Movatterモバイル変換

Przejdź do zawartości

Liczba przeciwna

Przejrzana

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Status wersji strony

To jest wersja przejrzana tej strony

To jestwersja przejrzana, która zostałaoznaczona12 paź 2025.Na przejrzenie oczekujązmiany w szablonach lub plikach, które są zawarte na tej stronie.

Wykres funkcji rzeczywistej $y=-x$ wkartezjańskim układzie współrzędnych

{\displaystyle y=-x} — Wykres funkcji rzeczywistej $y=-x$ wkartezjańskim układzie współrzędnych

Liczba przeciwna do danejliczby $a {\displaystyle a}$ – taka liczba $-a,$ że zachodzi^[1]:

a+(-a)=0,

gdzie $0 {\displaystyle 0}$ jestelementem zerowym działaniadodawania.

Przykład:

liczbą przeciwną do liczby 3 jest liczba −3.

W szczególności:

liczbą przeciwną do zera jest zero,
liczbą przeciwną do przeciwnej do $x {\displaystyle x}$ jest liczba $x . {\displaystyle x.}$

W zbiorach liczbcałkowitych,wymiernych,rzeczywistych izespolonych dla każdej liczby istnieje liczba przeciwna. Zbiory te wraz z dodawaniem są bowiem w szczególnym przypadkiem tzw.grup – a jeden z aksjomatów grupy wymaga istnienia elementu odwrotnego do każdego elementu zbioru.

W zbiorach liczbnaturalnych, oraz wklasach liczb kardynalnych iporządkowych nie jest to już prawda – liczby ujemne nie należą do zbioru liczb naturalnych, a dla nieskończonych liczb kardynalnych i porządkowych liczby przeciwne w ogóle nie są zdefiniowane, o ile nie wprowadzimy ich sztucznie, np. tak jak wliczbach nadrzeczywistych.

Uogólnienie na grupy uporządkowane

[edytuj |edytuj kod]

Z punktu widzeniaalgebry jest to pojęcieelementu odwrotnego do danego wyrażone w terminologii addytywnej.

Jeżeli wgrupie jest określonyporządek liniowy $\leqslant$ spełniający^[2]^[3]

a\leqslant b\implies (a+c\leqslant b+c\land c+a\leqslant c+b),

to

elementy dla których $a\leqslant 0,$ nazywamy niedodatnimi,
elementy dla których $0\leqslant a,$ nazywamy nieujemnymi,
elementy niedodatnie niezerowe nazywamy ujemnymi,
elementy nieujemne niezerowe nazywamy dodatnimi,

Takimi grupami są wspomniane wyżej grupy liczb całkowitych, wymiernych i rzeczywistych (ale nie zespolonych).

Wówczas, jak łatwo sprawdzić:

element przeciwny do dodatniego jest ujemny,
element przeciwny do ujemnego jest dodatni.

Warto wspomnieć jeszcze, że np. grupach z dodawaniemmodulo n gdzie n jest parzyste istnieją elementy niezerowe, które są przeciwne do samych siebie.

Zobacz też

[edytuj |edytuj kod]

arytmetyka

Przypisy

[edytuj |edytuj kod]

↑liczby przeciwne, [w:]Encyklopedia PWN [online],Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-08-27] .
↑PlanetMath: ordered group. planetmath.org. [zarchiwizowane ztego adresu (2009-06-01)]..
↑Introduction to the Theory of Topological Rings and Modules - V. Arnautov, S. Glavatsky, Aleksandr Vasilʹevich Mikhalev - Google Livres [online], books.google.com [dostęp 2017-11-24] .

p
d
e

Arytmetyka elementarna

podstawowe
zbioryliczb

naturalne (ℕ)
całkowite (ℤ)
wymierne (ℚ)
dodatnie i ujemne (m.in. ℤ₊, ℤ₋, ℚ₊, ℚ₋)

prosta
odcinek jednostkowy
- skierowany

działania
dwu-
-argumentowe

dodawanie (+)	sumowanie odejmowanie (− -)
mnożenie (· × *)	tabliczka mnożenia
dzielenie (: ÷ /)	przez zero z resztą modulo
potęgowanie (^)	algorytm szybkiego potęgowania
inne	porównywanie (min, max)

działania
jedno-
-argumentowe

potęgi	kwadrat liczby (x²) sześcian liczby (x³) liczba odwrotna (x⁻¹)
zaokrąglanie	podłoga i sufit (⌊x⌋ ⌈x⌉)
inne	liczba przeciwna (−x) wartość bezwzględna (\|x\|)

zwykłe	egipskie
dziesiętne skończone	procent (%) punkt procentowy (pp.) promil (‰) punkt bazowy (‱) ppm, ppb itp.
dziesiętne nieskończone	okresowe

różnych liczb	cyfry plus i minus (+ −) plus-minus (±)
ułamków dziesiętnych	separator dziesiętny przecinek kropka symbol procenta
mnożenia (×)	kropka środkowa (·) asterysk (*)
dzielenia (÷)	dwukropek (:) ukośnik (/)
potęg	indeks górny (a^b) kareta (a^b)
relacji	znak równości (=) znaki nierówności (≠ <> ⩽⩾ ≤≥)
inne	nawiasy () [] {}

reguły
zapisu

liczb	systemy liczbowe notacja naukowa cyfry znaczące
wyrażeń arytmetycznych	kolejność wykonywania działań

prawa
działań

tożsamości algebraiczne	przemienność łączność rozdzielność wzory skróconego mnożenia dwumian Newtona
inne	symbol nieoznaczony

obliczenia
arytmetycze

liczydła	abak kostki Napiera soroban suanpan
kalkulatory	arytmometr sumator Pascalina
innenarzędzia	suwak logarytmiczny
specjaliści	obliczeniowiec

powiązane
nauki

arytmetyka	teoria liczb arytmetyka modularna
rachunek błędów	analiza przedziałowa

p
d
e

typy

funkcje liniowe	funkcje stałe proporcjonalności wprost funkcja tożsamościowa liczba przeciwna
inne zdefiniowane stopniem	funkcja kwadratowa (2) kwadrat wielomian stopnia trzeciego (3) sześcian wielomian stopnia czwartego (4)
inne	jednomian potęga naturalna dwumian wielomian cyklotomiczny wielomian symetryczny wielomian nieprzywiedlny wielomian nierozkładalny

powiązane
pojęcia

obliczanie wartości	schemat Hornera
dzielenie wielomianów	schemat Hornera algorytm Euklidesa

twierdzenia
algebraiczne
o wielomianach

rzeczywistych dowolnych	reguła znaków Kartezjusza twierdzenie Sturma
zespolonych dowolnych	zasadnicze twierdzenie algebry twierdzenie Abela-Ruffiniego
innych typów	twierdzenie Bézouta wzory Viète’a algebraiczne twierdzenie Gaussa kryterium Eisensteina szczególnanierówność Bernoulliego

równania
algebraiczne

krzywe tworzące
wykresy

twierdzenia
analityczne

powiązane
działy
matematyki

arytmetyka	algebraiczna teoria liczb
algebra	liniowa abstrakcyjna teoria Galois
geometria	analityczna algebraiczna
analiza	rzeczywista zespolona numeryczna

uczeni według
daty narodzin

XV wiek	Scipione del Ferro Niccolò Tartaglia
XVI wiek	Girolamo Cardano Lodovico Ferrari François Viète René Descartes (Kartezjusz)
XVII wiek	Brook Taylor
XVIII wiek	Jean Paul de Gua de Malves^(en) Étienne Bézout Joseph Louis Lagrange Paolo Ruffini Jean-Robert Argand Carl Friedrich Gauss William George Horner
XIX wiek	Niels Henrik Abel Jacques Charles François Sturm Evariste Galois Theodor Schönemann^(en) Karl Weierstraß Gotthold Eisenstein^(en)
XX wiek	Marshall Stone

p
d
e

Funkcje wymierne

funkcje liniowe	stałe proporcjonalności wprost funkcja tożsamościowa liczba przeciwna
funkcje kwadratowe	kwadrat wielkości
inne przykłady	wielomian stopnia trzeciego sześcian wielomian stopnia czwartego

proporcjonalność odwrotna
- liczba odwrotna

inne

ułamki proste
- rozkład Cauchy’ego

wykresy
funkcji

kartezjańskie	prosta parabola parabola sześcienna hiperbola lok Agnesi
biegunowe	spirala Archimedesa spirala hiperboliczna

struktury
algebraiczne

powiązane
pojęcia

Encyklopedie internetowe (funkcje elementarne):

Catalana: 0268102

Źródło: „https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Liczba_przeciwna&oldid=77799053”

[8]ページ先頭

©2009-2025 Movatter.jp