Za sprawą swojej rodziny Küng posiada równieżobywatelstwoLiechtensteinu – jego babcia pochodzi z tego kraju, a obywatelstwo to posiada także jego matka, w związku z czym otrzymały je również jej dzieci. W barwach Liechtensteinu startował wigrzyskach małych państw Europy, do których Szwajcaria się nie kwalifikuje[2].
Pierwszy międzynarodowy sukces w karierze Stefan Küng osiągnął w 2011 roku, kiedy zdobył złoty medal w madisonie podczas torowych mistrzostw Europy juniorów. W tym samym roku wystąpił w barwach gospodarzy naigrzyskach małych państw Europy w Liechtensteinie, zdobywając srebrne medale na szosie w wyścigu ze startu wspólnego i indywidualnej jeździe na czas. Na rozgrywanych dwa lata późniejtorowych mistrzostwach świata w Mińsku wywalczył brązowy medal w indywidualnym wyścigu na dochodzenie. W zawodach tych wyprzedzili go jedynieAustralijczykMichael Hepburn orazMartyn Irvine zIrlandii. Jest ponadto mistrzem Szwajcarii w omnium i indywidualnej jeździe na czas z 2011 roku. W 2014 roku wystąpił namistrzostwach świata w Cali, gdzie był drugi w indywidualnym wyścigu na dochodzenie, przegrywając tylko zAlexandrem Edmondsonem z Australii. Na tych samych mistrzostwach wspólnie zThérym Schirem zdobył brązowy medal w madisonie.