Linia prosta lubprosta – jedno z podstawowych pojęćgeometrii, szczególny przypadek nieograniczonej z obydwu stronkrzywej o nieskończonympromieniu krzywizny w każdym punkcie[1].
Prosta (geodezyjna) to nieposiadająca zakończeń krzywa o jednej gałęzi i zerowejkrzywiźnie geodezyjnej w każdym punkcie (czyli zerowejpochodnej kowariantnej dla kierunku tej krzywej w każdym punkcie)[6].
W pewnym więc sensie proste w dowolnych przestrzeniach nadal są liniami niezakrzywionymi.
Prosta, półprosta i odcinek. Oczywiście dla prostej i półprostej widać tylko fragment mieszczący się na rysunku. Wypełnione kółeczka (tzw.nulki) symbolizują punkty na końcach odcinka i na początku półprostej, które także do odcinka i półprostej należą.
Linia prosta w sensie potocznym różni się od tego, co pod tym pojęciem określa się w matematyce. Potocznie „prosta” oznacza „niezakrzywiona”. W geometrii euklidesowej „prosta” albo „linia prosta”, oprócz tego, że nie jest zakrzywiona, musi rozciągać się nieograniczenie w obydwie strony i mieć zerową „grubość”.
Jeśli niezakrzywiona linia o zerowej grubości rozciąga się nieograniczenie tylko w jedną stronę, a z drugiej strony ma zakończenie, to jest nazywana „półprostą”. Jeśli posiada zakończenia z obydwu stron, to nazywana jest „odcinkiem”.
Nazwa geometrii euklidesowej pochodzi od greckiego matematykaEuklidesa, który wIII w. p.n.e. w swoim dzieleElementy po raz pierwszy zebrał i systematycznie udowodnił większość znanych podówczas twierdzeń geometrycznych.
Euklides w Elementach podał 23 definicje różnych pojęć geometrycznych w tym punktu, linii (krzywej), prostej,kąta. Prostą definiował tak:
linia jest prosta, jeśli jest położona między swoimi punktami w równym i jednostajnym kierunku[8].
Definicja ta z punktu widzenia dzisiejszej matematyki pasuje raczej do odcinka niż do prostej, gdyż ta nie leży „między swoimi punktami”, lecz jest nieograniczona. Euklides odróżniał jednak proste od odcinków, pisząc o „liniach przedłużanych w nieskończoność”, np.
„Linie równoległe są to proste, które leżą na tej samej płaszczyźnie i przedłużone z obu stron w nieskończoność, z żadnej strony nie przetną się”[9].
Było to spowodowane próbą ominięcia trudności związanych znieskończonością aktualną (prosta jako całość jest „nieskończona”) poprzez wyrażenie jej jako nieskończoność potencjalną (możliwość nieograniczonego przedłużania odcinka).
W starożytnej Grecji nie rozważano pojęcia nieskończoności, nastąpiło to dopiero w 1638, gdyGalileusz w swojej pracy „Discorsi” opisał linię jako składającą się z nieskończenie wielu punktów[10].
Prosta jest częścią wspólną dowolnych dwóch nierównoległych płaszczyzn leżących w tej samejprzestrzeni trójwymiarowej.
Prosta jest jednowymiarowąpodprzestrzenią afiniczną płaszczyzny dwuwymiarowej (i ogólniej, każdejn-wymiarowej kartezjańskiej przestrzeni współrzędnych).
Jeśli dany jest punkt i niezerowy wektor to prostą generowaną przez wektor i przechodzącą przez punkt nazywamy zbiór punktów dla których istnieje liczba rzeczywista taka, że
Wektor nazywamywektorem kierunkowym prostej.
Najmniejszą[12] podprzestrzenią afiniczną zawierającą dwa różne punkty jest prosta, która przez nie przechodzi. Prostą tę oznaczamy
Prostą można określić jako zbiór punktów spełniających pewnerównanie liniowe. Równanie to można zapisać w różny sposób. Kilka typowych zapisów podano poniżej.
W przestrzeni kartezjańskiejdwuwymiarowej każda prosta może być zdefiniowana w następujący sposób:
Dla pewnychliczb rzeczywistych przy czym i nie są jednocześnie równe zeru, prosta to zbiór punktów, których współrzędne spełniają zależność[13]:
Równanie to nazywamyrównaniem ogólnym prostej.Wektor o współrzędnych jestwektorem kierunkowym prostej. Jest on do tej prostejrównoległy. Wektor jestprostopadły do prostej.Jeśli to prosta jest równoległa do osi jeśli – do osi jeśli przechodzi przez początek układu współrzędnych[13].
Współczynniki i nie mogą równocześnie być równe zeru, gdyż wtedy równanie nie opisuje prostej, lecz dla całą płaszczyznę, a dlazbiór pusty (nie ma rozwiązań).
Jedna prosta może mieć wiele różnych równań ogólnych, odpowiadających różnym równoległym wektorom kierunkowym. Współczynniki tych równań spełniają wtedy zależność:
lub jeśli któryś z mianowników jest zerem, odpowiadający mu licznik także jest zerem.
Parametry równania normalnego prostej. Na niebiesko zaznaczony znormalizowany wektor kierunkowy (długości 1)
Równanie ogólne można unormować, dzieląc współczynniki i przez długość (normę) wektora kierunkowego i wybierając arbitralnie jeden z dwóch możliwychzwrotów tego wektora, np. tak jak poniżej[14]:
gdzie to tzw.czynnik normujący:
dla
lub
dla
Dla można przyjąć dowolny znak.
Otrzymujemy w ten sposób tzw.równanie normalne, czyli równanie prostej położonej pod kątem do osi i odległej o od środka układu współrzędnych:
przy czym
Równanie normalne jednoznacznie identyfikuje prostą nie przechodzącą przez początek układu współrzędnych. Dla prostej przechodzącej przez początek układu wciąż możliwe są dwa różne równania normalne różniące się znakiem i ( jest wtedy zerem). Ponadto dla równania normalnego upraszczają się podane dalej wzory dotyczące kąta między dwiema prostymi.
Trzy równania w postaci kierunkowej i odpowiadające im proste. Proste czerwona i niebieska mają ten sam współczynnik kierunkowy, a proste czerwona i zielona ten sam wyraz wolny
tzw.współczynnik kierunkowy, jest równytangensowi kąta między prostą aosią odciętych (OX) nazywanegokątem nachylenia prostej[13][15]. Czasem ten współczynnik jest oznaczany literą Dwie proste o tym samym współczynniku kierunkowym są równoległe. Czerwona i niebieska prosta na wykresie mają ten sam współczynnik kierunkowy.
tzw.wyraz wolny, jestrzędną punktu, w którym prosta przecina oś rzędnych. Proste czerwona i zielona na wykresie mają ten sam wyraz wolny.
Rozpisując poszczególne składowe, możemy to samo równanie przedstawić za pomocąukładu równań postaci:
Ilustracja równania parametrycznego i równania prostej przechodzącej przez zadane punkty
Przy tym i są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, natomiast i są także liczbami rzeczywistymi, które jednak nie mogą być jednocześnie równe zeru. Wówczas bowiem układ równań opisywałby tylko pojedynczy punkt a nie całą prostą.
Wyrażenie ma wartość dodatnią, gdy punkt oraz początek układu współrzędnych leżą po przeciwnych stronach danej prostej, ujemną – jeśli leżą po tej samej stronie, i zero, jeśli leży na prostej.
Zbiór wszystkich prostych przechodzących przez dany (ustalony) punkt nazywamypękiem prostych, a dany punktśrodkiem pęku. Środek pęku może być zadany wprost lub jako punkt przecięcia dwóch prostych. Równanie pęku prostych o środku wyznaczonym przez nierównoległe proste zapisujemy w postaci:
gdzie spełniają warunek
Każda prosta przechodząca przez środek pęku (będącawspółpękowa z wszystkimi prostymi przechodzącymi przez ten punkt) da się przedstawić powyższym równaniem i, na odwrót, każde równanie powyższej postaci przedstawia pewną prostą należącą do pęku.
Zbiór prostych równoległych na płaszczyźnie (o wspólnym wektorze kierunkowym) nazywamykierunkiem alboniewłaściwym pękiem prostych.
Równania określające prostą wprzestrzeni trójwymiarowej łatwo otrzymać z podanych poniżej równań dla przestrzeni wielowymiarowej. Należy tylko, zgodnie z tradycją, zamiast napisać odpowiednio i przyjąć liczbę wymiarów
Dwie proste na płaszczyźnie mogą być alborównoległe (szczególnym przypadkiem są proste identyczne), alboprzecinać się (czyli mieć jeden punkt wspólny). Dwie proste w przestrzeni trójwymiarowej (oraz dla większej liczby wymiarów) oprócz tego mogą byćskośne, czyli nie przecinać się, ale nie być też równoległe.
Każde równanie wukładzie równań liniowych z niewiadomymi będącymi liczbami rzeczywistymi zmniejsza o jeden maksymalną liczbęwymiarów zbioru rozwiązań układu. Aby więc opisać twór jednowymiarowy (prostą) w przestrzeni o wymiarach, trzeba użyć układu równań liniowych. Czasem można ten układ łatwo zapisać jako jedno równaniewektorowe.
We wszystkich poniższych wzorach indeksy dolne oznaczają kolejne współrzędne przestrzeni wielowymiarowej, a punkty definiowanej prostej mają współrzędne postaci to liczba wymiarów przestrzeni.
W przestrzeni kartezjańskiejn-wymiarowej najwygodniej określać prostą za pomocą równania parametrycznego.
W tym ujęciu prosta o (niezerowym) wektorze kierunkowym przechodząca przez punkt to zbiór punktów takich, że
dla dowolnych
Podobnie jak w poprzednich przypadkach, oznacza się to
Rozpisując poszczególne składowe, możemy to samo równanie przedstawić za pomocą układu równań postaci:
Przy tym są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, natomiast są również liczbami rzeczywistymi, z których chociaż jedna musi być różna od zera. Inaczej bowiem prosta zdegenerowałaby się do punktu.
Równań w tym układzie jest a nie jak w pozostałych podejściach, gdyż wprowadzono kolejną zmienną a więc konieczne jestn-te równanie, aby otrzymać prostą, a nie płaszczyznę.
Prosta wn-wymiarowej przestrzeni o współrzędnych może być opisana jako część wspólnahiperpłaszczyzn (dla przestrzeni trójwymiarowej po prostu dwóchpłaszczyzn). Sprowadza się to do układu równań:
co w postaci macierzowej można zapisać jako
Układ ten opisuje prostą wtedy i tylko wtedy, gdyrząd macierzy
Euklides podał pięćpostulatów, tworzących fundamenty jego geometrii[16]. Szczególnie interesujący jest piąty z nich, tzw.postulat równoległości, który w oryginalnej wersji brzmiał
Jeśli prosta przecina dwie proste w ten sposób, że kąty wewnętrzne po tej samej stronie prostej przecinającej są mniejsze od dwóch kątów prostych to proste te (przecinane) spotkają się z tej właśnie strony. (Rysunek obok.)
Sformułowanie to było długie i stosunkowo mało oczywiste w porównaniu z innymi pewnikami, jednak było Euklidesowi niezbędne do przeprowadzenia wielu ważnych dowodów[17]. Współczesnym Euklidesa nie udało się wyprowadzić go z pozostałych aksjomatów i w ten sposób usunąć z grona niezbędnych postulatów geometrii. Ostatecznie późniejsi matematycy odkryli, że pozostałe cztery postulaty nie są wystarczające dla aksjomatyzacji geometrii euklidesowej, da się jednak zastąpić piąty postulat prostszą, równoważną wersją, np.
Przez punkt nie leżący na danej prostej można przeprowadzić dokładnie jedną nie przecinającą jej prostą (czyli prostą równoległą).
Zmieniając sens tego postulatu, przy zachowaniu niezmienionych pozostałych, możemy uzyskać spójne i niesprzeczne systemy, tzw. geometrie nieeuklidesowe, które dobrze opisują przestrzeń zakrzywioną, np. geometrię powierzchni kuli.
Zasadniczo zmiany te mogą iść w dwóch różnych kierunkach:
Przez punkt nie leżący na danej prostej można przeprowadzić więcej niż jedną prostą równoległą – otrzymujemy wówczas tzw. geometrię hiperboliczną (Łobaczewskiego)[18].
Przez punkt nie leżący na danej prostej nie można przeprowadzić żadnej prostej równoległej – otrzymujemy tzw. geometrię eliptyczną (sferyczną)[19].
Można też wyobrazić sobie przestrzeń, która w niektórych obszarach ma właściwości geometrii hiperbolicznej, w innych geometrii eliptycznej, a w jeszcze innych euklidesowej – takie przestrzenie opisuje uogólnienie wszystkich tych geometrii, zwanegeometrią Riemanna.
Proste w geometriach nieeuklidesowych nadal mogą być zdefiniowane jako nieograniczonelinie geodezyjne danej przestrzeni, tak jak zasygnalizowano na początku artykułu. Tak zdefiniowane proste spełniają wszystkie aksjomaty Euklidesa, z wyjątkiem postulatu równoległości. Ta definicja pasuje także do geometrii euklidesowej, gdzie wyznacza zwykłe proste.
W geometrii hiperbolicznej przez punkt nie leżący na danej prostej przechodzą co najmniej dwie różne proste nie przecinające jej (zob. rysunek). W tej geometrii dla każdegokąta występuje też tzw.prosta zagradzająca kąt – prosta, która jest jednocześnie równoległa do obydwu jego ramion.
Istnieje kilka różnych modeli geometrii hiperbolicznej. Proste są w nich różnie interpretowane, jednak idzie za tym zmiana definicji pojęciaodległości:
W modeluKleina przestrzeń to wnętrzekoła, a prosta tocięciwa tego koła.
W modelu dyskuPoincaré przestrzeń to także wnętrze koła, ale proste to częściokręgów prostopadłe do obwodu tego koła w punktach styku, orazśrednice koła.
W modelu półpłaszczyzny Poincaré przestrzeń topółpłaszczyzna z wyłączonym brzegiem, a proste to półokręgi o środkach na brzegu półpłaszczyzny oraz półproste prostopadłe do tego brzegu i zaczynające się na nim.
W geometrii sferycznej, której model stanowi powierzchnia kuli (takżekuli ziemskiej) nie istnieją dwie proste nie przecinające się. Punktami w tej geometrii są zbiory dwóch punktów euklidesowych leżących po przeciwnej stronie sfery, a prostymi tzw.okręgi wielkie[20]sfery, czyliokręgi na jej powierzchni, których środek pokrywa się ze środkiem sfery.
Przykładowe okręgi wielkie na rysunku obok są oznaczone ciągłymi liniami. Inne okręgi (oznaczone przerywanymi liniami) nie są prostymi tej geometrii, gdyż nie wyznaczają najkrótszych dróg. Pomiędzy dwoma dowolnymi punktami sfery można bowiem przejść połukach nieskończonej liczby różnych okręgów, ale tylko jeden z tych okręgów będzie okręgiem wielkim, i ta właśnie trasa będzie najkrótsza – jest to tak zwanaortodroma. Z definicji zatem łuki okręgów wielkich toodcinki w geometrii sferycznej, łuki pozostałych okręgów odcinkami nie są.
gdzie i są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, które nie są jednocześnie wszystkie trzy równe zeru.
Sfera jest przykładem przestrzeni ograniczonej, w której proste również są ograniczone. Jednak nawet tutaj okręgi wielkie pozostają liniami geodezyjnymi i nie posiadają zakończeń.
Wszczególnej orazogólnej teorii względności przestrzeń fizyczna i czas są związane, tworząc w sensie matematycznym czterowymiarową czasoprzestrzeń. W szczególnej teorii względności czasoprzestrzeń ta jestprzestrzenią Minkowskiego, a w ogólnej teorii względnościprzestrzenią pseudoriemannowską będącą modyfikacjągeometrii Riemanna. W obydwu teoriachlinia świata ciała na które nie działa żadna siła jest linią prostą (geodezyjną). W ogólnej teorii względności grawitacji nie uznaje się za oddziaływanie, lecz czynnik, który zakrzywia czasoprzestrzeń[potrzebny przypis]. Ciało oddziaływające grawitacyjnie nadal przemieszcza się po prostej (analogicznie dopierwszej zasady dynamikiNewtona), jednak nie jest to prosta przestrzeni fizycznej, lecz prosta w zakrzywionej czasoprzestrzeni. Stąd z punktu widzenia geometrii euklidesowej porusza się ono (w przestrzeni fizycznej) po zakrzywionym torze.Grawitacja nie jest interpretowana jako siła działająca na ciało, a jako zakrzywienie czasoprzestrzeni, w której to ciało się porusza[21].
Wzajemne położenie punktów w czasoprzestrzeni jest dzielone na trzy typy w zależności od wartości interwału czasoprzestrzennego (odpowiednik odległości). Ponieważ wszystkie punkty prostej w czasoprzestrzeni mają ten sam typ, proste także możemy podzielić na:
zerowe ( proste reprezentują prędkość światłac) – mogą być trajektoriami jedynie cząstek bezmasowych (np.fotonów);
przestrzenne ( proste reprezentują prędkości większe odc) – nie mogą być trajektoriami żadnych cząstek (oprócz hipotetycznychtachionów, których istnienie nie zostało w żaden sposób potwierdzone).
Krzywa która ma w punkcie kierunek jest linią geodezyjną (prostą w czasoprzestrzeni) jeśli
lub
co oznacza, że jejpochodna kowariantna dla jej kierunku w danym punkcie jest równa zeru.
Jeśli jestwektorem niezerowym, to prosta jest zbiorem wektorów dla których istniejeskalar (rzeczywisty dla przestrzeni wektorowej należącej do) taki, że Mówimy, że wektory i sąliniowo zależne lubwspółliniowe.
Geometria rzutowa bada własności figur geometrycznych, które nie zmieniają się pod wpływem tzw.przekształceń rzutowych, czyli dla płaszczyzny przekształceń, które przekształcają proste zawsze w proste (a nie w inne obiekty).
W geometrii rzutowej mamy dwa rodzaje prostych:
proste właściwe – każda prosta właściwa jest zbiorem punktów zwykłej prostej z przestrzeni kartezjańskiej, uzupełnionym o jejkierunek zwany tupunktem w nieskończoności;
prosta rzutowa – będąca zbiorem punktów w nieskończoności.
Takie ujęcie pozwala uzyskać szereg interesujących własności, np. dowolne dwie nie identyczne proste przecinają się zawsze w jednym punkcie.
Najelegantszym wynikiem geometrii rzutowej jestzasada dualności mówiąca, iż dowolne prawdziwe twierdzenie pozostaje w obrębie tej geometrii prawdziwe, jeśli zamienimy w nim pojęcia „prosta” i „punkt” (i odpowiednio „przechodzi przez” z „leży na”).
Proste odwzorowywane są następująco: przez daną prostą prowadzimy płaszczyzny i prostopadłe odpowiednio do rzutni i tzw.płaszczyzny rzutujące. Ich krawędzie przecięcia z rzutniami to właśnie rzuty poziomy i pionowy prostej.
Takie dwa rzuty prostej jednoznacznie ją identyfikują, z wyjątkiem przypadku prostej prostopadłej do osi i nierównoległej do żadnej z pozostałych osi. Jej rzuty są identyczne z rzutami dowolnej innej prostej na płaszczyźnie prostopadłej do osi Aby jednoznacznie ją odwzorować, konieczne jest przedstawienie dodatkowo rzutów dwóch dowolnych jej punktów.
Jeśli prosta jest prostopadła do jednej z rzutni, jej rzut na tę rzutnię staje się punktem i zbędne staje się prowadzenie płaszczyzny prostopadłej do tej rzutni.
Niektóre proste mają szczególne nazwy ze względu na położenie względem rzutni:
prosta pozioma – równoległa do rzutni poziomej jej punkty mają jednakową wysokość;
prosta czołowa – równoległa do rzutni pionowej jej punkty mają jednakową głębokość;
prosta pionowa – prostopadła do rzutni rzutem poziomym jest punkt;
prosta celowa – prostopadła do rzutni rzutem pionowym jest punkt.
↑Na przykład aksjomat ten jest niezbędny do udowodnieniatwierdzenia Pitagorasa oraz twierdzenia o sumie kątów wewnętrznych trójkąta, równej 180°.
↑Z reguły w geometrii Łobaczewskiego używa się innej terminologii: nie zawsze proste nieprzecinające się nazywane są równoległymi. Dlatego w tym pewniku często zamiast słowa „równoległa” mówi się „rozłączna”.
↑Jednak w tym przypadku trzeba zmienić nie tylko piąty postulat, ale również niektóre inne aksjomaty geometrii euklidesowej.
↑Na ogół w polskiej literaturze pisze się o „kołach wielkich” sfery, jednak jest to niekonsekwentne, gdyż koło to figura z wnętrzem, a krzywa będąca jej brzegiem to okrąg. W literaturze anglosaskiej spotykamy się za to konsekwentnie z określeniemgreat circle, a niegreat disc.
↑Ściślej: grawitacja to zakrzywienie czasoprzestrzeni, w której znajduje siętrajektoria danego ciała. Trajektoria jest w czasoprzestrzeni statyczną i niezmienną krzywą. W czasoprzestrzeni formalnie nic się nie zmienia ani nie porusza, bo obejmuje ona wszystkie chwile czasowe jednocześnie.
Franciszek Otto, Edward Otto: Podręcznik geometrii wykreślnej. Warszawa: PWN, 1975.ISBN 978-83-01-00933-5. Brak numerów stron w książce
Wanda Szmielew: Od geometrii afinicznej do euklidesowej: rozważania nad aksjomatyką. Warszawa: PWN, 1983.ISBN 83-01-03513-7. Brak numerów stron w książce
Hans Niels Jahnke: A history of analysis. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003.ISBN 0-8218-2623-9.OCLC51607350.
Większość wzorów w tym artykule pochodzi z:
Igor N. Bronsztejn, Konstantin A. Siemiendiajew: Matematyka, poradnik encyklopedyczny. Wyd. VI. Warszawa: PWN, 1976.
