Movatterモバイル変換

[0]ホーム

Przejdź do zawartości

Kostka Mengera

Edytuj linki

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Animacja kostki Mengera w czasie proporcjonalnym do stopnia rekurencji (1-4)

Nietrywialna wariacja kostki Mengera nawiązująca do przyrody, polegająca na rekurencyjnym zostawianiu 8 kostek narożnych i jednej środkowej – płatek śniegu Sierpińskiego-Mengera (5 stopni rekurencji). Ten ciekawy trójwymiarowy fraktal posiada dokładnie wymiar Hausdorffa niefraktalnego obiektu rodowicie dwuwymiarowego, np. płaszczyzny, tzn. $\log _{3}9=\log(9)/\log(3)=2$

{\displaystyle \log _{3}9=\log(9)/\log(3)=2} — Nietrywialna wariacja kostki Mengera nawiązująca do przyrody, polegająca na rekurencyjnym zostawianiu 8 kostek narożnych i jednej środkowej – płatek śniegu Sierpińskiego-Mengera (5 stopni rekurencji). Ten ciekawy trójwymiarowy fraktal posiada dokładnie wymiar Hausdorffa niefraktalnego obiektu rodowicie dwuwymiarowego, np. płaszczyzny, tzn. $\log _{3}9=\log(9)/\log(3)=2$

Kostka Mengera,gąbka Mengera –bryła fraktalna, trójwymiarowy odpowiednikzbioru Cantora idywanu Sierpińskiego.

Wymiar fraktalny kostki Mengera wynosi: $\log _{3}20=\log(20)/\log(3)\approx 2{,}726833.$

Konstrukcja kostki została podana przez austriackiego matematykaKarla Mengera w roku 1927.

Konstrukcja

[edytuj |edytuj kod]

Kostka Mengera powstaje w następujący sposób:

Dany jestsześcian (foremny).
Tniemy go na 27 sześcianów równej wielkości płaszczyznami równoległymi do ścian.
Usuwamy wszystkie sześciany przyległe do środków ścian pierwotnego sześcianu oraz sześcian znajdujący się w jego środku.
Do każdego z 20 pozostałych sześcianów stosujemy poprzednią procedurę.

Po nieskończonej liczbie powtórzeń opisanych operacji otrzymujemy kostkę Mengera.

Poniższypseudokod, będący rekurencyjną implementacją kostki Mengera, wykorzystywany jest często w wielujęzykach programowania, przy czym:

n – złożoność – liczba całkowita nieujemna,
x, y, z – współrzędne środka,
d – długość krawędzi:

Menger(n,x,y,z,d):jeżeli n=0to utwórzSześcian(x,y,z,d)w przeciwnym przypadkudla i={-1,0,1}dla j={-1,0,1}dla k={-1,0,1}jeżeli (i*i+j*j)*(i*i+k*k)*(j*j+k*k)>0to Menger(n-1,x+i*d/3,y+j*d/3,z+k*d/3,d/3)

Sześcian
1. iteracja
2. iteracja
3. iteracja
4. iteracja
5. iteracja

Własności

[edytuj |edytuj kod]

Każda ściana kostki jestdywanem Sierpińskiego.Przekątna kostki jestzbiorem Cantora. Kostka jestzwartym podzbiorem przestrzeni euklidesowej, a jejmiara Lebesgue’a jest równa 0.

Definicje formalne

[edytuj |edytuj kod]

Definicja rekurencyjna

[edytuj |edytuj kod]

Precyzyjne określenie kostki Mengera jest następujące:

M:=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }M_{n},

gdzie $M_{0}$ oznacza sześcian $\{(x,y,z):0\leqslant x,y,z\leqslant 1\}$

M_{n+1}:=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:\ {\exists i,j,k\in \{0,1,2\}:(3x-i,3y-j,3z-k)\in M_{n} \atop {\mbox{ i co najwyżej jedna z liczb }}i,j,k{\mbox{ jest rowna 1 }}}\right\}.

Definicja nierekurencyjna

[edytuj |edytuj kod]

Kostkę Mengera można też zdefiniować w równoważny sposób, nie używającrekurencji.

Kostka Mengera todomknięcie zbioru punktów $(x,y,z)$ takich, że $0\leqslant x,y,z\leqslant 1$ i w nieskończonych rozwinięciach współrzędnych $x, y, z {\displaystyle x,y,z}$ wtrójkowym systemie liczbowym nigdzie na tej samej pozycji cyfra 1 nie występuje więcej niż jeden raz.

Dokładna kostka Sierpińskiego

[edytuj |edytuj kod]

„Galaretkowa” objętościowa animacja dokładnej kostki Sierpińskiego poprzez kroki rekurencji. Aby umożliwić lepszą widoczność, ciemniejsze obszary oznaczają pustą przestrzeń. Wybrane przekroje tnące największą wnękę centralną równolegle do ścian prostopadłościanu są dywanami Sierpińskiego

Kostka Mengera nie jest dokładnym odpowiednikiem kostki Sierpińskiego. Używając dokładnielogiki konstrukcji dwuwymiarowej dywanu w trzech wymiarach, należy z każdą rekurencją usuwać jedynie zmniejszoną kostkę centralną bez kostek bocznych.Inaczej w dywanie należałoby usuwać nie jeden, a pięć kwadratów tworzących razemkrzyż grecki.Oczywiście struktura fraktalna takiej kostki nie jest widoczna od razu bez jej przecięcia.Ponieważ liczba elementów wypełniających rośnie teraz o czynnik $26 {\displaystyle 26}$ przy zachowaniu skali zmniejszania, jest ona prawie trójwymiarowa i jej wymiar Hausdorffa wynosi:

\log _{3}26=\log(26)/\log(3)\approx 2{,}965647.

W podobny sposób można konstruować inne kostki fraktalne, usuwając w każdym kroku z większych kostek dowolną liczbę $N {\displaystyle N}$ kostek mniejszych w skali $1/3,$ np. kostkę centralną i $8 {\displaystyle 8}$ kostek narożnych, i w ogólności niesymetrycznie. Większość tak skonstruowanych kostek jest także dziwnymi geometrycznie w przestrzeni trójwymiarowej fraktalami o wymiarze Hausdorffa