{r}}&0&0&0\\0&-{\frac {1}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}&0&0\\0&0&-r^{2}&0\\0&0&0&-r^{2}\sin ^{2}\theta \end{pmatrix}}}

Współrzędne sferyczne (3D)

[edytuj |edytuj kod]

Współrzędne sferyczne(r,ϕ,θ){\displaystyle (r,\phi ,\theta )} są związane ze współrzędnymi kartezjańskimi za pomocą związków:

{x=rcos⁡ϕsin⁡θ,y=rsin⁡ϕsin⁡θ,z=rcos⁡θ.{\displaystyle {\begin{cases}x=r\cos \phi \sin \theta ,\\y=r\sin \phi \sin \theta ,\\z=r\cos \theta .\end{cases}}}

Aby obliczyć tensor metryczny kowariantny w układzie współrzędnych sferycznych można

1) albo obliczyć najpierw bazę wektorów stycznycher,eθ,eϕ{\displaystyle e_{r},e_{\theta },e_{\phi }} do krzywych współrzędnych, a następnie obliczyć ich iloczyny skalarne

2) albo wykorzystać bezpośrednio wzórgjk=∑i=1n∂xi∂qj∂xi∂qk,{\displaystyle g_{jk}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{j}}}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{k}}},} przyjmując

x1=x,x2=y,x3=z{\displaystyle x_{1}=x,\,\,x_{2}=y,\,\,x_{3}=z}
oraz
q1=r,q2=ϕ,q3=θ{\displaystyle q_{1}=r,\,\,q_{2}=\phi ,\,\,q_{3}=\theta }

Z obliczeń otrzyma się:

gij=(1000r2sin2⁡θ000r2){\displaystyle g_{ij}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&r^{2}\sin ^{2}\theta &0\\0&0&r^{2}\end{pmatrix}}}

Tensor metryczny kontrawariantny otrzyma się obliczając macierz odwrotną do macierzygij{\displaystyle g_{ij}} (co jest trywialne, gdyżgij{\displaystyle g_{ij}} jest macierzą diagonalną – wystarczy odwrócić wyrazy na diagonali):

gij=(10001r20001r2sin2⁡θ){\displaystyle g^{ij}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{r^{2}}}&0\\0&0&{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\end{pmatrix}}}

Element liniowy w tych współrzędnych ma postać

ds2=dr2+r2sin2⁡(θ)dϕ2+r2dθ2{\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )d\phi ^{2}+r^{2}d\theta ^{2}}

Zobacz też

[edytuj |edytuj kod]
Zobacz publikację
Definicja tensora metrycznego w Wikibooks
Zobacz publikację
Tensor metryczny w STW w Wikibooks
Zobacz publikację
Interwał czasoprzestrzenny w OTW w Wikibooks

Przypisy

[edytuj |edytuj kod]
  1. ↑abRaszewski 1958 ↓, s. 259.
  2. ↑Raszewski 1958 ↓, s. 78.
  3. ↑Hartle 2010 ↓.
  4. ↑Synge 1964 ↓.

Bibliografia

[edytuj |edytuj kod]
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Tensor_metryczny&oldid=75612809”
Kategorie:
Ukryta kategoria:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp