Nawias Poissona – pojęcie z dziedzinyfizyki matematycznej, główniemechaniki klasycznej, a konkretniejmechaniki Hamiltona^[1]. Występuje m.in. w kanonicznychrównaniach Hamiltona, które opisują ewolucję w czasieukładu fizycznego. Nawias Poissona to działanie dwuargumentowe na zbiorzewielkości fizycznych.

Nawiasy Poissona służą też do definicji algebry Poissona (por. dalej). Są tak nazwane na cześć francuskiego matematykaSiméona Denisa Poissona.

Jeżeli wprzestrzeni fazowej danego układu fizycznego wprowadzi się współrzędne uogólnione^[2]

${\displaystyle q=(q_1,q_2,\dots ,q_f),}$

${\displaystyle p=(p_1,p_2,\dots ,p_f).}$

gdzie${\displaystyle f}$ jest liczbąstopni swobody układu fizycznego, to nawiasem Poissona funkcji${\displaystyle A}$ i${\displaystyle B}$ zależnych od współrzędnych kanonicznych i czasu

${\displaystyle A=A(q_1,q_2,\dots ,q_s,p_1,p_2,\dots ,p_f,t),}$

${\displaystyle B=B(q_1,q_2,\dots ,q_s,p_1,p_2,\dots ,p_f,t).}$

nazywamy wyrażenie

${\displaystyle \{A,B\}=\sum _{i=1}^f\left(\frac{\mathrm{\partial }A}{\mathrm{\partial }{q}_i}\frac{\mathrm{\partial }B}{\mathrm{\partial }{p}_i}-\frac{\mathrm{\partial }A}{\mathrm{\partial }{p}_i}\frac{\mathrm{\partial }B}{\mathrm{\partial }{q}_i}\right).}$

• Antysymetria^[2]

${\displaystyle \{A,B\}=-\{B,A\},}$

co oznacza, że zmiana kolejności funkcji w nawiasie zmienia znak nawiasu na przeciwny

• Liniowość

${\displaystyle \{\alpha A+\beta B,C\}=\alpha \{A,C\}+\beta \{B,C\}.}$

• Reguła Leibniza

${\displaystyle \{AB,C\}=A\{B,C\}+\{A,C\}B.}$

• Tożsamość Jacobiego

${\displaystyle \{A,\{B,C\}\}+\{B,\{C,A\}\}+\{C,\{A,B\}\}=0.}$

Wzór dlapochodnej cząstkowej po czasie:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }t}\{A,B\}=\left\{\frac{\mathrm{\partial }A}{\mathrm{\partial }t},B\right\}+\left\{A,\frac{\mathrm{\partial }B}{\mathrm{\partial }t}\right\}.}$

Wzór dla pełnej pochodnej po czasie:

${\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\{A,B\}=\left\{\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t},B\right\}+\left\{A,\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}t}\right\}.}$

Wychodząc z definicji nawiasów Poissona łatwo pokazać, że dla dowolnych współrzędnych kanonicznych zachodzą zależności^[2]:

${\displaystyle \{q_i,q_j\}=0,}$

${\displaystyle \{p_i,p_j\}=0,}$

${\displaystyle \{q_i,p_j\}={\delta }_{ij},}$

gdzie:${\displaystyle i,j=1,2,\dots f,}$${\displaystyle {\delta }_{ij}}$ jest to tzw.delta Kronekera.

W szczególności mamy np.

${\displaystyle \{x,y\}=0,}$

${\displaystyle \{p_x,p_y\}=0,}$

${\displaystyle \{x,p_x\}=1,}$

${\displaystyle \{y,p_y\}=1.}$

Powyższa własność nawiasów Poissona ma swój odpowiednik w tzw.metodzie kwantowania, w ramach której uzyskuje się równania ruchuukładów kwantowych.

Jeżeli${\displaystyle A}$ jest dowolną funkcją współrzędnych uogólnionych${\displaystyle q_i(t),}$ pędów uogólnionych${\displaystyle p_i(t)}$ oraz czasu${\displaystyle t,}$ przy czym współrzędne te spełniająrównania kanoniczne Hamiltona, topochodna zupełna po czasie tej funkcji może być wyrażona za pomocą pochodnej cząstkowej funkcji po czasie oraz nawiasu Poissona obliczonego dla tej funkcji zfunkcją Hamiltona tego układu

${\displaystyle \frac{dA}{dt}=\frac{\mathrm{\partial }A}{\mathrm{\partial }t}+\{A,H\}.}$

Przezukład współrzędnych kanonicznych rozumie sięukład współrzędnych taki, że nawiasy Poissona tych współrzędnych spełniają zadanerelacje komutacyjne, przy czym m.in. należą tu układy współrzędnych tworzone przez współrzędne uogólnione${\displaystyle q_i(t)}$ oraz pędy uogólnione${\displaystyle p_i(t).}$

Nawiasy Poissona wyróżniają klasę transformacji współrzędnych, tzw.transformacji kanonicznych, które odwzorują układ współrzędnych kanonicznych w inny układ współrzędnych kanonicznych. Zbiór możliwych transformacji kanonicznych jest zwykle bardzo duży. Np. zawsze jest możliwy wybór Hamiltonianu${\displaystyle H=H(q,p,t)}$ jako jeden z nowych pędów kanonicznych.

Algebrą Poissona nadciałem${\displaystyle \mathbb{K}}$ (zwykle${\displaystyle \mathbb{K}\mathbb{=}\mathbb{R}}$ lub${\displaystyle \mathbb{K}\mathbb{=}\mathbb{C}}$) nazywa sięprzestrzeń liniową${\displaystyle X}$ z określonym w niejdziałaniem dwuargumentowym${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}:X\times X\to X,}$ spełniającym dla dowolnych funkcji${\displaystyle A,B,C,\dots }$ 3 warunkialgebry Liego:

• antyprzemienność

${\displaystyle \{A,B\}=-\{B,A\}}$

• dwuliniowość

${\displaystyle \{aA+bB,C\}=a\{A,C\}+b\{B,C\},a,b\in \mathbb{K}}$

${\displaystyle \{C,aA+bB\}=a\{C,A\}+b\{C,B\},a,b\in \mathbb{K}}$

• tożsamość Jacobiego

${\displaystyle \{A,\{B,C\}\}+\{B,\{C,A\}\}+\{C,\{A,B\}\}=0}$

oraz regułę Leibniza:

${\displaystyle \{AB,C\}=\{A,C\}B+A\{B,C\}.}$

• komutator (operatorów)
• algebra Liego

• L.D. Landau, J.M. Lifszyc: Mechanika. Wyd. czwarte. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe (PWN), 2011.

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W.,Poisson Bracket, [w:]MathWorld,Wolfram Research [dostęp 2020-12-13] (ang.).
• Poisson brackets(ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].

• Mechanika analityczna
• Analiza funkcjonalna