Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Przejdź do zawartości
Wikipediawolna encyklopedia
Szukaj

Tensor

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Definicja intuicyjna
Tensor – uogólnienie pojęcia wektora; wielkość (tablica liczb), której własności pozostają identyczne niezależnie od wybranego układu współrzędnych.

Tensor – obiekt matematyczny, będący – w pewien szczególny sposób określonym – uogólnieniem pojęciawektora[a][1]. Zbiór wszystkich tensorów wraz z odpowiednimi działaniamidodawania imnożenia przezskalar, nazywa sięprzestrzenią tensorową. Tensory, podobnie jak wektory, mogą byćswobodne izaczepione. Rozważa siępola tensorowe (nazywane również w skrócie tensorami), czylipola, które każdemu punktowi przestrzeni przypisują pewien tensor. Tensory, które zmieniają się przy zmianie skali, ściśle nazywa sięgęstościami tensorowymi.

Obiektami podobnymi do tensorów są tensory spinorowe (np.spinory są analogami wektorów). Uogólnieniem tensorów i tensorów spinorowych jest tzw. obiekt geometryczny[2].

Cel

[edytuj |edytuj kod]
Tensornaprężeń Cauchy'ego, tensor drugiego rzędu. Składowe tensora w układzie kartezjańskim 3-wymiarowym tworzą macierzσ=[T(e1)T(e2)T(e3)]=[σ11σ12σ13σ21σ22σ23σ31σ32σ33]{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &={\begin{bmatrix}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}\end{aligned}}} której kolumny są naprężeniami (naprężenie to iloraz siły przez powierzchnię) działającymi na ścianye1,e2 oraze3 sześcianu.

(1) Aby opisać przestrzeń geometryczną (np. przestrzeń 3-wymiarową,czasoprzestrzeń), wprowadza się zazwyczajukład współrzędnych, który można wybierać na wiele sposobów. Zapis praw przyrody przy ustalonym układzie nie pozwala na ogół rozstrzygnąć czy jakaś zaobserwowana właściwość danego zjawiska jest cechą praw przyrody, czy tylko narzuca ją wybór układu współrzędnych.

Tensory – jako pewneobiekty matematyczne – mają właściwości niezależne od wyboru układu współrzędnych. Z wyrażeń tensorowych tworzy się równania, nazywanerównaniami tensorowymi lubtożsamościami tensorowymi. Równania te słuszne w jednym układzie będą słuszne w każdym innym.

(2)Prawa fizyki powinny dać się zapisać za pomocą równań tensorowych, tzn.wielkości fizyczne występujące w równaniach opisujących podstawowe prawa przyrody powinny być tensorami (skalarami, wektorami, tensorami wyższych rzędów). Przy tym postuluje się za Einsteinem, iż równania tensorowe powinny byćniezmiennicze względem zmianyukładu współrzędnych, tzn. symbole wielkości tensorowych powinny być powiązane ze sobą w identyczny sposób po transformacji z jednego układu współrzędnych do innego. Co istotne, żąda się, by rozważane transformacje miały bardzo ogólny charakter. Np. równaniaszczególnej iogólnej teorii względności (STW i OTW) są równaniami tensorowymi niezmienniczymi ze względu natransformację Lorentza.

Wybór konkretnego układu współrzędnych pozwala na rzutowanie tensorów na osie układu współrzędnych – w ten sposób dostaje się współrzędne tensorów będące liczbami (lub funkcjami zależnymi od punktów przestrzeni), co umożliwia przeprowadzenie obliczeń.

(3) Równania Newtona, będące podstawąfizyki klasycznej, mają charakter równań tensorowych – występują w nich wektory, a równania są niezmiennicze ze względu natransformację Galileusza. Np. w równaniuII zasady dynamiki Newtona występują wektor siłyF{\displaystyle \mathbf {F} } i wektor pędup{\displaystyle \mathbf {p} } (wektory są tensorami I rzędu):

F=dpdt.{\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}.}

W konkretnie wybranym układzie współrzędnych równanie to przyjmie postać układu trzech równań:

Fi=dpidt,i=1,2,3{\displaystyle F^{i}={\frac {dp^{i}}{dt}},\quad i=1,2,3}

gdzieFi,pi{\displaystyle F^{i},p^{i}} – współrzędne wektorów rzutowanych na osie wybranego układu współrzędnych.

(4) Transformacja Galileusza jest mniej ogólna niż transformacja Lorentza. Wprowadzenie przez Einsteina wymogu, by prawa fizyki były niezmiennicze ze względu na transformację Lorentza doprowadziło do bardziej uniwersalnego sformułowania praw przyrody, w postaci STW i OTW.

(5) Rachunek wektorowy był przez długi czas dla matematyków wystarczający, ponieważ rozważano tylko jeden układ współrzędnych:ortonormalny układ kartezjański. Z czasem zaszła potrzeba rozważania innych układów, np. kartezjańskich ukośnokątnych lubkrzywoliniowych. Także w obrębie zainteresowań matematyków pojawiły sięprzestrzenie zakrzywione, w których nie da się zdefiniować prostoliniowego układu współrzędnych. Dlatego konieczne stało się używanie rachunku tensorowego.

Parametryzacja przestrzeni – przyjęcie układu współrzędnych

[edytuj |edytuj kod]

Parametryzacja przestrzeni poprzez przyjęcie układu współrzędnych z kanonicznie zdefiniowaną bazą i kobazą wektorów stanowi niezbędny element definicji tensorów.

(1) Niech będzie danaprzestrzeń Euklidesa – rozważymy tu dla prostoty przestrzeń trójwymiarową (uogólnienie na przestrzenie euklidesowe dowolnego wymiaru będzie wymagać jedynie zwiększenia zakresu sumowań w podanych wzorach).

(2) W przestrzeni Euklidesa zawsze można zdefiniowaćkartezjański układ współrzędnych – tzw.bazowy układ współrzędnych, tak że każdy punkt przestrzeni określony jest przez trójkę liczb{z1,z2,z3}{\displaystyle \{z^{1},z^{2},z^{3}\}} zwanych współrzędnymi tego punktu;wektor wodzący punktu ma postać

r→=zIe→I≡∑I=13zIe→I,{\displaystyle {\vec {r}}=z^{I}{\vec {e}}_{I}\equiv \sum _{I=1}^{3}z^{I}{\vec {e}}_{I},}

gdzie:

e→I=∂r→∂zI,I=1,2,3{\displaystyle {\vec {e}}_{I}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial z^{I}}},\,\,\,I=1,2,3} – wektorylokalnej bazy układu współrzędnych kartezjańskich; wektory te są ortogonalne i unormowane do 1.

(3) W przestrzeni wprowadzamy drugi dowolnykrzywoliniowy układ współrzędnych{x1,x2,x3},{\displaystyle \{x^{1},x^{2},x^{3}\},} zdefiniowany względem układu współrzędnych kartezjańskich{z1,z2,z3},{\displaystyle \{z^{1},z^{2},z^{3}\},} zadany za pomocą funkcji

zI=zI(x1,x2,x3),I=1,2,3{\displaystyle z^{I}=z^{I}(x^{1},x^{2},x^{3}),\,\,\,I=1,2,3}

lub

xi=xi(z1,z2,z3),i=1,2,3.{\displaystyle x^{i}=x^{i}(z^{1},z^{2},z^{3}),\,\,\,i=1,2,3.}

(4) Przekształcenie musi być jednoznaczne, dlategojakobian przekształcenia musi być różny od zera w całym obszarze, gdzie chce się wprowadzić współrzędne krzywoliniowe

J≡[∂zI∂xi]≠0.{\displaystyle J\equiv \left[{\frac {\partial z^{I}}{\partial x^{i}}}\right]\neq 0.}

(5)Bazę układu{x1,x2,x3}{\displaystyle \{x^{1},x^{2},x^{3}\}} tworzą wektory styczne do linii układu współrzędnych

g→i=∂r→∂xi,i=1,2,3.{\displaystyle {\vec {g}}_{i}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial x^{i}}},\quad i=1,2,3.}

Podstawiając

r→=zIe→I,{\displaystyle {\vec {r}}=z^{I}{\vec {e}}_{I},}

otrzymamy wyrażenie na wektory styczne do linii współrzędnych w układzie krzywoliniowym, wyrażone w bazie układu kartezjańskiego

g→i=∂zI∂xie→I,i=1,2,3,{\displaystyle {\vec {g}}_{i}={\frac {\partial z^{I}}{\partial x^{i}}}{\vec {e}}_{I},\quad i=1,2,3,}

przy czym należy pamiętać, że w powyższym wzorze obowiązuje sumowanie po powtarzającym się wskaźnikuI.{\displaystyle I.}

Z powyższego widać, że:

Wektory bazy kartezjańskiej transformują się na bazę układu krzywoliniowego poprzez macierz
Tbazy=[∂zI∂xi]{\displaystyle T_{bazy}=\left[{\frac {\partial z^{I}}{\partial x^{i}}}\right]}
(tj. równą macierzy transformacji nowych współrzędnych w stare).

