Ten artykuł od 2018-03 wymagazweryfikowania podanych informacji.

Należy podać wiarygodne źródła w formieprzypisów bibliograficznych.
Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte.
Sprawdź w źródłach:Encyklopedia PWN •Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych •BazHum •BazTech •RCIN • Internet Archive (texts /inlibrary)
Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon{{Dopracować}} z tego artykułu.

Równania Hamiltona,kanoniczne równania ruchu – jedna z alternatywnych postaci zapisurównań ruchu, obok równań ruchumechaniki Newtona orazrównań Eulera-Lagrange’a mechaniki wujęciu Lagrange’a. Równania te wyrażają pochodnewspółrzędnych uogólnionych i pędów uogólnionychukładu fizycznego po czasie przy pomocyfunkcji Hamiltona układu^[1].

Równania Hamiltona –układ równań opisujących zmiany w czasiewspółrzędnych uogólnionych i pędów uogólnionychukładu fizycznego wyrażonych przy pomocyfunkcji Hamiltona

${\displaystyle \{\begin{array}{c}{\dot{p}}_i=-\frac{\mathrm{\partial }H}{\mathrm{\partial }{q}_i}\\ {\dot{q}}_i=\frac{\mathrm{\partial }H}{\mathrm{\partial }{p}_i}\end{array}i=1,\dots ,s}$

gdzie:

${\displaystyle p_i}$ –${\displaystyle i}$-ty pęd uogólniony,

${\displaystyle q_i}$ –${\displaystyle i}$-ta współrzędna uogólniona,

${\displaystyle s}$ – liczba stopni swobody układu,

${\displaystyle H=H(p_1,\dots ,p_s,q_1,\dots ,q_s,t)}$ – funkcja Hamiltona układu.

Równania Hamiltona stanowią układ${\displaystyle 2s}$równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu.

Przy zapisie z użyciemnawiasów Poissona układ ten wygląda bardziej symetrycznie

${\displaystyle \{\begin{array}{c}{\dot{p}}_i=\{p_i,H\}\\ {\dot{q}}_i=\{q_i,H\}\end{array}i=1,\dots ,s}$

Rozwiązanie równań Hamiltona przy zadanych warunkach początkowych${\displaystyle \{p_1(0),\dots ,p_s(0),q_1(0),\dots ,q_s(0)\}}$(lub brzegowych) daje zależności czasowe położeń${\displaystyle \{q_1(t),\dots ,q_s(t)\}}$ i pędów uogólnionych${\displaystyle \{p_1(t),\dots ,p_s(t)\}}$ od czasu. Punkt${\displaystyle \{p_1(t),\dots ,p_s(t),q_1(t),\dots ,q_s(t)\}}$ kreśli w przestrzeni fazowejtrajektorią układu.

Jeżeli układ fizyczny znajduje się w polu oddziaływań o potencjale skalarnym, np. ciecz porusza się w polu grawitacyjnym, to pęd cząstek układu jest proporcjonalny do ich prędkości${\displaystyle {\dot{p}}_i=m_i{\dot{q}}_i.}$ Ponadto jeżeli równania ruchu cząstek cieczy są równaniami Hamiltona, to ciecz ta jestnieściśliwa, tzn. jej super-prędkość${\displaystyle (\dot{\mathit{q}}(\mathit{q},\mathit{p}),\dot{\mathit{p}}(\mathit{q},\mathit{p}))}$ ma znikającądywergencję

${\displaystyle \mathrm{\nabla }\cdot (\dot{\mathit{q}},\dot{\mathit{p}})=0,}$

gdzie:

${\displaystyle \mathrm{\nabla }\cdot (\dot{\mathit{q}},\dot{\mathit{p}})=\sum _i\left(\frac{\mathrm{\partial }\dot{q_i}}{\mathrm{\partial }{q}_i}+\frac{\mathrm{\partial }\dot{p_i}}{\mathrm{\partial }{p}_i}\right).}$

Zakładając, na wzór elektrodynamiki, istnienie skalarnegopotencjału „wektorowego”${\displaystyle H,}$ którego odpowiednikrotacji, jak permutacja gradientu zsygnaturą (jeden z wektorów prostopadłych do wektora całkowitegogradientu Hamiltonianu), zagwarantuje znikanie dywergencji podobnie jak w 3 wymiarach dla pól elektromagnetycznych, tzn. takiego, że

${\displaystyle {\dot{p}}_i=-\frac{\mathrm{\partial }H}{\mathrm{\partial }{q}_i},}$

${\displaystyle {\dot{q}}_i=\frac{\mathrm{\partial }H}{\mathrm{\partial }{p}_i}.}$

otrzymujemy ztwierdzenia Schwartza o przemienności pochodnych cząstkowych

${\displaystyle \mathrm{\nabla }\cdot (\dot{\mathit{q}},\dot{\mathit{p}})=\sum _i\left(\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}H}{\mathrm{\partial }{q}_i\mathrm{\partial }{p}_i}-\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}H}{\mathrm{\partial }{p}_i\mathrm{\partial }{q}_i}\right)=0.}$

Jak widać, także

${\displaystyle \mathrm{\nabla }H\cdot \mathrm{\nabla ̸}H=\sum _i\left(\frac{\mathrm{\partial }H}{\mathrm{\partial }{q}_i}\frac{\mathrm{\partial }H}{\mathrm{\partial }{p}_i}-\frac{\mathrm{\partial }H}{\mathrm{\partial }{p}_i}\frac{\mathrm{\partial }H}{\mathrm{\partial }{q}_i}\right)=0.}$

jeśli zapiszemy równania Hamiltona symbolicznie w sposób skrócony:

${\displaystyle (\dot{\mathit{q}},\dot{\mathit{p}})=\mathrm{\nabla ̸}H,}$

${\displaystyle \dot{x}=\frac{\mathrm{\partial }H}{\mathrm{\partial }p}=p.}$

Różniczkując drugie równanie po czasie i wstawiając do niego pierwsze, otrzymujemy równanie Newtona:

${\displaystyle \ddot{x}=-x.}$

Rozwiązaniem specjalnym tego równania jest funkcja

${\displaystyle x(t)={\mathrm{e}}^{\lambda t},}$

przy czym${\displaystyle {\lambda }^2=-1}$ lub równoważnie${\displaystyle \lambda =\pm \mathrm{i}.}$

Rozwiązanie musi być funkcją rzeczywistą – stąd${\displaystyle x(t)}$ w ogólnym przypadku ma postać:

${\displaystyle x(t)=x(0)\cos t+C\sin t.}$

Na podstawie pierwszego równania widać, że całkując powyższe równanie, otrzymamy pęd:

${\displaystyle p(t)={\int }_0^{t}x(t)\mathrm{d}t=-x(0)\sin t+C\cos t=-x(0)\sin t+p(0)\cos t.}$

Z powyższych rozwiązań otrzymamy

${\displaystyle p(t{)}^2+x(t{)}^2=x(0{)}^2+p(0{)}^2=const.}$

Wynik ten przedstawiarównanie parametryczne okręgu. Oznacza to, że punktu${\displaystyle [x(t),p(t)]}$ porusza się wprzestrzeni fazowej po okręgu z częstością równą częstości oscylatora.

Jeśli rozważymy zbiór wielu punktów o różnych warunkach początkowych${\displaystyle x(0),p(0)}$ odpowiadający cieczy składającej się z cząstek wypełniających przestrzeń fazową z pewną gęstością początkowa i skoncentrujemy na jednym z nich, to ponieważ wszystkie punkty poruszają z taką sama częstością kołowa, to gęstość cieczy pozostanie stała mino jej ruchu. Oznacza to, że ciecz jest nieściśliwą.

W przypadku oscylatora harmonicznego własność ta oznacza, że tzw.funkcja Wignera (która wyraża gęstość pędu i położenia stanu kwantowego) jedynie się obraca, zachowując w czasie ten sam kształt.

• Mechanika analityczna
• Fizyka matematyczna
• Równania w fizyce
• William Rowan Hamilton

• Artykuły wymagające uzupełnienia źródeł od 2018-03