Macierz jednostkową zwykle oznacza się symbolem Dla podkreślenia stopnia (wymiaru) macierzy pisze się też gdzie jestliczbą naturalną (oznaczającą liczbę wierszy i kolumn). Inne oznaczenia to i[4].
Macierz jednostkowa wymiaru ma rząd równy ponieważ parami różne wersory (jej kolumny) sąliniowo niezależne.[1][2]. To samo dotyczy każdej innej niezerowej macierzy skalarnej i każdej innej macierzy diagonalnej niezawierającej zer na głównej przekątnej.
Jejwyznacznik jest równy 1. Jeśli wyznacznik jest zdefiniowany geometrycznie (zorientowana miara układu wektorów, np. zorientowane pole równoległoboku lub zorientowana objętość równoległościanu), to wynika to wprost z definicji. Jeśli wyznacznik jest definiowany aksjomatycznie (zwłaszcza nadciałami innymi niżliczby rzeczywiste), to wartość 1 dla macierzy jednostkowej jest jednym z aksjomatów (jedną z definiujących cech)[6].
Macierz jednostkowa reprezentuje identyczność[5], dlatego przemnożenie jej przez dowolny wektor (kolumnowy) daje ten sam wektor.
To samo dotyczy wektorów wierszowych (kowektorów).
Obrazem odwzorowania tożsamościowego jest cała przestrzeń, ajądrem –wektor zerowy. Innymi słowy jądro jest trywialne.
Własności mnożenia
Macierze można mnożyć nie tylko przez wektory (kolumny) i kowektory (wiersze).Mnożenie macierzy odpowiadaskładaniu odwzorowań liniowych. Iloczyn (lewo- lub prawostronny) dowolnej macierzy kwadratowej przez macierz jednostkową daje w wyniku tę pierwszą:[2].
Bycie elementem neutralnym mnożenia można też przyjąć za definicję macierzy jednostkowej. Odpowiednie równania jednoznacznie wyznaczają jej elementy[potrzebny przypis].
W szczególności: macierz jednostkowa jako identycznośćkomutuje ze wszystkimi elementami odpowiednich pierścieni i grup[2]. dla pierścieni oraz dla grup, gdzie jest kwadratowąmacierzą zerową.
Jako element neutralny mnożenia (składania) jest równa swojejmacierzy odwrotnej: Innymi słowy jest przykłademinwolucji. Odwracanie jest możliwe, ponieważ spełnione są 3 równoważne warunki: rząd jest maksymalny wyznacznik jest niezerowy, a jądro jest trywialne.
Jako element neutralny jest mnożenia (składania) równa swojemu kwadratowi i przez to wszystkim swoim potęgom (iteracjom): Innymi słowy jestidempotentna, czyli jestrzutem. W połączeniu z poprzednim faktem (inwolutywnością): wszystkie iteracje całkowite (nie tylko naturalne) są identyczne. Podany wzór zachodzi dla dowolnego wykładnika całkowitego
Powyższa własność bardzo upraszcza obliczaniewielomianów od macierzy. podobnie jak dla każdego rzutu (idempotentu). To uproszczenie rozciąga się również na nieskończoneszeregi potęgowe, np.szereg Taylora. Dzięki nim można definiować różne funkcje na macierzach, m.in.eksponens. Zachodzi – wynikiem funkcji jest zwykłe przeskalowanie. Podobnie jest dla innych rzutów oraz dla macierzy skalarnych, ale przy tych ostatnich – z innym czynnikiem skali.
Macierz kwadratową wymiaru można mnożyć nie tylko przez inne macierze kwadratowe tego samego wymiaru. Aby mnożenie przez inną macierz było wykonalne,potrzeba i wystarcza, aby jeden z wymiarów macierzy wynosił Innymi słowy: dla każdego wykonalne są działania i W szczególności: kiedy ta macierz kwadratowa jest jednostkowa, czyli to taki iloczyn zawsze zwraca pozostałą, niekoniecznie kwadratową macierz:
Macierze kwadratowe można pierwiastkować.Pierwiastek kwadratowy z macierzy jednostkowej można oznaczyć przez i zdefiniować równaniem: Dla przypadku 2-wymiarowego to równanie jest spełnione przez macierze postaci:
oraz przez ich transpozycje, dla dowolnych liczb[potrzebny przypis].
Własności diagonalizacji
Wektorem własnym odwzorowania tożsamościowego (i przez to macierzy jednostkowej) jest każdy wektor: Odpowiednią przestrzenią własną jest cała rozważana przestrzeń liniowa. Ta sama własność dotyczy wszystkich innych niezerowych macierzy skalarnych. Dla macierzy jednostkowej jedyną wartością własną jest 1 – ta liczba to całewidmo macierzy (spektrum).
Macierz jednostkowa jest przez todiagonalizowalna: w sposób dość trywialny, bo jest z definicji diagonalna.
Wielomian charakterystyczny macierzy jednostkowej jest dość prosty, ponieważ ma tylko jeden pierwiastek (równy 1). Jego krotność jest równa wymiarowi rozważanej przestrzeni i macierzy.[a].Wielomian minimalny to w tym wypadkufunkcja liniowa: Analogicznie jest dla każdej niezerowej macierzy skalarnej.
Ślad macierzy jednostkowej (i odwzorowania tożsamościowego) jest równy wymiarowi przestrzeni oraz macierzy.
Macierz jednostkowa jest macierząsymetryczną, czyli równą swojej transpozycji: Odpowiadające jej przekształcenie tożsamościowe jest reprezentowane przez tę samą macierz co jego odwzorowanie dualne: Zachodzi tożsamość gdzie toiloczyn skalarny, a to wektory odpowiedniej przestrzeni.
Jako macierz symetryczna ma same rzeczywiste wartości własne, które wspomniano wyżej (równe 1). Jest macierządodatnio określoną – jej wartości własne są dodatnie, a zadanaforma kwadratowa jest dodatnio określona. Jest nią zwykły kwadrat modułu wektora. Zadanąformą dwuliniową, symetryczną i dodatnio określoną jest „zwykły” euklidesowy iloczyn skalarny.
Jako macierz diagonalna spełnia warunkiantysymetrii dla wyrazów pozadiagonalnych: Mimo to nie jest macierzą antysymetryczną, bo jej wyrazy diagonalne są niezerowe:
Macierz jednostkowa jest jednocześnieortogonalna: jej kolumny (oraz wiersze) są paramiortogonalne (prostopadłe), a w dodatku tworzą układortonormalny: Jej macierz odwrotna jest równa transpozycji: Zachowuje rzeczywisty iloczyn skalarny:
Jako macierz ortogonalna jest też automatycznieunitarna. Półtoraliniowy zespolony iloczyn skalarny również jest zachowany.
Jedynki i zera w macierzy jednostkowej nie muszą być koniecznieliczbami całkowitymi. To wyróżnione elementyciała nad którym zdefiniowano macierz i odpowiedniąprzestrzeń liniową do której należą kolumny i wiersze macierzy. Przykładowo 1 i 0 mogą oznaczaćfunkcje stałe lubreszty z dzielenia (elementyciał skończonych). Przestrzenie liniowe nad ciałami uogólniają się namoduły nadpierścieniami z jedynką, dlatego elementy macierzy jednostkowej mogą należeć do odpowiedniego pierścienia.
Piotr Stachura, nagrania dlaKhan Academy naYouTube [dostęp 2024-06-22]:
