Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Przejdź do zawartości
Wikipediawolna encyklopedia
Szukaj

Przestrzeń unitarna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Ten artykuł dotyczy uogólnienia iloczynu skalarnego na abstrakcyjne przestrzenie liniowe. Zobacz też: standardowyiloczyn skalarny wprzestrzeniach euklidesowych.

Przestrzeń unitarna (prehilbertowska) –przestrzeń liniowa (wektorowa), w której zdefiniowano dodatkowoiloczyn skalarny. Iloczyn skalarny jest tu uogólnieniemiloczynu skalarnego zdefiniowanego dla przestrzeni rzeczywistych.

Przestrzenie unitarne można traktować jako naturalne odpowiednikiprzestrzeni euklidesowych, w których możliwe jest zdefiniowanie wielkości geometrycznych (bądź ich uogólnienie), takich jak:

Przestrzenie unitarne, które są ponadtozupełne ze względu nametrykę generowaną przez normę (zależną od iloczynu skalarnego) nazywa sięprzestrzeniami Hilberta. Przestrzenie te są studiowane wanalizie funkcjonalnej. W związku z tym dowolne przestrzenie unitarne – niekoniecznie zupełne – nazywane są czasemprehilbertowskimi.

Definicja iloczynu skalarnego

[edytuj |edytuj kod]

Niech[1]:

(1)V{\displaystyle V} jestprzestrzenią liniową nadciałemK{\displaystyle \mathbb {K} } liczbrzeczywistych lubzespolonych (K=R{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} } lubK=C{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }).

(2)⟨⋅|⋅⟩:V×V→K{\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle :V\times V\to \mathbb {K} } jestfunkcjonałem naV,{\displaystyle V,} takim że dowolnym wektoromx,y∈V{\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V} przyporządkowuje liczbę⟨x|y⟩∈K.{\displaystyle \langle \mathbf {x} |\mathbf {y} \rangle \in \mathbb {K} .}

Definicja:

Funkcję⟨⋅|⋅⟩:V×V→K{\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle :V\times V\to \mathbb {K} } nazywa sięiloczynem skalarnym (iloczynem wewnętrznym), jeżeli dla dowolnych wektorówx,y{\displaystyle \mathbf {x} ,\,\mathbf {y} } spełnia następujące warunki:

gdzie
⟨y|x⟩¯{\displaystyle {\overline {\langle \mathbf {y} |\,\mathbf {x} \rangle }}} –sprzężenie zespolone liczby⟨y|x⟩,{\displaystyle \langle \mathbf {y} |\,\mathbf {x} \rangle ,}
gdzieα{\displaystyle \alpha } – dowolna liczba z ciałaK,{\displaystyle \mathbb {K} ,}
  • warunek niezdegenerowania, tj.
jeśli⟨x|x⟩=0,{\displaystyle \langle \mathbf {x} |\mathbf {x} \rangle =0,} tox=0,{\displaystyle \mathbf {x} =0,}
  • warunek dodatniej określoności, tj.
⟨x|x⟩⩾0.{\displaystyle \langle \mathbf {x} |\mathbf {x} \rangle \geqslant 0.}

Iloczyn skalarny na przestrzeni unitarnej posiada także własnośćantyliniowości względem drugiej zmiennej[2].

Definicja przestrzeni unitarnej

[edytuj |edytuj kod]

Przestrzenią unitarną nazywa się parę: przestrzeń liniowąV{\displaystyle V} wraz ze zdefiniowanym na niej iloczynem skalarnym⟨⋅|⋅⟩{\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle } wektorów.

Własności

[edytuj |edytuj kod]

(1) Iloczyn skalarny wyżej zdefiniowany jestpółtoraliniowy, tzn.liniowy ze względu na jeden iantyliniowy ze względu na drugi argument. Wybór, który z argumentów jest liniowy, a który antyliniowy jest całkowicie dowolny i stosuje się obie możliwości:

  • matematycy zwykle przyjmują antyliniowość ze względu na drugi argument.
  • fizycy zwykle przyjmują antyliniowość ze względu na pierwszy argument, co ułatwia stosowanienotacji Diraca wmechanice kwantowej (wyciąga się skalary z ketów, które reprezentują wektory; w konsekwencji trzeba sprzęgać w sposób zespolony skalary przy wyciąganiu z bra, które reprezentują funkcjonały liniowe); konwencję okazjonalnie stosują też matematycy.

