Pole powierzchni (krótkopole lub potoczniepowierzchnia) – dwuwymiarowamiara[1] przyporządkowująca danejfigurze nieujemną liczbę w pewnym sensie charakteryzującą jej rozmiar.
Ścisła definicja wymaga wykonania pewnej konstrukcji.
Niektóre z zamieszczonych tu informacji wymagająweryfikacji.
Uwagi: definicja poniżej daje tylko zewnętrzną miarę Jordana; granica ta zawsze istnieje i problem nie w tym, ale w tym, żeby była równa mierze wewnętrznej. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon{{Dopracować}} z tej sekcji.
Najczęściej spotykana definicja (i jedna z najogólniejszych) odwołuje się do następującej konstrukcji:
Pokrywamy całąpłaszczyznę, na której znajduje się dana figura, siatką przylegającychkwadratów o bokach
Liczbę kwadratów mających choćby jedenpunkt wspólny z figurą, której powierzchnię mierzymy, oznaczamy przez
Tworząc rozmaite siatki kwadratów o coraz mniejszych bokach i tak dalej, uzyskujemyciąg liczb
Granica ta nie zawsze istnieje. Jeśli nie istnieje, pola powierzchni nie da się obliczyć tą metodą.
Co więcej, konstrukcja ta ma jeszcze jedną wadę – choć dobrze sprawdza się w typowych wypadkach, jednak nie ma podstawowej własności, która intuicyjnie powinna charakteryzować pole powierzchni: suma pól dwóchrozłącznych figur może być większa niż pole figury powstałej z ich połączenia.
Problem wyznaczania pól powierzchni dla wszystkich figur
są rozłączne i oba mają zewnętrzną miarę Jordana równą 1.Suma tych dwóch figur (czyli wnętrze kwadratu) ma pole powierzchni równe 1, skąd możemy wnioskować, że pola tych figur nie można zdefiniować, używając podejścia Jordana.
Istnienie nietrywialnej funkcji, którą dałoby się zmierzyć dowolną figurę i która dla dowolnego ciągu przeliczalnegorozłącznych figur dawałaby wynik równy ich sumie, jest niedowodliwe w standardowym systemie aksjomatówZFC.
Przy założeniu aksjomatu wyboru istnieje skończenie addytywna miara mierząca wszystkie podzbiory przestrzeni.
Przy założeniuAD, wszystkie podzbiory przestrzeni euklidesowych sąmierzalne w sensie Lebesgue’a.
Jeśli istniejeliczba mierzalna, to jest niesprzeczne żecontinuum jest rzeczywiście mierzalne i że istnieje miara na płaszczyźnie mierząca wszystkie jej podzbiory.
Definicja używana w szkołach podstawowych, gimnazjach i szkołach średnich.
Obieramy kwadrat o boku 1.
Kwadrat ten zwany kwadratem jednostkowym jest jednostką pola.
Pole jest równe liczbie kwadratów jednostkowych lub jego części mieszczących się całkowicie w mierzonej figurze.
Definicja niejawnie używa pojęcia granicy ciągu (jego części), pojęcia nieużywanego. Definicja ta podaje dolne oszacowanie pola powierzchni figury i dobrze sprawdza się w typowych wypadkach.
