Mechanika Lagrange’a – przeformułowaniemechaniki klasycznej przy użyciuzasady najmniejszego działania Hamiltona[1]. Mechanika Lagrange’a stosuje się do układów, dla których da się wprowadzić pojęcieenergii potencjalnej lubenergii potencjalnej uogólnionej (wielkości te nazywa się zwyczajowo odpowiedniopotencjałem,potencjałem uogólnionym lub potencjałem kinetycznym). W układach tych energia mechaniczna układu jest zachowana, jeżeli istnieje dla nich pojęcie energii potencjalnej; jeśli jednak energia potencjalna nie istnieje, a istnieje tylko energia potencjalna uogólniona, to energia mechaniczna w ogólności nie jest zachowana. Inne wielkości, takie jak pęd,moment pędu, mogą być zachowane lub nie – mechanika Lagrange’a podaje warunki, pozwalające łatwo to określić[2].
Mechanika Lagrange’a została sformułowana przez włosko-francuskiego matematykaJosepha-Louisa Lagrange’a w 1788 roku.
Podstawowym pojęciem mechaniki Lagrange’a jest funkcja Lagrange’a zwana też lagrangianem.
gdzie: T -Energia kinetyczna, V - Energia potencjalna, q - współrzędna uogólniona, j=1, 2, 3, ..., n (j-ta współrzędna uogólniona).
W ogólnym przypadku, w fizyce nierelatywistycznej (tj. dla prędkości ciał niewielkich w relacji doprędkości światła) jest równa różnicy między energią kinetyczną a potencjalną nie uwzględniając momentów bezwładności ciał.
gdzie:
jest energią kinetyczną układu, równą sumie energii kinetycznych poszczególnych cząstek[3], – masy cząstek układu, – prędkości cząstek układu; – energia potencjalna układu cząstek zależna od ich położeń, przy czym – współrzędne kartezjańskie wektorów położeń cząstek w przestrzeni, tak że pierwsze trzy współrzędne odnoszą się do pierwszej cząstki itd.
W mechanice Lagrange’a zamiast współrzędnych kartezjańskich położeń i prędkości (które są pochodnymi współrzędnych kartezjańskich po czasie) używa się zazwyczajwspółrzędnych uogólnionych i prędkości uogólnionych (które są pochodnymi współrzędnych uogólnionych po czasie). Pozwala to w wielu wypadkach znacznie uprościć równania opisujące ruch układu.
Np. jeżeli koralik porusza się bez tarcia wzdłuż krzywoliniowego rowka w przestrzeni, to wyznaczenie jego położenia przy użyciumechaniki Newtona wymagałyby znalezienia zmieniających się w czasie sił więzów, które utrzymują koralik w rowku, a dopiero potem znalezienia zależności współrzędnych kartezjańskich wektora położenia koralika od czasu. Zastosowanie dla tego problemu ujęcia Lagrange’a rozpoczyna się od wyboru najmniejszego zbioruniezależnych parametrów, czyli współrzędnych uogólnionych. Wybór ten eliminuje potrzebę używania w opisie sił ograniczających ruch (sił więzów). Jest też mniej równań do rozwiązania.
Liczba współrzędnych, potrzebnych do określenia ruchu dowolnego układu, jest równa liczbiestopni swobody układu. Współrzędne uogólnione oznaczane są zwyczajowo symbolami zaś prędkości uogólnione (czyli pochodne po czasie współrzędnych) oznacza się symbolami
Jeżeli układ poddany jest więzom, to liczba stopni swobody układu jest mniejsza od liczby współrzędnych kartezjańskich, za pomocą których można opisać układ. Np. układ złożony z ciał poruszających się bez więzów w przestrzeni 3-wymiarowej miałby współrzędnych kartezjańskich (np. Słońce,planety, ich księżyce, komety, i inne obiekty tworząceUkład Słoneczny). Jeżeli jednak rozważymy układ z więzami, to liczba stopni swobody zmniejszy się. Np.cząsteczkaC
2H
5OH składa się z 9 atomów związanych mocno ze sobą; liczba stopni swobody jest mniejsza niż tym mniejszą, im niższą ma temperaturę; w niskiej temperaturze zanikną np. ruchy związane z jej obrotami czydrganiami.
Równania te występują w dwóch postaciach:
(1)Równania Lagrange’a pierwszego rodzaju[4]
– zapisuje się w nich wszystkie siły, jakie działają na układ, tj. zarówno siłypól fizycznych, działających na układ, jak i siły reakcjiwięzów, ograniczających ruch układu; w równaniach tych używa się tzw.mnożników Lagrange’a[5][6]
(2)Równania Lagrange’a drugiego rodzaju
gdzie:
W równaniach Lagrange’a drugiego rodzaju unika się uwzględniania sił reakcji więzów poprzez odpowiedni wybór układu współrzędnych uogólnionych[4][7]. Z rozwiązania tych równań otrzymuje się trajektorię układu fizycznego.
Załóżmy, że chcemy opisać ruch pojedynczego ciała w płaszczyźnie pionowej (np.rzut ukośny,rzut pionowy,spadek swobodny itp.). W ramach mechaniki Newtona zagadnienie to rozwiązujemy korzystając zII zasady dynamiki:
gdzie –współrzędne kartezjańskie wektora położenia ciała w płaszczyźnie w chwili czasu – współrzędne kartezjańskie wektora wypadkowej siły, działającej na cząstkę (zależne w ogólności od położenia cząstki w płaszczyźnie i od czasu).
Rozwiązanie tych równań wymaga podania tzw.warunków początkowych, tj. wektorów położenia oraz prędkości jakie ciało miało w pewnejchwili początkowej Z rozwiązania tych równań otrzymamy zależności określające położenie ciała w dowolnej chwili.
Jeżeli na ciało działa siła stała w czasie, jak w powyżej podanych przykładach, to zagadnienie nie jest trudne do rozwiązania. Jednakże problem komplikuje się, jeżeli ruch jest ograniczony za pomocą jakichświęzów. Np. gdy ciało zawieszone jest na nierozciągliwej nici, tworzącwahadło, to oprócz stałej w czasie siły grawitacji na ciało działa siła ze strony nici, trzymająca ciało w niezmiennej odległości od punktu zaczepienia – siła ta zmienia się w zależności od kąta odchylenia nici od pionu. Zapisanie równań ruchu we współrzędnych kartezjańskich (metoda Newtona) prowadzi do złożonychrównań różniczkowych. Dlatego wygodniejsze jest użycie metody Lagrange’a, tj. zapisanie równań ruchu w tzw.współrzędnych uogólnionych – w tym wypadku wyrażenie położenia ciała w zależności od kąta odchylenia nici od pionu Dzięki temu zamiast dwóch nieznanych funkcji szukamy jednej funkcji
Równanie ruchu wahadła określa wzór[8]:
gdzie:
(Rozwiązanie powyższego równania w przypadku dowolnie dużych kątów nie jest łatwe – patrz:wahadło).
Wyprowadzimy równanie ruchu wahadła korzystając z równań mechaniki Lagrange’a (Aby docenić prostotę obliczeń warto zobaczyć na wyprowadzenie tego samego równania w ramach mechaniki Newtona – por.wahadło)
(1) Przyjmujemy jako współrzędną uogólnioną kąta odchylenia nici od pionu
(2) Lagrangian układu jest różnicą energii kinetycznej i potencjalnej wahadła (przy czym oś układu współrzędnych biegunowych, od której odmierzamy kąt, przyjmujemy jako skierowaną pionowo w dół):
(3) Piszemyrównania Eulera-Lagrange’a
i podstawiając wyrażenie na lagrangian otrzymujemy:
Dzieląc obie strony przez otrzymujemy równanie w podanej postaci.
Dla trajektorii, która jest rozwiązaniem równań Lagrange’a,działanie (czyli całka z lagrangianu obliczona w przedziale czasu między dowolnie wybranymi chwilami początkową i końcową ruchu) przyjmuje wartość stacjonarną. Własność ta wynika z zasady najmniejszego działania Hamiltona, z której wyprowadza się równania ruchu Lagrange’a.
W języku polskim:
W języku angielskim:
| główne działyfizyki | |||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| według zjawisk |
| ||||||||||||||||||
| według skali |
| ||||||||||||||||||
| mechanika teoretyczna |
| ||||||||||||||||||
| teoria pola |
| ||||||||||||||||||
| interdyscy- plinarne |
| ||||||||||||||||||
| inne specjalności |
|