(2) Iloczyn skalarny na przestrzeni rzeczywistej

Jeżeli iloczyn skalarny jest definiowany na przestrzeni rzeczywistej, to warunek sprzężonej symetrii sprowadza się do warunku zwykłej symetrii, gdyż sprzężenie zespolone liczby rzeczywistej jest równe jej samej. Wtedy iloczyn skalarny jest dwuliniowy. Dlatego iloczyn skalarny można wtedy definiować jako dodatnio określony funkcjonał dwuliniowy.

(3) Niezbędne jest ograniczenie ciała funkcjonału doR{\displaystyle \mathbb {R} } orazC,{\displaystyle \mathbb {C} ,} gdyż np.

(4) Rozważa się także przestrzenie liniowe z funkcjonałami spełniającymi powyższe postulaty z pominięciem postulatu dodatniej określoności. Więcej na ten temat jest w dalszej części artykułu.

(5) Odwzorowanie zV{\displaystyle V} wprzestrzeń dualnąV∗{\displaystyle V^{*}} dane wzorem

x↦⟨x|⋅⟩{\displaystyle \mathbf {x} \mapsto \langle \mathbf {x} |\cdot \rangle }

jestizomorfizmem. Odwzorowanie to oznacza, że wektorowix{\displaystyle \mathbf {x} } przypisuje się funkcjonał, który działając na dowolny wektor, przypisuje mu wartość iloczynu skalarnego z wektoremx.{\displaystyle \mathbf {x} .} Izomorfizm oznacza, że przyporządkowanie to jestwzajemnie jednoznaczne.

Dowód: Bezpośrednio z liniowości ze względu na pierwszą zmienną wynika, że jest to homomorfizm przestrzeni liniowych. Łatwo sprawdza się, że odwzorowanie to jest równieżiniektywne:

⟨x|y⟩=0{\displaystyle \langle \mathbf {x} |\mathbf {y} \rangle =0} dla każdegoy∈V{\displaystyle \mathbf {y} \in V} wtedy i tylko wtedy, gdyx=0.{\displaystyle \mathbf {x} =0.}

W skończeniewymiarowych przestrzeniach liniowych warunek ten jestwystarczający do stwierdzenia, iż jest to izomorfizm.

Konwencje oznaczeń

[edytuj |edytuj kod]

(1) Niektórzy autorzy stosują konwencję:

⟨⋅,⋅⟩{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } oznacza liniowość ze względu na pierwszy argument,
⟨⋅|⋅⟩{\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle } oznacza liniowość ze względu na drugi argument,

– ale nie jest to regułą (np. Emch [1972] się do niej nie stosuje).

(2) Istnieją również inne symbole iloczynu skalarnego:

⟨x,y⟩,(x,y),(x|y){\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle ,\;(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ),\;(\mathbf {x} |\mathbf {y} )}

lub po prostu

x⋅y,{\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} ,}

który jest oznaczeniemstandardowego iloczynu skalarnego w przestrzeniach euklidesowych.

Norma i metryka a iloczyn skalarny

[edytuj |edytuj kod]

Norma generowana przez iloczyn skalarny

[edytuj |edytuj kod]

Definicja normy

Iloczyn skalarny pozwala określićnormę wektora, czyli jego długość, jako pierwiastek z iloczynu skalarnego wektora z samym sobą

‖x‖=⟨x|x⟩.{\displaystyle \|\mathbf {x} \|={\sqrt {\langle \mathbf {x} |\mathbf {x} \rangle }}.}

Można sprawdzić, że powyższa definicja spełnia aksjomatynormy.

Mówimy, że iloczyn skalarnygeneruje normę. Z tego też względu każda przestrzeń unitarna jest takżeunormowana.

Tw. Tak otrzymana norma spełniatożsamość równoległoboku:

2‖x‖2+2‖y‖2=‖x+y‖2+‖x−y‖2.{\displaystyle 2\|\mathbf {x} \|^{2}+2\|\mathbf {y} \|^{2}=\|\mathbf {x} +\mathbf {y} \|^{2}+\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|^{2}.}

Metryka generowana przez normę

[edytuj |edytuj kod]

Funkcja określona dla dowolnych

d(x,y)=‖x−y‖{\displaystyle d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|}

jestmetryką. Mówimy wtedy, że metryka jest generowana przez normę.

Kąt między wektorami

Korzystając z powyższej definicji normy, możemy zdefiniowaćkąt między wektoramix{\displaystyle \mathbf {x} } orazy{\displaystyle \mathbf {y} } jako:

∡(x,y):={arccos⁡(⟨x|y⟩‖x‖⋅‖y‖)dla x≠0∧y≠0,0dla x=0 ∨y=0.{\displaystyle \measuredangle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} ):={\begin{cases}\arccos \left({\tfrac {\langle \mathbf {x} |\mathbf {y} \rangle }{\|\mathbf {x} \|\cdot \|\mathbf {y} \|}}\right)&{\text{dla }}\mathbf {x} \neq \mathbf {0} \land \mathbf {y} \neq \mathbf {0} ,\\0&{\text{dla }}\mathbf {x} =\mathbf {0} \ \lor \mathbf {y} =\mathbf {0} .\end{cases}}}

Iloczyn skalarny generowany przez normę

[edytuj |edytuj kod]

W każdej przestrzeni unormowanej, w której norma spełnia tożsamość równoległoboku można wprowadzić iloczyn skalarny wzorem

x⋅y=12(‖x+y‖2−‖x‖2−‖y‖2).{\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} ={\frac {1}{2}}(\|\mathbf {x} +\mathbf {y} \|^{2}-\|\mathbf {x} \|^{2}-\|\mathbf {y} \|^{2}).}

Wzór ten jest słuszny tylko dla przestrzeni rzeczywistych.

Przestrzeń współrzędnych zespolonych

[edytuj |edytuj kod]

Wn{\displaystyle n}-wymiarowejprzestrzeni współrzędnych zespolonych wprowadza się strukturę przestrzeni unitarnej.

(1)Iloczyn skalarny dany jest wzorem

⟨x|y⟩=∑i=1nxiyi¯=x1y1¯+x2y2¯+…+xnyn¯,{\displaystyle \langle \mathbf {x} |\mathbf {y} \rangle =\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\overline {y_{i}}}=x_{1}{\overline {y_{1}}}+x_{2}{\overline {y_{2}}}+\ldots +x_{n}{\overline {y_{n}}},}

gdziey¯{\displaystyle {\overline {\mathrm {y} }}} oznaczasprzężenie zespolone liczbyy.{\displaystyle \mathrm {y} .}

(2)Norma wyznaczona przez ten iloczyn zdefiniowana jest naturalnie jako

‖x‖=⟨x|x⟩.{\displaystyle \|\mathbf {x} \|={\sqrt {\langle \mathbf {x} |\mathbf {x} \rangle }}.}

(3)Metryka (odległość punktów w przestrzeni) ma także naturalną postać

de(x,y)=‖x−y‖=∑i=1n(xi−yi)(xi¯−yi¯).{\displaystyle d_{e}(\mathrm {x} ,\mathrm {y} )=\|\mathrm {x} -\mathrm {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})({\overline {x_{i}}}-{\overline {y_{i}}})}}.}

Ze względu naalgebraiczną domkniętość ciałaC{\displaystyle \mathbb {C} } pewne aspekty teorii takich przestrzeni okazują się prostsze i bardziej spójne niż dlaprzestrzeni euklidesowych.

Przykłady przestrzeni unitarnych

[edytuj |edytuj kod]

(1) W przestrzeni liczb rzeczywistychR{\displaystyle \mathbb {R} }iloczyn skalarny definiuje się wzorem

⟨x|y⟩=xy.{\displaystyle \langle x|y\rangle =x\,y.}

PrzestrzeńR{\displaystyle \mathbb {R} } jest trywialną (najprostszą) przestrzenią unitarną.

(2) Wprzestrzeni euklidesowejRn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} dlax=(x1,…,xn){\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})} orazy=(y1,…,yn){\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},\dots ,y_{n})} iloczyn skalarny definiuje się wzorem

⟨x|y⟩=x1y1+…+xnyn.{\displaystyle \langle \mathbf {x} |\mathbf {y} \rangle =x_{1}y_{1}+\ldots +x_{n}y_{n}.}

PrzestrzeńRn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} z iloczynem skalarnym jest przestrzenią unitarną.

(3) W przestrzeni funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej,całkowalnych z kwadratem na pewnymprzedzialeI{\displaystyle I} iloczyn skalarny danym jest wzorem

⟨f|g⟩=∫If(x)g(x)dx.{\displaystyle \langle f|g\rangle =\int \limits _{I}f(x)g(x)dx.}

Przestrzeń funkcji z iloczynem skalarnym jest przestrzenią unitarną.

(4) W przestrzenifunkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej,całkowalnych z kwadratem na pewnymprzedzialeI{\displaystyle I} iloczyn skalarny danym jest wzorem

⟨f|g⟩=∫If∗(x)g(x)dx.{\displaystyle \langle f|g\rangle =\int \limits _{I}f^{*}(x)g(x)dx.}

gdzief∗(x){\displaystyle f^{*}(x)} – sprzężenie zespolone liczbyf(x).{\displaystyle f(x).}

Nierówność Schwarza

[edytuj |edytuj kod]
 Osobny artykuł:Nierówność Cauchy’ego-Schwarza.

Dla dowolnych wektorówx{\displaystyle \mathbf {x} } iy{\displaystyle \mathbf {y} } spełniona jest nierówność

|⟨x|y⟩|2⩽⟨x|x⟩⟨y|y⟩.{\displaystyle |\langle \mathbf {x} |\mathbf {y} \rangle |^{2}\leqslant \langle \mathbf {x} |\mathbf {x} \rangle \langle \mathbf {y} |\mathbf {y} \rangle .}

Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdyx{\displaystyle \mathbf {x} } iy{\displaystyle \mathbf {y} } sąliniowo zależne.

Ortogonalność wektorów

[edytuj |edytuj kod]
 Osobne artykuły:ortogonalność, baza ortonormalna i ortogonalizacja Grama-Schmidta.

(1)Definicja: Wektoryx{\displaystyle x} iy{\displaystyle y} nazywamyortogonalnymi, gdy zeruje się ich iloczyn skalarny, tj.

⟨x|y⟩=0.{\displaystyle \langle \mathbf {x} |\mathbf {y} \rangle =0.}

(2) Jeżeli wektoryx{\displaystyle x} iy{\displaystyle y} są ortogonalne, to oznacza się to symbolemx⊥y.{\displaystyle x\perp y.}

(3) Ortogonalność jest uogólnieniem geometrycznego pojęciaprostopadłości wprzestrzeniach kartezjańskich.

(4)cosinus kąta zawartego między dwoma wektorami ortogonalnymi jest równy zero.

(5) Jeżeli układ niezerowych wektorówu1,…,uk∈V{\displaystyle \mathbf {u} _{1},\dots ,\mathbf {u} _{k}\in V} spełnia warunek⟨ui|uj⟩=0{\displaystyle \langle \mathbf {u} _{i}|\mathbf {u} _{j}\rangle =0} dlai,j=1,…,ki≠j,{\displaystyle i,j=1,\dots ,k\;i\neq j,} to nazywamy goukładem ortogonalnym.

(6)Tw. Każdy układ ortogonalny jestliniowo niezależny.

(7) Jeżeli układ ortogonalny jestbazą przestrzeniV,{\displaystyle V,} wtedy mówimy obazie ortogonalnej.

(8)Tw. Z każdej bazy przestrzeni unitarnej można otrzymać bazę ortogonalną.

Proces tworzenia bazy ortogonalnej z dowolnej bazy nazywa sięortogonalizacją. Najczęściej stosowana jest metodaortogonalizacji Grama-Schmidta.

Zdegenerowane iloczyny skalarne

[edytuj |edytuj kod]

JeżeliV{\displaystyle V} jest przestrzenią liniową, a⟨⋅,⋅⟩{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } półokreślonym funkcjonałem półtoraliniowym, to funkcja

‖x‖ =⟨x,x⟩12{\displaystyle \|\mathbf {x} \|\ =\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle ^{\tfrac {1}{2}}}

spełnia wszystkie własności normy poza warunkiem

‖x‖ =0⟹x=0.{\displaystyle \|\mathbf {x} \|\ =0\implies \mathbf {x} =\mathbf {0} .}

Takiefunkcjonały nazywane sąpółnormami.

Przestrzeń unitarna może być określona przez rozważenie ilorazuW=V/{x:‖x‖=0}.{\displaystyle W=V/\{\mathbf {x} \colon \|\mathbf {x} \|=0\}.} Funkcjonał półtoraliniowy⟨⋅,⋅⟩{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } faktoryzuje się przezW.{\displaystyle W.}

Ta konstrukcja znalazła zastosowanie w wielu miejscach.Konstrukcja Gelfanda-Najmarka-Segala jest szczególnie ważnym przykładem tej techniki, inną jest reprezentacjapółokreślonych jąder na dowolnych zbiorach.

Motywacja. Formy hermitowskie

[edytuj |edytuj kod]

W rozdziale tym uzasadnimy, dlaczego definicja iloczynu skalarnego dla przestrzeni liniowych zespolonych jest inna niż dla przestrzeni rzeczywistych.

Mianowicie: ważne w zastosowaniachoperatory liniowe określone nadciałem liczb zespolonych tworzą przestrzeń liniową. Aby z przestrzeni tej uczynić przestrzeń o subtelniejszej strukturze (tj. przestrzeń unitarną, unormowaną, metryczną), nie można postąpić tak jak w przestrzeniach liniowych nad ciałem liczb rzeczywistych, tj. definiować iloczyn skalarny w postaciformy dwuliniowejB(x,y),{\displaystyle B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ),} gdyż odpowiadająca jejforma kwadratowa‖x‖2=B(x,x){\displaystyle \|\mathbf {x} \|^{2}=B(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )} miałyby własność

‖ix‖2=B(ix,ix)=i2B(x,x)=−‖x‖2{\displaystyle \|i\mathbf {x} \|^{2}=B(i\mathbf {x} ,i\mathbf {x} )=i^{2}B(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=-\|\mathbf {x} \|^{2}}

– jeden z wektorówx{\displaystyle \mathbf {x} } luby=ix{\displaystyle \mathbf {y} =i\mathbf {x} } miałby długość ujemną. Dlatego wprowadzono definicjęfunkcjonału półtoraliniowegoφ,{\displaystyle \varphi ,} który jestliniowy ze względu na jedną ze współrzędnych, aleantyliniowy ze względu na drugą, tzn. przykładowo:

φ(⋅,y){\displaystyle \varphi (\cdot ,\mathbf {y} )} jest liniowe dla dowolnegoy∈V,{\displaystyle \mathbf {y} \in V,}
φ(x,⋅){\displaystyle \varphi (\mathbf {x} ,\cdot )} jest antyliniowe dla dowolnegox∈V.{\displaystyle \mathbf {x} \in V.}

Formę półtoraliniowąh{\displaystyle h} nazywa sięhermitowską, jeśli dla dowolnychx,y∈V{\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V} spełnia ona równość

h(y,x)=h(x,y)¯.{\displaystyle h(\mathbf {y} ,\mathbf {x} )={\overline {h(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )}}.}

Zobacz też

[edytuj |edytuj kod]

Przestrzenie

Inne

Przypisy

[edytuj |edytuj kod]
  1. ↑przestrzeń unitarna, [w:]Encyklopedia PWN [online],Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-21] .
  2. ↑abc§ 1. Podstawowe pojęcia. - 1. Iloczyn skalarny i wyznaczona przezeń norma., [w:]Skrypt prof. H. Toruńczyka do Geometrii z Algebrą Liniową: V - Przestrzenie z iloczynem skalarnym, www.mimuw.edu.pl, 2012, V-3 [dostęp 2023-10-31] .

Bibliografia

[edytuj |edytuj kod]
  • S. Axler,Linear Algebra Done Right, Springer, 2004.
  • G. Emch,Algebraic Methods in Statistical Mechanics and Quantum Field Theory, Wiley Interscience, 1972.
  • N. Young,An Introduction to Hilbert Spaces,Cambridge University Press, 1988.
Formy naprzestrzeniach liniowych
forma liniowa
formy dwuliniowe
ipółtoraliniowe
iloczyny
skalarne
pojęcia podstawowe
ortogonalność
inne
formy kwadratowe
tensory
Struktury naprzestrzeniach liniowych
przestrzeniedwuliniowe ipółtoraliniowe
przestrzenie unormowane
przestrzenie liniowo-topologiczne
algebry nad ciałem
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Przestrzeń_unitarna&oldid=73174279”
Kategorie:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp