Artykuł należy uzupełnić oistotne informacje: historia, bardziej bezpośrednie odwołanie do funkcji kwadratowej (metoda graficzna), ogólniej o rezolwentach Lagrange’a (teraz połączone ze wzorami Viète’a), metody numeryczne (uwarunkowania), wprost o postaci monicznej (a = 1), pełniej o różnych ciałach (w tym charakterystyki 2 i rozszerzeniach; opisanie symbolu pierwiastka w ich kontekście). Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się wdyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon{{Dopracować}} z tego artykułu.
Ten artykuł dotyczy równań kwadratowych i ich rozwiązań. Zobacz też:funkcja kwadratowa, gdzie opisano wielomiany kwadratowe w szerszym kontekście.
Wzór na rozwiązania równania kwadratowego, gdzie i to współczynniki postaci ogólnej. Wyrażenie podpierwiastkiem jest znane jakowyróżnik równania kwadratowego, trójmianu kwadratowego lubfunkcji kwadratowej. Wyróżnik bywa oznaczany dużą grecką literądelta:
Równanie kwadratowe,równanie drugiego stopnia[1][2] – rodzajrównania, w którymniewiadoma występuje w drugiejpotędze i opcjonalnie też w pierwszej. Zazwyczaj równanie kwadratowe w domyśle ma jedną niewiadomą – wtedy zawsze sprowadza się do postaci[3]:
Założenie oznacza, że do równań kwadratowych nie zalicza sięrównań liniowych. Powyższe równanie nie jest jedynądefinicją równania kwadratowego o jednej niewiadomej – istnieją też definicjerównoważne, ponieważ wyrażenie po lewej zawsze da się przekształcić do innej postaci[4].
Niewiadoma i wielkości mogą byćliczbami rzeczywistymi lub elementami dowolnej innejstruktury, w której występujądodawanie imnożenie. W tym artykule opisano głównie równania kwadratowe o zmiennych rzeczywistych. Jest to standardowy element wykształcenia matematycznego na poziomieśrednim; przykładowo równania kwadratowe tego typu znalazły się wpodstawie programowej polskichliceów itechników, także w zakresie podstawowym[5]. Równania kwadratowe stosuje się między innymi wgeometrii, na przykładplanimetrii[6].
W opisie równań kwadratowych z jednąniewiadomą używa się kilkunastuterminów – nazwanychpojęć. Opisują one różne postacie i odmiany takich równań, a oprócz tego:
rozwiązanie równania to każda liczba, która po podstawieniu w miejsce i wykonaniu wszystkich działań daje równość. Inna nazwa rozwiązania topierwiastek[3];
jeśli istnieje tylko jedno rozwiązanie, to bywa znane jakopierwiastek podwójny[3].
Dla równania kwadratowego z jednąniewiadomąpostać ogólna to ta wspomniana wyżej[7]:
wyrażenie po lewej jest też znane jakotrójmian kwadratowy[8][7]; bliżej opisuje je artykuł ofunkcjach kwadratowych;
wielkości towspółczynniki[9][10], kolejno:kwadratowy,liniowy istały. Ten ostatni to inaczejwyraz wolny[11];
jeśli wszystkie współczynniki są niezerowe, tzn. także i to równanie kwadratowe nazywa sięzupełnym. W przeciwnym wypadku – czyli kiedy lub – równanie kwadratowe nazywa sięniezupełnym[7]. Ta druga nazwa opisuje dwa rodzaje równań:
Dla każdego trójmianu kwadratowego istnieje równoważnapostać kanoniczna[4], przez co mówi się też o postaci kanonicznej równania kwadratowego:
Dalsze sekcje opisują:
jak znajdować postać kanoniczną na podstawie tej ogólnej;
jak rozwiązywać równania w postaci kanonicznej.
Dla niektórych trójmianów kwadratowych – i przez to też równań kwadratowych – istniejepostać iloczynowa:
Liczby to rozwiązania – podstawione pod sprawiają, że lewa strona równości jest równa zeru[12].
W szczególności rozwiązania mogą być równe, tzn. może występować wspomniany wyżejpierwiastek podwójny: oznaczany też przez Wtedy postacią iloczynową równania jest[12]:
W tym wypadku postać iloczynowa pokrywa się z kanoniczną:
Wyrażenia i występujące w postaci iloczynowej są znane jakoczynniki liniowe[12].
Znajdowanie postaci iloczynowej to inaczejrozkład na czynniki liniowe[12][13].
Najłatwiej rozwiązać równanie kwadratowe bez wyrazu wolnego, czyli postaci:
Wystarczy skorzystać zrozdzielności mnożenia, czyli zamienić sumęiloczynów na jeden iloczyn:
Ta czynność bywa nazywana wyłączaniem wspólnego czynnika przed nawias. Następnie wystarczy skorzystać z faktu, że iloczyn może być zerowy tylko gdy któryś czynnik jest zerowy. Stąd dwa rozwiązania[14]:
Jeśli wszystkie wszystkie współczynniki równania kwadratowego sąnieujemne lub niedodatnie to równanie nie ma rozwiązań dodatnich[16].Twierdzenie odwrotne nie zachodzi – inne równania kwadratowe też mogą nie mieć rozwiązań dodatnich, na przykład[16]:
Jeśli współczynniki kwadratowy i wolny mają zgodne znaki a współczynnik liniowy ma znakprzeciwny to nie ma rozwiązań ujemnych[16]. Przykład to równanie podane wyżej:
Po podstawieniu pod liczby ujemnej wszystkie trzy człony (składniki) są dodatnie, więc ich suma nie może być zerowa[16].
Jeśli współczynniki kwadratowy i wolny mają przeciwne znaki to istnieje co najmniej jedno rozwiązanie dodatnie[16]. Przykłady to równania:
Istnieją pewne szczególne metody rozwiązywania równań o współczynnikachcałkowitych – równań, gdzie współczynniki postaci ogólnej są liczbami całkowitymi:
W takich przypadkach istnieje metoda wyznaczania rozwiązańwymiernych, czyliilorazów liczb całkowitych. Dokładniej:
Powyższe twierdzenie jest prawdziwe także dlawielomianów wyższych stopni.
Przykłady
Rozwiązaniami wymiernymi równania
mogą być tylko liczby należące do zbioru Podstawiając otrzymuje się wyraźnie dużą liczbę dodatnią po lewej stronie; podstawienie daje liczba podstawiona do równania daje po lewej stronie wartość liczba jest rozwiązaniem powyższego równania (drugim jest).
Jeśli współczynniki są innymiliczbami wymiernymi, to równanie można sprowadzić do postaci opisanej wyżej. Wystarczy pomnożyć je stronami przeznajmniejszą wspólną wielokrotność (NWW) mianowników tych współczynników. Uzyskane równanie jest równoważne, tj. ma jednakowy zbiór rozwiązań.
jest równa zeru, tzn. to wśród jego rozwiązań znajduje się liczba (por. przykład z powyższej sekcji). Jeżeli to liczba jest pierwiastkiem tego równania.
(piąta równość zachodzi na podstawiewzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów), to pierwiastkami tego wielomianu są wielkości
oraz
Wyrażenie
nazywa sięwyróżnikiem równania kwadratowego. W szczególności jeżeli to
Powyższe równości są prawdziwe w dziedziniezespolonej – w szczególności, gdy to
gdzie jestjednostką urojoną, a wyrażenie pod pierwiastkiem po prawej stronie jest dodatnią wielkością rzeczywistą. Wtedy też równanie ma dwasprzężone ze sobą rozwiązania zespolone, których część rzeczywista wynosi Jeżeli to rozwiązaniami są liczby rzeczywiste symetryczne względem Przypadki dla można podsumować zdaniem:średnia arytmetyczna pierwiastków wynosi (por.wzory Viète’a).
Równanie kwadratowe ma rozwiązanie w dziedzinierzeczywistej, o ile Dokładniej, jeśli:
to równanie ma dwa rozwiązania rzeczywiste (dwa pierwiastki rzeczywiste),
to równanie ma jedno rozwiązanie rzeczywiste (podwójny pierwiastek rzeczywisty),
Zwykle wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia nie jest możliwe, jednak czasami drobne przekształcenia równania pozwalają uprościć proces wyznaczania rozwiązania; szczególnie, jeśli wyłącznie wyraz wolny stanowi przeszkodę. Niech
będzie równaniem, którego rozwiązania są poszukiwane. Jeżeli
to wyjściowe równanie można przekształcić następująco:
skąd
a skorzystawszy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów otrzymuje się
co daje rozwiązania
oraz
Podobnie jak objaśniono towyżej, rozwiązanie rzeczywiste istnieje wyłącznie, gdy
równania kwadratowe zmodułem. W takich równaniach występują wartości bezwzględne z trójmianów kwadratowych, czyli wyrażenia postaci Mogą być przyrównane dostałej, do wyrażenia liniowego lub do trójmianu kwadratowego. Takich wyrażeń kwadratowych w module może być wiele – mogą być do siebiedodawane i od siebieodejmowane[20];
