Sfera (zgr. σφαῖραsphaîra „kula, piłka”) – uogólnienie pojęciaokręgu na więcejwymiarów. Jest to zbiór wszystkichpunktów (miejsce geometryczne) wprzestrzeni metrycznej oddalonych o ustaloną odległość od wybranego punktu. Ustalona odległość nazywa siępromieniem sfery, wybrany punkt nazywa sięśrodkiem sfery. Zwykle przyjmuje się dodatkowo, że promień musi być dodatni[1]. Tak zdefiniowany zbiór jestbrzegiemkuli o tym samym środku i promieniu[2]. Zazwyczaj jako przestrzeń metryczną rozpatruje sięprzestrzeń euklidesową.
gdzie to współrzędneśrodka sfery, a wartość jest nazywanapromieniem sfery. Często dodatkowo zakłada się, że (sfera z zerowym promieniem to przypadek zdegenerowany, w którym nie wszystkie typowe własności są zachowane).
Parametry są odpowiedniodługością i szerokością geograficzną w odpowiednimukładzie współrzędnych sferycznych związanym ze środkiem sfery
W układzie współrzędnych sferycznych, równanie sfery o promieniu i środku znajdującym się w środku układu współrzędnych, przyjmuje postać dla dowolnych kątów
Pojęcie sfery może być zdefiniowane wprzestrzeni euklidesowej dowolnegowymiaru. Wówczas w przestrzeni-wymiarowej sfera może być opisana następującym wzorem:
gdzie to-tawspółrzędnapunktu na sferze, to-ta współrzędna jej środka, to promień sfery. W tym ujęciuokrąg jest szczególnym przypadkiem sfery w przestrzeni dwuwymiarowej, a zbiór dwóch punktów jest sferą w przestrzeni jednowymiarowej.
Sfera w przestrzeni-wymiarowej jest czasem nazywanasferą m-wymiarową i oznaczana gdzie ponieważ taka sfera jest powierzchnią-wymiarową. Dla przykładu, zwykłą sferę rozpatruje się w przestrzeni trójwymiarowej, ale ona jest zwykłą powierzchnią, czyli obiektem dwuwymiarowym; dlatego to sfera dwuwymiarowa, Jeżeli (tzn.), to taka uogólniona sfera jest nazywana teżhipersferą.
Uogólniona hipoteza Poincarégo (włącznie z potwierdzonym już przypadkiem 3-wymiarowym) stwierdza, że jest też odwrotnie – każda-wymiarowa rozmaitość bez brzegu, zwarta i mająca typ homotopijny-hipersfery jest homeomorficzna z-hipersferą.