(6)Kobazę układu współrzędnych (bazę sprężoną dog→i{\displaystyle {\vec {g}}_{i}}) tworzą wektory prostopadłe do płaszczyzn wyznaczonych przez pary wektorów bazowyche→I,I=1,2,3{\displaystyle {\vec {e}}^{I},I=1,2,3}

g→i=∂x→i∂zIe→I,i=1,2,3.{\displaystyle {\vec {g}}^{i}={\frac {\partial {{\vec {x}}^{i}}}{\partial z^{I}}}{\vec {e}}_{I},\,\,\,i=1,2,3.}

Z powyższego widać, że:

Wektory bazy kartezjańskiej transformują się na kobazę układu krzywoliniowego poprzez macierzTkobazy=[∂xi∂zI].{\displaystyle T_{kobazy}=\left[{\frac {\partial x^{i}}{\partial z^{I}}}\right].}

(7) Z powyższego widać, że

Macierze transformacji bazy kartezjańskiej w wektory bazy i kobazy są wzajemnie odwrotne, tj.
Tkobazy=Tbazy−1.{\displaystyle T_{kobazy}=T_{bazy}^{-1}.}

(8) Zależności między wektorami bazy i kobazy

g→1⊥g→2orazg→1⊥g→3{\displaystyle {\vec {g}}^{1}\perp {\vec {g}}_{2}\,\,{\text{oraz}}\,\,\,{\vec {g}}^{1}\perp {\vec {g}}_{3}}
g→2⊥g→1orazg→2⊥g→3{\displaystyle {\vec {g}}^{2}\perp {\vec {g}}_{1}\,\,{\text{oraz}}\,\,\,{\vec {g}}^{2}\perp {\vec {g}}_{3}}
g→3⊥g→2orazg→3⊥g→1{\displaystyle {\vec {g}}^{3}\perp {\vec {g}}_{2}\,\,{\text{oraz}}\,\,\,{\vec {g}}^{3}\perp {\vec {g}}_{1}}
oraz
g→ig→j=∂zI∂xie→I∂xj∂zJe→J=∂zI∂xi∂xj∂zJδIJ=∂zJ∂xi∂xj∂zJ=∂xj∂xi=δij,{\displaystyle {\vec {g}}_{i}\,{\vec {g}}^{j}={\frac {\partial z^{I}}{\partial x^{i}}}{\vec {e}}_{I}{\frac {\partial x^{j}}{\partial z^{J}}}{\vec {e}}_{J}={\frac {\partial z^{I}}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial x^{j}}{\partial z^{J}}}\delta _{IJ}={\frac {\partial z^{J}}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial x^{j}}{\partial z^{J}}}={\frac {\partial x^{j}}{\partial x^{i}}}=\delta _{i}^{j},}
gdzie
δij{\displaystyle \delta _{i}^{j}} –delta Kroneckera.

Definicja tensorów

[edytuj |edytuj kod]

Tensor 0. rzędu, czyli pole skalarne (funkcja skalarna)

[edytuj |edytuj kod]
F(x1,x2,x3)=F(x1(z1,z2,z3),x2(z1,z2,z3),x3(z1,z2,z3)){\displaystyle F(x^{1},x^{2},x^{3})=F{\big (}x^{1}(z^{1},z^{2},z^{3}),x^{2}(z^{1},z^{2},z^{3}),x^{3}(z^{1},z^{2},z^{3}){\big )}}
nie zmienia wartości przy przejściu do innego układu współrzędnych.

Tensor 1. rzędu, czyli pole wektorowe

[edytuj |edytuj kod]

Jedna z możliwych definicji tensora opiera się na obserwacji, iż współrzędne wektorów wykazują szczególne właściwości transformacyjne przy przejściu do bazy innego układu współrzędnych. Poniżej pokażemy te właściwości transformacyjne.

(1) Wektor jest obiektem geometrycznym, dlatego nie zależy od tego, w jakiej bazie jest wyrażony. Stąd prawdziwe muszą być poniższe równości

A→=Aig→i=AIe→I.{\displaystyle {\vec {A}}=A^{i}{\vec {g}}_{i}=A^{I}{\vec {e}}_{I}.}

(2) Ponieważg→i=∂zI∂xie→I,{\displaystyle {\vec {g}}_{i}={\frac {\partial z^{I}}{\partial x^{i}}}{\vec {e}}_{I},} to zachodzi odwrotna zależność

e→I=∂xi∂zIg→i.{\displaystyle {\vec {e}}_{I}={\frac {\partial x^{i}}{\partial z^{I}}}{\vec {g}}_{i}.}

(3) Podstawiając powyższe wyrażenie do pierwszej równości otrzyma się

Ai=∂xi∂zIAI.{\displaystyle A^{i}={\frac {\partial x^{i}}{\partial z^{I}}}A^{I}.}

(4) Oznacza to, że współrzędne wektora kontrawariantnego określone w układzie{z1,z2,z3}{\displaystyle \{z^{1},z^{2},z^{3}\}} przy przejściu do innego układu{x1,x2,x3}{\displaystyle \{x^{1},x^{2},x^{3}\}} transformują się w tak że:

Nowe współrzędne wektora zależą od starych współrzędnych poprzez macierz transformacji[∂xi∂zI],{\displaystyle \left[{\frac {\partial x^{i}}{\partial z^{I}}}\right],} tj.
Ai=∂xi∂zIAI,i=1,2,3.{\displaystyle A^{i}={\frac {\partial x^{i}}{\partial z^{I}}}A^{I},\,\,\,i=1,2,3.}

(5) Powyższą właściwość dotyczącą transformacji współrzędnych wektora uogólnia się, co stanowi podstawę jednej z możliwych definicji tensora.

Tensor 2. rzędu otrzymany z iloczynu dwóch wektorów

[edytuj |edytuj kod]

Tensor 2-go rzędu można otrzymać np. ziloczynu tensorowego dwóch wektorów.

(1) Iloczyn dwóch wektorów w postaci kontrawariantnej daje tensor kontrawariantny 2. rzędu, gdyż

T=A→⊗B→=Aig→i⊗Bjg→j=AiBjg→i⊗g→j,{\displaystyle T={\vec {A}}\otimes {\vec {B}}=A^{i}{\vec {g}}_{i}\otimes B^{j}{\vec {g}}_{j}=A^{i}B^{j}\,\,{\vec {g}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{j},}
gdzie
g→i⊗g→j{\displaystyle {\vec {g}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{j}} – iloczyny tensorowe (zewnętrzne) wektorów bazy
Tij=AiBj{\displaystyle T^{ij}=A^{i}B^{j}} – współrzędne kontrawariantne tensora.

(2) Iloczyn dwóch wektorów w postaci kowariantnej daje tensor kowariantny, gdyż

T=A→⊗B→=Aig→i⊗Bjg→j=AiBjg→i⊗g→j,{\displaystyle T={\vec {A}}\otimes {\vec {B}}=A_{i}{\vec {g}}^{i}\otimes B_{j}{\vec {g}}^{j}=A_{i}B_{j}\,\,{\vec {g}}^{i}\otimes {\vec {g}}^{j},}
gdzie
g→i⊗g→j{\displaystyle {\vec {g}}^{i}\otimes {\vec {g}}^{j}} – iloczyny tensorowe (zewnętrzne) wektorów kobazy,
Tij=AiBj{\displaystyle T_{ij}=A_{i}B_{j}} – współrzędne kowariantne tensora.

(3) Iloczyn wektora w postaci kowariantnej z wektorem w postaci kontrawariantnej daje tensor mieszany, gdyż

T=A→⊗B→=Aig→i⊗Bjg→j=AiBjg→i⊗g→j,{\displaystyle T={\vec {A}}\otimes {\vec {B}}=A_{i}{\vec {g}}^{i}\otimes B^{j}{\vec {g}}_{j}=A_{i}B^{j}\,\,{\vec {g}}^{i}\otimes {\vec {g}}_{j},}
gdzie
g→i⊗g→j{\displaystyle {\vec {g}}^{i}\otimes {\vec {g}}_{j}} – iloczyny tensorowe (zewnętrzne) wektorów kobazy i bazy,
Tij=AiBj{\displaystyle T_{i}^{j}=A_{i}B^{j}} – współrzędne kowariantno-kontrawariantne tensora.

(4) Iloczyn wektora w postaci kontrawariantnej z wektorem w postaci kowariantnej daje tensor mieszany, gdyż

T=A→⊗B→=Aig→i⊗Bjg→j=AiBjg→i⊗g→j,{\displaystyle T={\vec {A}}\otimes {\vec {B}}=A^{i}{\vec {g}}_{i}\otimes B_{j}{\vec {g}}^{j}=A^{i}B_{j}\,\,{\vec {g}}_{i}\otimes {\vec {g}}^{j},}
gdzie
g→i⊗g→j{\displaystyle {\vec {g}}_{i}\otimes {\vec {g}}^{j}} – iloczyny tensorowe (zewnętrzne) wektorów bazy i kobazy,
Tji=AiBj{\displaystyle T_{j}^{i}=A^{i}B_{j}} – współrzędne kontrawariantno-kowariantne tensora.

(5) Z powyższego widać, że tensor 2. rzędu ma współrzędne różnego typu w zależności od tego, w jakiej bazie jest wyrażony. Ponieważ jednak tensor jest obiektem geometrycznym, to nie zależy od bazy, w jakiej jest wyrażany, dlatego dla dowolnego tensora słuszne są zależności

T=Tijg→i⊗g→j=Tjig→i⊗g→j=Tijg→i⊗g→j=Tijg→i⊗g→j.{\displaystyle T=T^{ij}\,\,{\vec {g}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{j}=T_{j}^{i}\,\,{\vec {g}}_{i}\otimes {\vec {g}}^{j}=T_{i}^{j}\,\,{\vec {g}}^{i}\otimes {\vec {g}}_{j}=T_{ij}\,\,{\vec {g}}^{i}\otimes {\vec {g}}^{j}.}

Transformacja współrzędnych tensora 2. rzędu

[edytuj |edytuj kod]

(1) Dany jest tensor w bazie wektorówg→i⊗g→j{\displaystyle {\vec {g}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{j}}

T=Tijg→i⊗g→j,{\displaystyle T=T^{ij}{\vec {g}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{j},}
gdzie
Tij{\displaystyle T^{ij}} – współrzędne tensora.

(2) Tensor ten w bazie wektorówe→I⊗e→J{\displaystyle {\vec {e}}_{I}\otimes {\vec {e}}_{J}} ma postać

T=TIJe→I⊗e→J,{\displaystyle T=T^{IJ}{\vec {e}}_{I}\otimes {\vec {e}}_{J},}
gdzie
TIJ,I,J=1,2,3{\displaystyle T^{IJ},\,\,I,J=1,2,3} – współrzędne tensora.

Z porównania (1) (2) oraz podstawienia zależnościg→i=∂zI∂xie→I,{\displaystyle {\vec {g}}_{i}={\frac {\partial z^{I}}{\partial x^{i}}}{\vec {e}}_{I},}g→j=∂zJ∂xje→J{\displaystyle {\vec {g}}_{j}={\frac {\partial z^{J}}{\partial x^{j}}}{\vec {e}}_{J}} wynikają związki transformacyjne współrzędnych tensora,

Tij=∂xi∂zI∂xj∂zJTIJ.{\displaystyle T^{ij}={\frac {\partial x^{i}}{\partial z^{I}}}{\frac {\partial x^{j}}{\partial z^{J}}}T^{IJ}.}

Transformacja współrzędnych tensora dowolnego rzędu

[edytuj |edytuj kod]

Podobnie otrzymuje się wzory transformacyjne dla innych tensorów, np.

Tklmij=∂xi∂zI∂xj∂zJ∂zK∂xk∂zL∂xl∂zM∂xmTKLMIJ.{\displaystyle T_{klm}^{ij}={\frac {\partial x^{i}}{\partial z^{I}}}{\frac {\partial x^{j}}{\partial z^{J}}}{\frac {\partial z^{K}}{\partial x^{k}}}{\frac {\partial z^{L}}{\partial x^{l}}}{\frac {\partial z^{M}}{\partial x^{m}}}T_{KLM}^{IJ}.}

Przykład: Tensor utworzony z iloczynu tensorowego wektorów

[edytuj |edytuj kod]

Założenia:

Z wektorówAμ,Bν{\displaystyle A^{\mu },B_{\nu }} można utworzyć tensorTνμ{\displaystyle T_{\nu }^{\mu }} za pomocą mnożenia tensorowego, tj.

Tνμ=Aμ⊗Bν=(A1e→1+A2e→2+A3e→3)⊗(B1e→1+B2e→2+B2e→3)=A1B1e→1⊗e→1+A1B2e→1⊗e→2+…+A3B3e→3⊗e→3,{\displaystyle {\begin{aligned}T_{\nu }^{\mu }&=A^{\mu }\otimes B_{\nu }\\&=(A^{1}{\vec {e}}_{1}+A^{2}{\vec {e}}_{2}+A^{3}{\vec {e}}_{3})\otimes (B_{1}{\vec {e}}^{1}+B_{2}{\vec {e}}^{2}+B_{2}{\vec {e}}^{3})\\&=A^{1}B_{1}\,{\vec {e}}_{1}\otimes {\vec {e}}^{1}+A^{1}B_{2}\,{\vec {e}}_{1}\otimes {\vec {e}}^{2}+\ldots +A^{3}B_{3}\,{\vec {e}}_{3}\otimes {\vec {e}}^{3},\end{aligned}}}

gdzie:

e→1⊗e→1,e→1⊗e→2,…,e→3⊗e→3{\displaystyle {\vec {e}}_{1}\!\otimes \!{\vec {e}}^{1},{\vec {e}}_{1}\!\otimes \!{\vec {e}}^{2},\dots ,{\vec {e}}_{3}\!\otimes \!{\vec {e}}^{3}} –iloczyny tensorowe wektorów bazowych.

Aby jawnie pokazać, co wyrażają powyższe iloczyny tensorowe przyjmijmy reprezentację (kanoniczną) wektorów bazy w postaci wektorów wierszowych, a kobazy w postaci wektorów kolumnowych

e→1=[1,0,0],e→2=[0,1,0],e→3=[0,0,1],{\displaystyle {\vec {e}}_{1}={\begin{bmatrix}1,0,0\end{bmatrix}},\;{\vec {e}}_{2}={\begin{bmatrix}0,1,0\end{bmatrix}},\;{\vec {e}}_{3}={\begin{bmatrix}0,0,1\end{bmatrix}},}
e→1=[100],e→2=[010],e→3=[001].{\displaystyle {\vec {e}}^{1}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\;{\vec {e}}^{2}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\;{\vec {e}}^{3}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}.}

Wtedy

e→1⊗e→1=[1,0,0]⊗[100]=[1,0,00,0,00,0,0]e→1⊗e→2=[1,0,0]⊗[010]=[0,0,01,0,00,0,0]…e→3⊗e→3=[0,0,1]⊗[001]=[0,0,00,0,00,0,1].{\displaystyle {\begin{aligned}&{\vec {e}}_{1}\otimes {\vec {e}}^{1}={\begin{bmatrix}1,0,0\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1,0,0\\0,0,0\\0,0,0\end{bmatrix}}\\[1em]&{\vec {e}}_{1}\otimes {\vec {e}}^{2}={\begin{bmatrix}1,0,0\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0,0,0\\1,0,0\\0,0,0\end{bmatrix}}\\&\ldots \\&{\vec {e}}_{3}\otimes {\vec {e}}^{3}={\begin{bmatrix}0,0,1\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0,0,0\\0,0,0\\0,0,1\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}

Tensor

Tνμ=Aμ⊗Bν=∑i=13∑j=13AiBje→i⊗e→j{\displaystyle T_{\nu }^{\mu }=A^{\mu }\otimes B_{\nu }=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}A^{i}B_{j}\,{\vec {e}}_{i}\!\otimes \!{\vec {e}}^{j}}

jest więckombinacją liniową wszystkich par wektorów bazowych mnożonych wektorow; tensor ten ma w podanej reprezentacji przedstawienie w postaci macierzy 3 × 3:

Tνμ=Aμ⊗Bν=[A1B1,A1B2,A1B3A2B1,A2B2,A2B3A3B1,A3B2,A3B3],{\displaystyle T_{\nu }^{\mu }=A^{\mu }\otimes B_{\nu }={\begin{bmatrix}A^{1}B_{1},\,\,A^{1}B_{2},\,\,A^{1}B_{3}\\A^{2}B_{1},\,\,A^{2}B_{2},\,\,A^{2}B_{3}\\A^{3}B_{1},\,\,A^{3}B_{2},\,\,A^{3}B_{3}\end{bmatrix}},}

przy czym wielkości

Tνμ=AμBν,μ,ν=1,2,3{\displaystyle T_{\nu }^{\mu }=A^{\mu }B_{\nu },\quad \mu ,\nu =1,2,3}

nazywa się współrzędnymiTνμ{\displaystyle T_{\nu }^{\mu }} tensora; iloczyny tensorowee→μ⊗e→ν,{\displaystyle {\vec {e}}_{\mu }\!\otimes \!{\vec {e}}^{\nu },} które w podanej reprezentacji sąmacierzami 3 × 3 o jednym elemencie niezerowym, stanowiąbazę przestrzeni tensorowej tensorów typuTνμ,{\displaystyle T_{\nu }^{\mu },} rozpiętych nad 3-wymiarową przestrzenią euklidesowąE3.{\displaystyle E^{3}.} Przestrzeń tensorowa tego typu tensorów jest więc32=9{\displaystyle 3^{2}=9}-wymiarowa.

Uwagi:

(1) Gdyby przestrzeń euklidesowa byłaN{\displaystyle N}-wymiarowa, to tensory typuTνμ{\displaystyle T_{\nu }^{\mu }} (o dwóch indeksach) tworzyłyby przestrzeń tensorowąN2{\displaystyle N^{2}}-wymiarową.

(2) Gdyby przestrzeń euklidesowa byłaN{\displaystyle N}-wymiarowa, to tensory mające(p+q){\displaystyle (p+q)} indeksów tworzyłyby przestrzeń tensorowąN(p+q){\displaystyle N^{(p+q)}}-wymiarową. Np. tensoryTν1,ν2μ1,μ2,μ3{\displaystyle T_{\nu _{1},\nu _{2}}^{\mu _{1},\mu _{2},\mu _{3}}} mającep+q=5{\displaystyle p+q=5} indeksów na przestrzeni4{\displaystyle 4}-wymiarowej tworzyłyby przestrzeń tensorową45=1024{\displaystyle 4^{5}=1024} wymiarową (!).

Definicja tensora za pomocą funkcji wieloliniowej

[edytuj |edytuj kod]

(Uwaga: Poniższa definicja jest mało intuicyjna przy pierwszym zetknięciu się z pojęciem tensora).

Jeżeli

Vp×(V∗)q:=V×…×V⏟p×V∗×…×V∗⏟q,{\displaystyle \mathbb {V} ^{p}\times (\mathbb {V} ^{*})^{q}:=\underbrace {\mathbb {V} \times \ldots \times \mathbb {V} } _{p}\times \underbrace {\mathbb {V} ^{*}\times \ldots \times \mathbb {V} ^{*}} _{q},}

totensorem nazywamy dowolną funkcję(p+q)-liniową

F:Vp×(V∗)q→K,{\displaystyle F\colon \mathbb {V} ^{p}\times (\mathbb {V} ^{*})^{q}\to \mathbb {K} ,}

przy tym

(1) wektory przestrzeniV{\displaystyle \mathbb {V} } utożsamia się z tensorami typu(0, 1),{\displaystyle (0,\ 1),} tj. traktuje jako wektory o górnych wskaźnikach (wektory kontrawariantne),

(2) wektoryprzestrzeni dualnejV∗{\displaystyle \mathbb {V} ^{*}} (tj. przestrzeni rozpiętej na bazie dualnej do bazy przestrzeniV{\displaystyle \mathbb {V} }) – to tensory typu(1, 0),{\displaystyle (1,\ 0),} czyli wektory o dolnych wskaźnikach (wektory kowariantne),

(3) przyjmuje się, że tensory typu(0, 0){\displaystyle (0,\ 0)} to skalary (elementy ciałaK{\displaystyle \mathbb {K} }).

Definicja rzędu, typu tensora

[edytuj |edytuj kod]

Mówimy, że tensorF:Vp×(V∗)q→K{\displaystyle F\colon \mathbb {V} ^{p}\times (\mathbb {V} ^{*})^{q}\to \mathbb {K} } jest

Przestrzeń tensorowa

[edytuj |edytuj kod]

Definicja dodawania tensorów i mnożenia przez liczbę

[edytuj |edytuj kod]

NiechV{\displaystyle \mathbb {V} } będzie przestrzenią liniową nad ciałemK.{\displaystyle \mathbb {K} .}

(1)Sumą tensorówS,T{\displaystyle S,T} nazywa się tensorU{\displaystyle U} taki że wartość jego działania na dowolnychp{\displaystyle p} wektorów przestrzeniV{\displaystyle \mathbb {V} } oraz dowolnychq{\displaystyle q} wektorów przestrzeniV∗{\displaystyle \mathbb {V} ^{*}} jest równa sumie działań każdego z tensorówS,T{\displaystyle S,T} z osobna na tych wektorach, tj.

U(u1,…,up,v1,…,vq):=S(u1,…,up,v1,…,vq)+T(u1,…,up,v1,…,vq).{\displaystyle U(u^{1},\dots ,u^{p},v_{1},\dots ,v_{q}):=S(u^{1},\dots ,u^{p},v_{1},\dots ,v_{q})+T(u^{1},\dots ,u^{p},v_{1},\dots ,v_{q}).}

(2)Iloczynem tensoraS{\displaystyle S} przez liczbęα{\displaystyle \alpha } należącą do ciałaK{\displaystyle \mathbb {K} } nazywa się tensorU{\displaystyle U} taki że wartość jego działania na dowolnychp{\displaystyle p} wektorów przestrzeniV{\displaystyle \mathbb {V} } oraz dowolnychq{\displaystyle q} wektorów przestrzeniV∗{\displaystyle \mathbb {V} ^{*}} jest równa iloczynowi liczbyα{\displaystyle \alpha } przez wynik działania tensoraS{\displaystyle S} na tych wektorach, tj.

U(u1,…,up,v1,…,vq):=α⋅T(u1,…,up,v1,…,vq).{\displaystyle U(u^{1},\dots ,u^{p},v_{1},\dots ,v_{q}):=\alpha \cdot T(u^{1},\dots ,u^{p},v_{1},\dots ,v_{q}).}

Uwagi:

(1) Tensor utworzony z dodawania tensorówS,T{\displaystyle S,T} oznacza się symbolemU≡S+T.{\displaystyle U\equiv S+T.} Z definicji wynika, że jest to tensor tego samego rzędu, co tensory dodawane, a więc należy do tej samej przestrzeni tensorowej nad przestrzeniąV.{\displaystyle \mathbb {V} .}

(2) Tensor utworzony z mnożenia tensoraS{\displaystyle S} przez liczbęα{\displaystyle \alpha } oznacza się symbolemU≡αS.{\displaystyle U\equiv \alpha S.} Z definicji wynika, że jest to tensor tego samego rzędu, co tensorS,{\displaystyle S,} a więc należy do tej samej przestrzeni tensorowej nad przestrzeniąV.{\displaystyle \mathbb {V} .}

Twierdzenie (o przestrzeni liniowej tensorów)

[edytuj |edytuj kod]

Zbiór wszystkich tensorów typu(p, q){\displaystyle (p,\ q)} określonych na przestrzeniV{\displaystyle \mathbb {V} } z działaniami dodawania tensorów i mnożenia przez liczbęα{\displaystyle \alpha } należącą do ciałaK{\displaystyle \mathbb {K} } tworzy przestrzeń liniową.

Definicja przestrzeni tensorowej

[edytuj |edytuj kod]

Przestrzenią tensorową nazywa się przestrzeń liniową utworzoną z tensorów typu(p, q){\displaystyle (p,\ q)} na przestrzeniV{\displaystyle \mathbb {V} } i oznacza się symbolemTqp(V){\displaystyle T_{q}^{p}(\mathbb {V} )}[c]

Wymiar przestrzeni tensorowej

[edytuj |edytuj kod]

Przestrzeń tensorowaTqp(V){\displaystyle T_{q}^{p}(\mathbb {V} )} tensorów op{\displaystyle p} indeksach górnych orazq{\displaystyle q} indeksach dolnych, utworzona nad przestrzenią liniowąV{\displaystyle \mathbb {V} } o wymiarzeN{\displaystyle N} ma wymiarN(p+q).{\displaystyle N^{(p+q)}.}

Np. Przestrzeń tensorowaT11(V){\displaystyle T_{1}^{1}(\mathbb {V} )} zawierająca tensory postaciTνμ{\displaystyle T_{\nu }^{\mu }} (np.Tνμ=AμBν{\displaystyle T_{\nu }^{\mu }=A^{\mu }B_{\nu }}) nad przestrzeniąV=E3{\displaystyle \mathbb {V} =E^{3}} ma wymiar3(1+1)=9{\displaystyle 3^{(1+1)}=9} (por. Przykład).

Baza przestrzeni tensorowej. Reprezentacja tensora w bazie

[edytuj |edytuj kod]

Jeżeli

to

T=∑i1,…,imN∑j1,…,jn=1Nrj1…,jni1,…,imei1⊗…⊗eim⊗dj1⊗…⊗djn{\displaystyle T=\sum _{i_{1},\dots ,i_{m}}^{N}\,\,\,\sum _{j_{1},\dots ,j_{n}=1}^{N}\,\,r_{j_{1}\dots ,j_{n}}^{i_{1},\dots ,i_{m}}\,\,e_{i_{1}}\!\!\otimes \ldots \otimes \!e_{i_{m}}\!\otimes \,d^{j_{1}}\!\!\otimes \ldots \otimes \!d^{j_{n}}}
gdzie:
rj1…,jni1,…,im∈K,i1,…,im∈{1,…,N},j1,…,jn∈{1,…,N}{\displaystyle r_{j_{1}\dots ,j_{n}}^{i_{1},\dots ,i_{m}}\in \mathbb {K} ,\quad i_{1},\dots ,i_{m}\in \{1,\dots ,N\},\,\,j_{1},\dots ,j_{n}\in \{1,\dots ,N\}}
–współrzędne (składowe)tensora w bazie.

Uwagi:

1) Tensorami często nazywa się po prostu ich współrzędnerj1…,jni1,…,im{\displaystyle r_{j_{1}\dots ,j_{n}}^{i_{1},\dots ,i_{m}}}[3].

2)Wymiar przestrzeni tensorowejTnm(V){\displaystyle T_{n}^{m}(\mathbb {V} )} wynosiN(m+n),{\displaystyle N^{(m+n)},} gdzieN{\displaystyle N} – wymiar przestrzeniV.{\displaystyle \mathbb {V} .}

Iloczyn tensorowy (zewnętrzny) tensorów

[edytuj |edytuj kod]

Definicja

[edytuj |edytuj kod]

Iloczynem tensorowym (zewnętrznym) nazywa się działanie dwuliniowe, które dwóm tensorom o typach(p, q){\displaystyle (p,\ q)} oraz(k, l){\displaystyle (k,\ l)} przypisuje tensor o typie(p+k, q+l){\displaystyle (p+k,\ q+l)}

⊗:Tqp(V)×Tlk(V)→Tq+lp+k(V){\displaystyle \otimes :T_{q}^{p}(\mathbb {V} )\times T_{l}^{k}(\mathbb {V} )\to T_{q+l}^{p+k}(\mathbb {V} )}

taki, że jest on zbiorem wszystkich iloczynów składowych przemnażanych tensorów, tj.

Arns⊗Bmk=Trmnsk.{\displaystyle A_{r}^{ns}\otimes B_{m}^{k}=T_{rm}^{nsk}.}

Np. tensor utworzony z iloczynu dwóch wektorów – kontrawariantnego i kowariantnego,Tνμ=Aμ⊗Bν,{\displaystyle T_{\nu }^{\mu }=A^{\mu }\otimes B_{\nu },} wyrażony bazie przestrzeni liniowej i kobazie przestrzeni dualnej ma postać sumy 9 składników:

Tνμ=Aμ⊗Bν=∑i=13∑j=13AiBjei⊗dj{\displaystyle T_{\nu }^{\mu }=A^{\mu }\otimes B_{\nu }=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}A^{i}B_{j}\,e_{i}\!\otimes \!d^{j}}

(por.Przykład, gdzie pokazano dokładniemnożenie tensorowe tensorów).

Twierdzenia

[edytuj |edytuj kod]

Z definicji iloczynu tensorowego wynikają następujące twierdzenia[4]:

Tw. 1

JeżeliR∈Tqp(V), S∈Tlk(V), T∈Tnm(V),{\displaystyle R\in T_{q}^{p}(\mathbb {V} ),\ S\in T_{l}^{k}(\mathbb {V} ),\ T\in T_{n}^{m}(\mathbb {V} ),} to

(R⊗S)⊗T=R⊗(S⊗T).{\displaystyle (R\otimes S)\otimes T=R\otimes (S\otimes T).}

Tw. 2

JeżeliS1, S2∈Tqp(V), T∈Tlk(V),{\displaystyle S_{1},\ S_{2}\in T_{q}^{p}(\mathbb {V} ),\ T\in T_{l}^{k}(\mathbb {V} ),} to

(S1+S2)⊗T=S1⊗T+S2⊗T.{\displaystyle (S_{1}+S_{2})\otimes T=S_{1}\otimes T+S_{2}\otimes T.}

Tw. 3

JeżeliS∈Tqp(V), T1, T2∈Tlk(V),{\displaystyle S\in T_{q}^{p}(\mathbb {V} ),\ T_{1},\ T_{2}\in T_{l}^{k}(\mathbb {V} ),}

S⊗(T1+T2)=S⊗T1+S⊗T2.{\displaystyle S\otimes (T_{1}+T_{2})=S\otimes T_{1}+S\otimes T_{2}.}

Tw. 4

JeżeliS∈Tqp(V), T∈Tlk(V), α∈K,{\displaystyle S\in T_{q}^{p}(\mathbb {V} ),\ T\in T_{l}^{k}(\mathbb {V} ),\ \alpha \in \mathbb {K} ,} to

(α⋅S)⊗T=S⊗(α⋅T)=α⋅(S⊗T).{\displaystyle (\alpha \cdot S)\otimes T=S\otimes (\alpha \cdot T)=\alpha \cdot (S\otimes T).}

Tw. 5

Iloczyn tensorowy nie jest przemienny, tzn. na ogół

S⊗T≠T⊗S{\displaystyle S\otimes T\neq T\otimes S}[4].

Transformacje współrzędnych

[edytuj |edytuj kod]

Gdy w przestrzeniV{\displaystyle \mathbb {V} } przechodzimy z danej bazy do, to współrzędne tensorów transformują się zgodnie z dwiema regułami:

(1) składowekowariantne wektorów, tensorów 2-go rzędu itd. transformują poprzez macierz identyczną z macierzą transformacji bazy układu kartezjańskiego do bazy układu krzywoliniowego (mówi się, że składowe kowariantne transformują się współzmienniczo lub kowariantnie z wektorami bazy),

(2) składowekontrawariantne wektorów, tensorów transformują się poprzezmacierz odwrotną (transformują się przeciwzmienniczo lub kontrawariantnie).

Współrzędne zwykle grupuje się w wielowymiarowe tabelki (macierze).

Pojedyncze równanie tensorowe rozpisane na składowe przechodzi wukład równań wiążących współrzędne tensorów.

Pojawia się tutaj główna zaleta rachunku tensorowego: współrzędne są zależne od układu współrzędnych, jednak równania wiążące współrzędne są niezależne od układu, tj. w każdym układzie mają taką samą postać, przy założeniu, że transformacje między układami są wykonywane z ustalonymi regułami (np. transformacje Lorentza wiążą układy poruszające się względem siebie).

Definicja tensorów symetrycznych i antysymetrycznych

[edytuj |edytuj kod]

Jeżeli

to

F(v1,v2,…vp)=F(vσ(1),vσ(2),…,vσ(p)),{\displaystyle F(v_{1},v_{2},\dots v_{p})=F(v_{\sigma (1)},v_{\sigma (2)},\dots ,v_{\sigma (p)}),}
F(v1,v2,…,vp)=sign(σ)F(vσ(1),vσ(2),…,vσ(p)){\displaystyle F(v_{1},v_{2},\dots ,v_{p})=\mathrm {sign} (\sigma )F(v_{\sigma (1)},v_{\sigma (2)},\dots ,v_{\sigma (p)})}[5].

Symetryzacja i antysymetryzacja tensora

[edytuj |edytuj kod]

Definicja symetryzacji

[edytuj |edytuj kod]

Symetryzacją tensoraF{\displaystyle F} nazywa się odwzorowanieS: Tp(V)→Tp(V){\displaystyle \mathbb {S} \colon \ T^{p}(\mathbb {V} )\to T^{p}(\mathbb {V} )} dane wzorem:

SF(v1,v2,…,vp):=1p!∑σ∈SpF(vσ(1),vσ(2),…,vσ(p)).{\displaystyle \mathbb {S} F(v_{1},v_{2},\dots ,v_{p}):={\frac {1}{p!}}\sum _{\sigma \in S_{p}}F(v_{\sigma (1)},v_{\sigma (2)},\dots ,v_{\sigma (p)}).}

Definicja antysymetryzacji

[edytuj |edytuj kod]

Antysymetryzacją tensoraF{\displaystyle F}[6] nazywa się odwzorowanieA: Tp(V)→Tp(V){\displaystyle \mathbb {A} \colon \ T^{p}(\mathbb {V} )\to T^{p}(\mathbb {V} )} dane wzorem:

AF(v1,v2,…,vp):=1p!∑σ∈Spsign(σ)F(vσ(1),vσ(2),…,vσ(p)).{\displaystyle \mathbb {A} F(v_{1},v_{2},\dots ,v_{p}):={\frac {1}{p!}}\sum _{\sigma \in S_{p}}\mathrm {sign} (\sigma )F(v_{\sigma (1)},v_{\sigma (2)},\dots ,v_{\sigma (p)}).}

Twierdzenia

[edytuj |edytuj kod]

Tw. 1 SymetryzacjaSF{\displaystyle \mathbb {S} F} tensoraF∈Tp(V){\displaystyle F\in T^{p}(\mathbb {V} )} jest symetrycznym tensoremp{\displaystyle p}-krotnie kowariantnym.

Tw. 2 AntysymetryzacjaAF{\displaystyle \mathbb {A} F} tensoraF∈Tp(V){\displaystyle F\in T^{p}(\mathbb {V} )} jest antysymetrycznym tensoremp{\displaystyle p}-krotnie kowariantnym[6].

Tw. 3 JeżeliF{\displaystyle F} jest tensorem symetrycznym, toSF=F.{\displaystyle \mathbb {S} F=F.}

Tw. 4 JeżeliF{\displaystyle F} jest tensorem antysymetrycznym, toAF=F{\displaystyle \mathbb {A} F=F}[7].

Tw. 5 Tensor1{\displaystyle 1}-krotnie kowariantny jest jednocześnie symetryczny i antysymetryczny.

Dowód: Jedyną permutacją zbioru jednoelementowego jest identyczność i jej znak wynosi1{\displaystyle 1}[7].

Całkowicie antysymetryczny iloczyn tensorowy

[edytuj |edytuj kod]

W matematyce i fizyce szczególne znaczenie[8] mają antysymetryczne tensory kowariantne (por. formy różniczkowe). Ponieważ wynikiem zwykłego iloczynu tensorowego tensorów antysymetrycznych może nie być tensor antysymetryczny, to wprowadza się iloczyn zewnętrzny, który jest swego rodzaju poprawionym iloczynem tensorowym.

Oznaczenie:Λp(V){\displaystyle \Lambda ^{p}(\mathbb {V} )} – zbiór wszystkichp{\displaystyle p}-krotnie kowariantnych tensorów antysymetrycznych na przestrzeni liniowejV.{\displaystyle \mathbb {V} .}

Definicja

[edytuj |edytuj kod]

Całkowicie antysymetrycznym iloczynem tensorowym (iloczynem zewnętrznym lubalternującym) nazywa się tensor∧,{\displaystyle \land ,} taki że[9]

∧: Tm(V)×Tn(V)→Tm+n(V){\displaystyle \land :\ T^{m}(\mathbb {V} )\times T^{n}(\mathbb {V} )\to T^{m+n}(\mathbb {V} )}
oraz
∧(F, G):=(m+n)!m!n!A(F⊗G).{\displaystyle \land (F,\ G):={\frac {(m+n)!}{m!n!}}\mathbb {A} (F\otimes G).}

Oznaczenie: Zazwyczaj pisze się

F∧G:=∧(F, G).{\displaystyle F\land G:=\land (F,\ G).}

Twierdzenia o iloczynie zewnętrznym

[edytuj |edytuj kod]

Słuszne są twierdzenia[10].

Tw. 1

PonieważA(F⊗G){\displaystyle \mathbb {A} (F\otimes G)} jest tensorem antysymetrycznym, toF∧G{\displaystyle F\land G} również jest tensorem antysymetrycznym.

Tw. 2

JeżeliF∈Λk(V), G∈Λl(V), H∈Λm(V),{\displaystyle F\in \Lambda ^{k}(\mathbb {V} ),\ G\in \Lambda ^{l}(\mathbb {V} ),\ H\in \Lambda ^{m}(\mathbb {V} ),} to

(F∧G)∧H=F∧(G∧H).{\displaystyle (F\land G)\land H=F\land (G\land H).}

Tw. 3

JeżeliF1, F2∈Λk(V), G∈Λl(V),{\displaystyle F_{1},\ F_{2}\in \Lambda ^{k}(\mathbb {V} ),\ G\in \Lambda ^{l}(\mathbb {V} ),} to

(F1+F2)∧G=F1∧G+F2∧G.{\displaystyle (F_{1}+F_{2})\land G=F_{1}\land G+F_{2}\land G.}

Tw. 4

JeżeliF∈Λk(V), G1, G2∈Λl(V),{\displaystyle F\in \Lambda ^{k}(\mathbb {V} ),\ G_{1},\ G_{2}\in \Lambda ^{l}(\mathbb {V} ),} to

F∧(G1+G2)=F∧G1+F∧G2.{\displaystyle F\land (G_{1}+G_{2})=F\land G_{1}+F\land G_{2}.}

Tw. 5

JeżeliF∈Λk(V), G∈Λl(V), α∈K,{\displaystyle F\in \Lambda ^{k}(\mathbb {V} ),\ G\in \Lambda ^{l}(\mathbb {V} ),\ \alpha \in \mathbb {K} ,} to

(αF)∧G=F∧(αG)=α(F∧G).{\displaystyle (\alpha F)\land G=F\land (\alpha G)=\alpha (F\land G).}

Tw. 6

JeżeliF∈Λk(V), G∈Λl(V),{\displaystyle F\in \Lambda ^{k}(\mathbb {V} ),\ G\in \Lambda ^{l}(\mathbb {V} ),} to

F∧G=(−1)klG∧F.{\displaystyle F\land G=(-1)^{kl}G\land F.}

Właściwości transformacyjne tensorów

[edytuj |edytuj kod]

Tensorami nazywa się zespoły wielkości, które transformują się w ściśle określony sposób podczas przejścia do innego układu współrzędnych, przy czym w zależności np. od teorii fizycznej zakłada się, jakie rodzaje transformacji należy brać pod uwagę. Wszystkie wymagane transformacje tworzą przy tymgrupy algebraiczne transformacji.

W szczególności

(1) fizyka klasyczna zakłada, że wymagane transformacje należą dogrupy Galileusza,

(2) fizyka relatywistyczna, w tym szczególna i ogólna teorie względności, relatywistyczna mechanika kwantowa, zakładają, że wymagane transformacje należą dogrupy Poincarégo (której podgrupę stanowigrupa Lorentza).

W ramach obu tych grup transformacji zawierają się:obrót,translacja,inwersja w przestrzeni,inwersja w czasie. Jednak transformacje relatywistyczne różnią się od klasycznejwłaściwą transformacja Lorentza, która miesza współrzędne czasowe z przestrzennymi, co sprawia, że radykalnie zmienia się obraz rzeczywistości: czas i przestrzeń nie są już oddzielne, ale mogą przekształcać się w siebie, geometria z euklidesowej staje się geometrią nieeuklidesową.

Składowe tensorów podczas transformacji układu współrzędnych na ogół zmieniają się. Istnieją jednak tzw.niezmienniki tensorów: są to wielkości, które nie zmieniają się mimo transformacji układu współrzędnych. Przy tym niezmienniki zależą od grupy transformacji, jakiej poddaje się tensory. To sprawia, że niezmienniki stanowią podstawę klasyfikacji tensorów.

Dany zespół wielkości może być tensorem względem jednej grupy transformacji, ale nie będzie tensorem względem innej grupy transformacji.

Oznaczenia:

Λ{\displaystyle \Lambda } – macierz elementu grupy transformacji układu współrzędnych
D(Λ){\displaystyle D(\Lambda )} – macierz transformacji współrzędnych tensorów wyrażona za pomocą macierzyΛ.{\displaystyle \Lambda .}
  • Skalary, np.a,X,r{\displaystyle a,X,r} – wcale się nie transformują, albo inaczej mówiąc, transformują się wedługreprezentacji trywialnej (macierz tej transformacji jest macierzą jednostkowąI{\displaystyle I})
D(Λ)=I.{\displaystyle D(\Lambda )=I.}
D(Λ)=Λ−1.{\displaystyle D(\Lambda )=\Lambda ^{-1}.}
D(Λ)=Λ.{\displaystyle D(\Lambda )=\Lambda .}
D(Λ)=Λ−1Λ−1.{\displaystyle D(\Lambda )=\Lambda ^{-1}\Lambda ^{-1}.}
D(Λ)=ΛΛ.{\displaystyle D(\Lambda )=\Lambda \,\Lambda .}
D(Λ)=ΛΛ−1{\displaystyle D(\Lambda )=\Lambda \,\Lambda ^{-1}}
zaś
D(Λ)=Λ−1Λ{\displaystyle D(\Lambda )=\Lambda ^{-1}\,\Lambda }
jeśli pierwszy jest indeks górny, np.Tνμ,Sρπ.{\displaystyle T^{\nu }{}_{\mu },S^{\rho }{}_{\pi }.}
  • Tensory wyższych rzędów –transformują się względem iloczynów prostych odpowiedniej liczby macierzy zgodnych i odwrotnych do macierzyΛ{\displaystyle \Lambda }, w kolejności odpowiadającej kolejności indeksów kowariantnych i kontrawariantnych, np. dla tensoraTklmij{\displaystyle T_{klm}^{i}{}^{j}} macierz transformacji współrzędnych ma postać
D(Λ)=Λ−1ΛΛΛΛ−1.{\displaystyle D(\Lambda )=\Lambda ^{-1}\,\Lambda \,\Lambda \,\Lambda \,\Lambda ^{-1}.}
  • Pseudoskalary – zachowują się jak skalary, ale zmieniają znak podczas odbicia
D(Λ)=detΛ{\displaystyle D(\Lambda )=\det {\Lambda }}
Oznaczenia: jak skalary.
  • Pseudowektory, wektory osiowe, wektory aksjalne – kowariantne / kontrawariantne – transformują się jak wektory kowariantne / kontrawariantne, ale nie zmieniają znaku podczas odbicia (zwykłe wektory zmieniają)
D(Λ)=(detΛ)Λ{\displaystyle D(\Lambda )=(\det {\Lambda })\Lambda }
lub
D(Λ)=(detΛ)Λ−1{\displaystyle D(\Lambda )=(\det {\Lambda })\,\Lambda ^{-1}}
Oznaczenia: jak wektory kowariantne / kontrawariantne.
  • Spinory – transformują się względemreprezentacji spinorowej grupy przekształceń, czasem pomnożonej przez zwykłe reprezentacje tensorowe
D(Λ)=S(Λ)Λ…{\displaystyle D(\Lambda )=S(\Lambda )\,\Lambda \dots }
Oznaczenia:Qνbaμ.{\displaystyle Q_{\nu b}^{a\mu }.}

Reprezentacje tensora za pomocą tablic współrzędnych

[edytuj |edytuj kod]
Wizualizacjasymbolu Leviego-Civity w trzech wymiarach jako tablicy 3×3×3. (W czterech wymiarach jest to tablica 4×4×4×4 itd.)

Tensory można reprezentować jako tablice liczb, które mają wymiar równy rzędowi tensora:

(1) tensor 0-go rzędu toskalar: posiada tylko jedną składową (jest pojedynczą liczbą),

(2) tensor 1-go rzędu towektor; reprezentuje go w układzie współrzędnych jednowymiarowa tablica; w przestrzeni 3-wymiarowej posiada trzy składowe,

(3) tensor 2-go rzędu: jego współrzędne zapisuje się w postacimacierzy kwadratowej; np. tensorpola elektromagnetycznego (w fizyce relatywistycznej reprezentowany przez macierz o 4 na 4, czyli o 16 składowych),

(4) tensor n-tego rzędu: jego współrzędne reprezentuje tablica n-wymiarowa.

Oznaczenia tensorów

[edytuj |edytuj kod]

Tensory oznacza się zwykle literami (dużymi i małymi, greckimi i łacińskimi), czasem z dodatkowymi akcentami, jak kreski, kropki i gwiazdki. Przy literach tych stoją rozmaiteindeksy, których ilość, pozycja i alfabet zależą od typu tensora. Skalary nie mają żadnych indeksów. Najczęściej spotyka się następujące oznaczenia:

Jeden tensor może mieć wiele indeksów:Aμνaπbρσ.{\displaystyle A^{\mu \nu a}{}_{\pi b\rho }{}^{\sigma }.}

Często kolejność indeksów jest nieistotna (tensor symetryczny) lub znana z kontekstu. Wtedy dla uproszczenia można zapisać:Aπbρμνaσ.{\displaystyle A_{\pi b\rho }^{\mu \nu a\sigma }.}

Tensor drugiego rzędu zamiast zapisu z indeksamiAμν,{\displaystyle A^{\mu \nu },} może być oznaczony daszkiemA^{\displaystyle {\hat {A}}} lub podwójną strzałkąA↔{\displaystyle {\stackrel {\leftrightarrow }{A}}} dla odróżnienia od skalarów i wektorów. Drugi zapis pozwala odróżnić je odoperatorów wmechanice kwantowej.

Działania na tensorach

[edytuj |edytuj kod]

Dodawanie oznacza się znakiem +; indeksy tensorów muszą się zgadzać

Aμνπ+Bμνπ=Cμνπ.{\displaystyle A^{\mu }{}_{\nu \pi }+B^{\mu }{}_{\nu \pi }=C^{\mu }{}_{\nu \pi }.}

Odejmowanie oznacza się znakiem -; indeksy tensorów muszą się zgadzać

Aμνπρ−Bμνπρ=Cμνπρ.{\displaystyle A^{\mu \nu }{}_{\pi \rho }-B^{\mu \nu }{}_{\pi \rho }=C^{\mu \nu }{}_{\pi \rho }.}

Mnożenie zewnętrzne (tensorowe) tensorów oznacza się znakiem⊗,{\displaystyle \otimes ,} który można pominąć; indeksy tensorów nie mogą się powtarzać

Aμνρ⊗Bπσ=Cμνρπσ.{\displaystyle A^{\mu \nu }{}_{\rho }\otimes B^{\pi }{}_{\sigma }=C^{\mu \nu }{}_{\rho }{}^{\pi }{}_{\sigma }.}

Kontrakcjatensora – zapisuje się przez powtórzenie tego samego indeksu u góry i u dołu, co prowadzi do utworzenia nowego tensora o rzędzie pomniejszonym o 2:

Aρσνμνπ=Bρσμπ{\displaystyle A_{\rho \sigma \nu }^{\mu \nu \pi }=B_{\rho \sigma }^{\mu \pi }} (powtórzył się symbolν{\displaystyle \nu })
(przy tym dokonuje się sumowania po powtarzającym się indeksie – zgodnie zkonwencją sumacyjną Einsteina).

Mnożenie wewnętrznetensorów – to kontrakcja iloczynu zewnętrznego dwóch tensorów

Aρμν⋅Bσρ=Cσμν{\displaystyle A_{\rho }^{\mu \nu }\cdot B_{\sigma }^{\rho }=C_{\sigma }^{\mu \nu }} (powtórzył się symbolρ{\displaystyle \rho }).

Istnieje podobieństwo zapisu kontrakcji i iloczynu wewnętrznego dokonwencji sumacyjnej.

Różniczkowanietensora oznacza się na różne sposoby: albo przez zapis „operatorowy”:

∂μAν.{\displaystyle \partial _{\mu }A^{\nu }.}
Dμ⁡Aν{\displaystyle \operatorname {D} _{\mu }A^{\nu }}

albo „indeksowy” z użyciem przecinka lub średnika

A,μν,{\displaystyle A_{,\mu }^{\nu },}
A;μν.{\displaystyle A_{;\mu }^{\nu }.}

Transpozycja – przestawienie indeksów tego samego typu:

Mμν=Nνμ.{\displaystyle M^{\mu \nu }=N^{\nu \mu }.}

Działania na tensorach (cd.)

[edytuj |edytuj kod]
  • Przyrównywać do siebie można tylko tensory tego samego typu.
  • Mnożenie tensora przez skalar daje tensor tego samego typu.
  • Iloczyn zewnętrzny (iloczyn tensorowy) dwóch tensorów dowolnych typów daje tensor mający rząd równy sumie rzędów mnożonych tensorów.
  • Iloczyn wewnętrzny (kontrakcja) to połączenie działania mnożenia zewnętrznego dwóch tensorów i kontrakcja – daje tensor innego typu.
  • Pochodna kowariantna tensora daje tensor innego typu.
  • Łącząc działania różniczkowania i kontrakcji na różne sposoby można zdefiniować działaniadywergencji irotacji.

Definicje działań:

  • Gradient to pochodna kowariantna skalara.
  • Iloczyn skalarny to iloczyn wewnętrzny dwóch wektorów.
  • Transponowanie tensora odpowiedniego typu daje tensor tego samego typu.
  • Symetryzacja to dodawanie tensora do jego transpozycji.
  • Antysymetryzacja to odejmowanie tensora od jego transpozycji.
  • Obliczanie śladu to kontrakcja tensora mieszanego drugiego rzędu.

Twierdzenie o rozkładzie na sumy proste

[edytuj |edytuj kod]

Tw. Każda przestrzeń tensorowa jestsumą prostą przeliczalnej liczbyprzestrzeni liniowych.

Zastosowania

[edytuj |edytuj kod]

(1) W zastosowaniach inżynierskich zazwyczaj tensory są zdefiniowane nadeuklidesową przestrzenią wektorową położeń i rozpatruje się właściwości tensora podczas zmianukładu współrzędnych związanych zobrotami.

(2) Matematyka i fizyka wskazują na właściwości tensorów niezależne od układu współrzędnych, definiują specyficzne przekształcenia nad abstrakcyjnymiprzestrzeniami liniowymi, np. funkcyjnymi – wtedy tensory mają bardziej skomplikowaną naturę.

Tensory w fizyce

[edytuj |edytuj kod]

Spinory

[edytuj |edytuj kod]

Obok tensorów o całkowitym rzędzie rozważa sięspinory, których właściwości transformacyjne są bardziej złożone, jednak nadal określone poprawnie w ramach rachunku tensorowego. Spinory można uważać za tensory mające ułamkowy rząd. Np. 4-składnikowa funkcja falowafermionu Diraca poddana działaniu transformacji należącej dogrupy obrotów zmienia się tak, że można ją traktować jako tensor o ułamkowym rzędzie, np. w wypadku elektronu o rzędzie 1/2.

Zobacz też

[edytuj |edytuj kod]

Zagadnienia związane z pojęciem tensora

Przykłady tensorów

Uwagi

[edytuj |edytuj kod]
  1. ↑Wektora w sensie „szkolnym”. Walgebrze liniowej wektor to element dowolnejprzestrzeni liniowej, w tym sensie tensor jest szczególnym przypadkiem wektora.
  2. ↑Definicję tensora można nieco uogólnić, zastępując przestrzeń liniową nad ciałem modułem nad algebrą przemienną.
  3. ↑Niektórzy autorzy (np. W. Thirring) zamieniają miejscami indeksy w tym oznaczeniu.

Przypisy

[edytuj |edytuj kod]
  1. ↑Tensor, [w:]Encyklopedia PWN [online],Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-24] .
  2. ↑Raszewski 1958 ↓, s. 154, 155, 160.
  3. ↑Thirring 1985a ↓, s. 54.
  4. ↑abGórniewicz i Ingarden 2012 ↓, s. 401.
  5. ↑Musielak i Skrzypczak 2006 ↓, s. 93.
  6. ↑abMusielak i Skrzypczak 2006 ↓, s. 94.
  7. ↑abMusielak i Skrzypczak 2006 ↓, s. 95.
  8. ↑Thirring 1985b ↓, s. 21.
  9. ↑Thirring 1985a ↓, s. 6.
  10. ↑Musielak i Skrzypczak 2006 ↓, s. 99.

Bibliografia

[edytuj |edytuj kod]
  • L. Górniewicz, R.S. Ingarden: Analiza matematyczna dla fizyków. Wydawnictwo naukowe Uniwersytetu Mikołaja Kopernika, 2012.
  • J. Musielak, L. Skrzypczak: Analiza matematyczna. T. III. Cz. 2. Wydawnictwo Naukowe UAM, 2006.
  • P.K. Raszewski: Geometria Riemanna i analiza tensorowa. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1958.
  • W. Thirring: Fizyka matematyczna. T. 1: Klasyczne układy dynamiczne. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1985.
  • W. Thirring: Fizyka matematyczna. T. 2: Klasyczna teoria pola. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1985.

Linki zewnętrzne

[edytuj |edytuj kod]
Zobacz hasłotensor w Wikisłowniku
Algebry nad ciałamiliczbowymi
liczby hiperzespolone
inne konkretne zbiory
algebry Banacha
inneklasy algebr
twierdzenia
Formy naprzestrzeniach liniowych
forma liniowa
formy dwuliniowe
ipółtoraliniowe
iloczyny
skalarne
pojęcia podstawowe
ortogonalność
inne
formy kwadratowe
tensory
Kontrola autorytatywna (pojęcie geometryczne):
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Tensor&oldid=78009986”
Kategoria:
[8]ページ先頭
©2009-2026 Movatter.jp