Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Przejdź do zawartości
Wikipediawolna encyklopedia
Szukaj

Prawo Stefana-Boltzmanna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Zależność promieniowania ciała doskonale czarnego od temperatury. Jaśniejsza linia – promieniowanie według przybliżonegoprawa Wiena

Prawo Stefana-Boltzmanna – prawo opisujące całkowitą moc wypromieniowywaną przezciało doskonale czarne w danej temperaturze.

Prawo zostało opracowane doświadczalnie przezJožefa Stefana w 1878 r., a wykazane na podstawie praw termodynamicznych w 1884 r. przezLudwiga Boltzmanna[1].

Wzór

[edytuj |edytuj kod]
Φ=σT4,{\displaystyle \Phi =\sigma T^{4},}

gdzie:

Φ{\displaystyle \Phi } –strumień energii wypromieniowywany z jednostkipowierzchni ciała [W/m2{\displaystyle \mathrm {W/m^{2}} }],
σ{\displaystyle \sigma } –stała Stefana-Boltzmanna,
T{\displaystyle T} –temperatura wskali Kelvina.

Stała Stefana-Boltzmanna wynosi[2]:

σ=2π5k415h3c2=5,670367(13)×10−8Wm2K4.{\displaystyle \sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15h^{3}c^{2}}}=5{,}670367(13)\times 10^{-8}\mathrm {\frac {W}{m^{2}K^{4}}} .}

Wyprowadzenie

[edytuj |edytuj kod]

Prawo Stefana-Boltzmanna można wyprowadzić, korzystając zrozkładu Bosego-Einsteina dlafotonów zamkniętych w pudełku o objętości V. Średnia energia fotonów w danej temperaturze T wynosi:

⟨E⟩=∫0∞ℏωρ(ω)1exp⁡(ℏωkT)−1dω,{\displaystyle \langle E\rangle =\int \limits _{0}^{\infty }\hbar \omega \rho (\omega ){\frac {1}{\exp \left({\frac {\hbar \omega }{kT}}\right)-1}}\mathrm {d} \omega ,}

gdzie:

ω{\displaystyle \omega } – częstotliwość fotonów,
ρ(ω){\displaystyle \rho (\omega )} –gęstość stanów dla fotonów,
ℏ{\displaystyle \hbar } –stała Diraca,
k{\displaystyle k} –stała Boltzmanna.

Podstawienie wartości

ρ(ω)=Vω2π2c3{\displaystyle \rho (\omega )={\frac {V\omega ^{2}}{\pi ^{2}c^{3}}}}

daje

⟨E⟩=Vℏπ2c3∫0∞ω31exp⁡(ℏωkT)−1dω.{\displaystyle \langle E\rangle ={\frac {V\hbar }{\pi ^{2}c^{3}}}\int \limits _{0}^{\infty }\omega ^{3}{\frac {1}{\exp \left({\frac {\hbar \omega }{kT}}\right)-1}}\mathrm {d} \omega .}

Wartością tej całki jest:

⟨E⟩=6Vℏπ2c3(kTℏ)4ζ(4),{\displaystyle \langle E\rangle ={\frac {6V\hbar }{\pi ^{2}c^{3}}}\left({\frac {kT}{\hbar }}\right)^{4}\zeta (4),}

gdzie:

ζ(4){\displaystyle \zeta (4)} – wartośćfunkcji zeta Riemanna.

Powyższy wynik jest równoważny prawu Stefana-Boltzmanna.

Zobacz też

[edytuj |edytuj kod]

Przypisy

[edytuj |edytuj kod]
  1. ↑Stefana–Boltzmanna prawo, [w:]Encyklopedia PWN [online],Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-15] .
  2. ↑CODATA Value 2014: Stefan-Boltzmann constant. [dostęp 2015-07-26].
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Prawo_Stefana-Boltzmanna&oldid=74003205”
Kategorie:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp