Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Przejdź do zawartości
Wikipediawolna encyklopedia
Szukaj

Homomorfizm

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Nie mylić z:homeomorfizm.

Homomorfizm (gr. ὅμοιος,homoios – podobny; μορφή,morphē – kształt, forma) –funkcja odwzorowująca jednąalgebrę ogólną (np.monoid,grupę,pierścień czyprzestrzeń wektorową) w drugą, zachowująca przy tym odpowiadające sobiedziałania, jakie są zdefiniowane w obu algebrach[1].

Homomorfizmbijektywny, nazywa sięizomorfizmem algebr i z punktu widzenia algebry oznacza ich identyczność.

Ogólna definicja homomorfizmu

[edytuj |edytuj kod]

NiechA=(A;g1,…,gn){\displaystyle {\mathcal {A}}=(A;g_{1},\dots ,g_{n})} iB=(B;h1,…,hn){\displaystyle {\mathcal {B}}=(B;h_{1},\dots ,h_{n})} oznaczająalgebry ogólne tego samegotypu (monoidy, grupy, pierścienie itp.), gdzie:

Funkcjaf:A→B{\displaystyle f\colon A\to B} przekształcającą zbiórA{\displaystyle A} w zbiórB{\displaystyle B} jesthomomorfizmem algebryA{\displaystyle {\mathcal {A}}} w algebręB,{\displaystyle {\mathcal {B}},} jeśli dla wszystkich odpowiadających sobie działańgi{\displaystyle g_{i}} orazhi{\displaystyle h_{i}} i dla każdego ciągu(x1,x2,…,xa(gi)){\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots ,x_{a(g_{i})})} elementów zbioruA{\displaystyle A} zachodzi równość:

f[gi(x1,x2,…,xa(gi))]=hi[(f(x1),f(x2),…,f(xa(hi))].{\displaystyle f[g_{i}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{a(g_{i})})]=h_{i}[(f(x_{1}),f(x_{2}),\dots ,f(x_{a(h_{i})})].}

O funkcjif{\displaystyle f} mówi się, że przeprowadza każde działaniegi{\displaystyle g_{i}} w odpowiadające mu działaniehi.{\displaystyle h_{i}.}

Rodzaje homomorfizmów

[edytuj |edytuj kod]
Relacje zbiorów morfizmów
Relacje zbiorów morfizmów.
f – zbiór funkcji; H – zbiór homomorfizmów; M – zbiór monomorfizmów; Ep – zbiór epimorfizmów; Iz – zbiór izomorfizmów; End – zbiór endomorfizmów; A – zbiór automorfizmów
Zbiór monomorfizmów
Zbiór epimorfizmów
Zbiór izomorfizmów
Zbiór endomorfizmów
Zbiór automorfizmów
Każdy monomorficzny lub epimorficzny endomorfizm jest izomorfizmem.

Homomorfizm, który jest:

Typy homomorfizmów

[edytuj |edytuj kod]

Każdy typ struktury algebraicznej posiada swój własny typ homomorfizmu, czyli istnieją:

Homomorfizmgrup

[edytuj |edytuj kod]

NiechG=(G,+,0){\displaystyle \mathrm {G} =(G,+,0)} orazH=(H,⊕,θ){\displaystyle \mathrm {H} =(H,\oplus ,\theta )} oznaczajągrupy w zapisie addytywnym (niekoniecznieabelowe).

Odwzorowanief{\displaystyle f} nazywamyhomomorfizmem grupyG{\displaystyle \mathrm {G} } w grupęH{\displaystyle \mathrm {H} } jeżeli spełnione są warunki:

a)f:G→H,{\displaystyle f\colon G\to H,}

tzn.f{\displaystyle f} jest funkcją ze zbioruG{\displaystyle G} w zbiórH,{\displaystyle H,}

b)∀a,b∈Gf(a+b)=f(a)⊕f(b),{\displaystyle \forall _{a,\;b\in G}\;f(a+b)=f(a)\oplus f(b),}

tzn. wynik działania+{\displaystyle +} wykonanego na wszystkich parach elementówa,b{\displaystyle a,b} zbioruG{\displaystyle G} i następnie odwzorowany do zbioruH{\displaystyle H} za pomocą funkcjif{\displaystyle f} jest równy wynikowi działania⊕{\displaystyle \oplus } wykonanego na obrazachf(a),{\displaystyle f(a),}f(b){\displaystyle f(b)} elementówa,b{\displaystyle a,b} (wynik ten jest na pewno elementem zbioruH,{\displaystyle H,} ponieważ operacja⊕{\displaystyle \oplus } jest działaniem wH{\displaystyle H}).

Mówimy, żehomomorfizm przeprowadza działanie grupowe+{\displaystyle +} na działanie⊕.{\displaystyle \oplus .}

Twierdzenie

[edytuj |edytuj kod]

Tw. Jeżelif{\displaystyle f} jest homomorfizmemf:G→H,{\displaystyle f\colon G\to H,} to

a)f{\displaystyle f} przekształcaelement neutralny działania+{\displaystyle +} wG{\displaystyle \mathrm {G} } na element neutralny działania⊕{\displaystyle \oplus } wH,{\displaystyle \mathrm {H} ,} tzn.

f(0)=θ,{\displaystyle f(0)=\theta ,}

b)f{\displaystyle f} przekształcaelement odwrotny działania+{\displaystyle +} wG{\displaystyle \mathrm {G} } na element odwrotny działania⊕{\displaystyle \oplus } wH,{\displaystyle \mathrm {H} ,} tzn.

∀a∈Gf(−a)=⊖f(a),{\displaystyle \forall _{a\in G}\;f(-a)=\ominus f(a),}

gdzie−a{\displaystyle -a} oznacza element przeciwny do elementua{\displaystyle a} wG,{\displaystyle \mathrm {G} ,} zaś⊖f(a){\displaystyle \ominus f(a)} oznacza element przeciwny dof(a){\displaystyle f(a)} wH.{\displaystyle \mathrm {H} .}

Przykłady

[edytuj |edytuj kod]

Homomorfizmpierścieni

[edytuj |edytuj kod]

(1) Rozważmy dwa pierścienie:

a) pierścieńR{\displaystyle \mathbb {R} }liczb rzeczywistych z działaniami dodawania liczb i mnożenia liczb,

b) pierścieńM22{\displaystyle \mathbb {M_{22}} }macierzy 2×2 (tj. zbiór macierzy 2×2) z działaniami dodawania macierzy imnożenia macierzy.

(2) Definiujemy funkcję ze zbioruR{\displaystyle \mathbb {R} } na zbiór macierzyM22{\displaystyle \mathbb {M_{22}} }

f:R→M22,{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {M} _{22},}f(r)=(r00r).{\displaystyle f(r)={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}.}

(3) Funkcjaf{\displaystyle f} jest homomorfizmem powyższych pierścieni, gdyż:

1) zachowuje dodawanie przy przejściu z jednego pierścienia do drugiego

f(r+s)=(r+s00r+s)=(r00r)+(s00s)=f(r)+f(s),{\displaystyle f(r+s)={\begin{pmatrix}r+s&0\\0&r+s\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}=f(r)+f(s),}

2) zachowuje mnożenie

f(r⋅s)=(r⋅s00r⋅s)=(r00r)(s00s)=f(r)⋅f(s),{\displaystyle f(r\cdot s)={\begin{pmatrix}r\cdot s&0\\0&r\cdot s\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}=f(r)\cdot f(s),}

3) element neutralny dodawania wR{\displaystyle \mathbb {R} } przechodzi w element neutralny dodawania macierzy

f(0)=(0000),{\displaystyle f(0)={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}},}

4) element neutralny mnożenia wR{\displaystyle \mathbb {R} } przechodzi w element neutralny mnożenia macierzy

f(1)=(1001).{\displaystyle f(1)={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}.}

Z powyższych własności wynika, że funkcjaf:R→M22{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {M} _{22}} jest homomorfizmem ze zbioruR{\displaystyle \mathbb {R} } do zbioruM22.{\displaystyle \mathbb {M} _{22}.}

Ponadto:

5) funkcjaf:R→M22{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {M} _{22}} jest injekcją (funkcją różnowartościową), gdyż każdym dwóm elementom ze zbioruR{\displaystyle \mathbb {R} } odpowiadają dokładnie dwa różne elementy ze zbioruM22.{\displaystyle \mathbb {M} _{22}.} Z powyższych własności wynika, że funkcjaf:R→M22{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {M} _{22}}jest monomorfizmem zbiorówR{\displaystyle \mathbb {R} } orazM22.{\displaystyle \mathbb {M} _{22}.}

Brak homomorfizmu pierścieni

[edytuj |edytuj kod]

ZbioryC{\displaystyle \mathbb {C} } orazR{\displaystyle \mathbb {R} } są pierścieniami z działaniami dodawania i mnożenia liczb. Rozważmy funkcjęf:C→R,{\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {R} ,} która przypisuje liczbie zespolonej jej moduł, tj.

f(z)=|z|{\displaystyle f(z)=|z|}

Funkcja tanie jest homomorfizmem, gdyż na ogół nie zachowuje dodawania, tj. na ogół

|z1+z2|≠|z1|+|z2|.{\displaystyle |z_{1}+z_{2}|\neq |z_{1}|+|z_{2}|.}

Np. niechz1=3,{\displaystyle z_{1}=3,}z2=4i.{\displaystyle z_{2}=4i.} Wtedy mamy:

|z1|=3,|z2|=4,{\displaystyle |z_{1}|=3,|z_{2}|=4,}

ale

|3+4i|=5.{\displaystyle |3+4i|=5.}

Homomorfizmgrup

[edytuj |edytuj kod]

Jeżeli ograniczymy odpowiednio wyżej omawiane zbiory, to możemy zdefiniować homomorfizm grup.

(1) Rozważmy zbiory niezerowych liczb zespolonychC≠0=C−{0}{\displaystyle \mathbb {C} _{\neq 0}=\mathbb {C} -\{0\}} oraz niezerowych liczb rzeczywistychR≠0=R−{0}.{\displaystyle \mathbb {R} _{\neq 0}=\mathbb {R} -\{0\}.} Zbiory te tworzą grupy z działaniami mnożenia liczb.

(2) Definiujemy funkcjęf:C≠0→R≠0,{\displaystyle f\colon \mathbb {C} _{\neq 0}\to \mathbb {R} _{\neq 0},} która przypisuje liczbie zespolonej jejmoduł (który jest liczbą rzeczywistą)

f(z)=|z|.{\displaystyle f(z)=|z|.}

(3) Funkcjaf{\displaystyle f} jest homomorfizmem zC≠0{\displaystyle \mathbb {C} _{\neq 0}} wR≠0,{\displaystyle \mathbb {R} _{\neq 0},} gdyż odtwarza działanie mnożenia wR≠0,{\displaystyle \mathbb {R} _{\neq 0},} tj.

f(z1⋅z2)=|z1⋅z2|=|z1|⋅|z2|=f(z1)⋅f(z2).{\displaystyle f(z_{1}\cdot z_{2})=|z_{1}\cdot z_{2}|=|z_{1}|\cdot |z_{2}|=f(z_{1})\cdot f(z_{2}).}

Homomorfizmmonoidów

[edytuj |edytuj kod]
Homomorfizmf{\displaystyle f} zmonoidu(N, +, 0) do monoidu(N, *, 1), taki że:1=f(n)=2n.{\displaystyle 1=f(n)=2^{n}.} Homomorfizm ten jest injektywny, ale nie surjektywny.

1) Niechf{\displaystyle f} będzie funkcją z monoiduliczb naturalnych z działaniem dodawania (N, +, 0) do monoidu liczb naturalnych z działaniem mnożenia (N, *, 1), taką że:

f(n)=2n.{\displaystyle f(n)=2^{n}.}

Funkcja ta jest homomorfizmem z (N, +, 0) do (N, *, 1), gdyż

f(n+m)=f(n)∗f(m){\displaystyle f(n+m)=f(n)*f(m)} orazf(0)=1,{\displaystyle f(0)=1,}

tzn.

2n+m=2n∗2m{\displaystyle 2^{n+m}=2^{n}*2^{m}} oraz20=1,{\displaystyle 2^{0}=1,}

czyli działanie + w pierwszym monoidzie przechodzi na działanie * w drugim, a element neutralny działania + przechodzi na element neutralny działania *.

Homomorfizm ten jestinjektywny, ale niesurjektywny, tzn. nie wszystkim elementom monoidu (N, *, 1) będzie przypisany element monoidu (N, +, 0).

2) NiechG{\displaystyle \mathrm {G} } oznacza zbiór liczb naturalnych z działaniem dodawania+,{\displaystyle +,} aH{\displaystyle \mathrm {H} } oznacza zbiór liczb rzeczywistych z działaniem mnożenia *. Homomorfizmem jest np.funkcja wykładniczaf(n)=exp⁡(n).{\displaystyle f(n)=\exp(n).} Uzasadnienie jest identyczne jak w poprzednim przykładzie.

Zobacz też

[edytuj |edytuj kod]

Przypisy

[edytuj |edytuj kod]
  1. ↑Homomorfizm, [w:]Encyklopedia PWN [online],Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-22] .

Bibliografia

[edytuj |edytuj kod]

Linki zewnętrzne

[edytuj |edytuj kod]
Homomorfizmy
pojęcia
definiujące
główne
odmiany
iniekcje
suriekcje
bijekcje
działania
jednoargumentowe
odmiany dla
konkretnych
struktur
homomorfizmy
funkcje addytywne
inne
twierdzenia
ogólne
ogrupach
powiązane
tematy
uogólnienia
powiązane
nauki
algebra
pogranicze algebry

Źródło: „https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Homomorfizm&oldid=76141804”
Kategorie:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp