Zwany pieszczotliwie „Nene” (dziecko), Cubillas rozpoczął karierę w klubieAlianza Lima w wieku 16 lat. Mając 21 lat pomógłreprezentacji Peru zakwalifikować się do ćwierćfinałuMŚ 1970 wMeksyku, gdzie zdobył 5 bramek. W1972 został wybrany piłkarzem roku w Ameryce Południowej. W tym samym roku wyjechał doSzwajcarii, przenosząc się doFC Basel. Nie mógł się zaaklimatyzować w tym kraju, więc skorzystał z ofertyportugalskiegoFC Porto, podpisując kontrakt na sumę 200 tys. dolarów.
Reprezentacja Peru nie zakwalifikowała się doMŚ 1974, jednak rok później zdobyła mistrzostwo Południowej Ameryki. Cubillas w półfinale strzelił dwa golereprezentacji Brazylii, dzięki czemu Peru zwyciężyło „canarinhos” 3:1. Podczasmundialu w 1978, głównie dzięki jego grze i 5 bramkom, Peru osiągnęło drugą fazę turnieju.
Po turnieju Cubillas powrócił do macierzystej Alianzy, lecz w1979 podpisał kontrakt z drużyną amerykańskiejNASL (poprzedniczkiMLS) –Fort Lauderdale Strikers. Przez pięć sezonów wNASL strzelił 65 bramek, w tym aż trzy w jedynie siedem minut gry przeciwkoLos Angeles Aztecs w1981. Pojechał z Peru naMistrzostwa Świata 1982, jednak był to najmniej udany mundial w jego karierze, bo drużyna narodowa nie wyszła z grupy. Po kilku miesiącach rozstał się z reprezentacją Peru, a niewiele później zakończył karierę.
Cubillas szczyci się największą liczbą strzelonych bramek wśród reprezentantów Peru podczasMistrzostw Świata – zdobył ich 10. Łącznie rozegrał 81 meczów dlareprezentacji, strzelając 26 goli.
Podjął decyzję o powrocie do futbolu, gdy w katastrofie lotniczej8 grudnia1987 u wybrzeży Limy zginęła większość piłkarzyAlianzy. Zagrał kilka meczów w hołdzie tragicznie zmarłym, jednocześnie dając nadzieję kibicom na odbudowę zespołu.