Pierścień liczb całkowitych –zbiórliczb całkowitych tworzącychstrukturę algebraiczną${\displaystyle \mathbb{Z}}$ z operacjami dodawania, branialiczby przeciwnej i mnożenia. Stanowią onepierścień przemienny, którego są prawzorem poprzez fakt spełniania tylko tych równań, które zachodzą dla wszystkichpierścieni przemiennychz jedynką; istotnie, jest topoczątkowy pierścień przemienny, a nawet pierścień początkowy.

Ogólniej,pierścieniem liczb całkowitychciała liczbowego${\displaystyle K,}$ oznaczanego często symbolami${\displaystyle {\mathrm{O}}_K}$ lub${\displaystyle {\mathcal{O}}_K,}$ nazywa siępierścieńliczb algebraicznych całkowitych zawartych w${\displaystyle K.}$

Korzystając z tej notacji można napisać, iż${\displaystyle \mathbb{Z}=O_{\mathbb{Q}},}$ ponieważ${\displaystyle \mathbb{Z},}$ jak podano wyżej, jest pierścieniem liczb całkowitychciała${\displaystyle \mathbb{Q}}$liczb wymiernych. Z tego względu walgebraicznej teorii liczb elementy${\displaystyle \mathbb{Z}}$ nazywa się często „wymiernymi liczbami całkowitymi”.

Pierścień liczb całkowitych${\displaystyle {\mathrm{O}}_K}$ jest${\displaystyle \mathbb{Z}}$-modułem; nie do końca oczywisty jest fakt, iż jest tomoduł wolny, a więc mabazę całkowitoliczbową; oznacza to, że istnieje ciąg${\displaystyle b_1,\dots ,b_n\in {\mathrm{O}}_K}$ (baza całkowita liczbowa) taki, że każdy element${\displaystyle x}$ należący do${\displaystyle {\mathrm{O}}_K}$ może być jednoznacznie przedstawiony jako

${\displaystyle x=\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i,}$

gdzie${\displaystyle a_i\in \mathbb{Z}.}$ Ranga${\displaystyle n}$ pierścienia${\displaystyle {\mathrm{O}}_K}$ jako wolnego${\displaystyle \mathbb{Z}}$-modułu jest równastopniowi${\displaystyle K}$ nad${\displaystyle \mathbb{Q}.}$ Pierścienie liczb całkowitych w ciałach liczbowych sąpierścieniami Dedekinda.

Jeśli${\displaystyle \zeta }$ jest${\displaystyle p}$-tympierwiastkiem z jedynki zaś${\displaystyle K=\mathbb{Q}(\zeta )}$ odpowiadającym muciałem cyklotomicznym, to baza całkowitoliczbowa${\displaystyle {\mathrm{O}}_K=\mathbb{Z}[\zeta ]}$ dana jest jako${\displaystyle \left(1,\zeta ,{\zeta }^2,\dots ,{\zeta }^{p-2}\right).}$

Jeżeli${\displaystyle d}$ jestbezkwadratową liczbą całkowitą, zaś${\displaystyle K=\mathbb{Q}\left(\sqrt{d}\right)}$ jest odpowiadającymciałem kwadratowym, to baza całkowitoliczbowa${\displaystyle {\mathrm{O}}_K}$ dana jest jako${\displaystyle \left(1,\frac{1+\sqrt{d}}{2}\right),}$ o ile${\displaystyle d\equiv 1mod4}$ oraz${\displaystyle \left(1,\sqrt{d}\right),}$ jeśli${\displaystyle d\equiv 2,3mod4}$ (zob.arytmetyka modularna).

Pierścieńp-adycznych liczb całkowitych${\displaystyle {\mathbb{Z}}_p}$ to pierścień liczb całkowitychliczbp-adycznych${\displaystyle {\mathbb{Q}}_p.}$

• liczby całkowite kwadratowe.

• Jürgen Neukirch: Algebraic Number Theory. T. 322. Berlin: Springer-Verlag, 1999, seria: Grundlehren der mathematischen Wissenschaften.MR1697859.ISBN 978-3-540-65399-8. Brak numerów stron w książce

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W.,Ring of Integers, [w:]MathWorld,Wolfram Research (ang.). [dostęp 2025-12-04].

• Rodzaje pierścieni
• Algebraiczna teoria liczb

• Szablon cytowania książki – brak numeru strony