Grupa Liego –grupaciągła, tzn. taka że jej elementy można jednoznacznie opisać za pomocą jednego lub większej liczby parametrów rzeczywistych; grupa Liego jest zarazemrozmaitością różniczkową[1] – można w niej wprowadzić np. różniczkowanie po parametrach czy też całkowanie. Z tego względu grupę Liego można traktować jakozbiór z dodatkowymi strukturami rozmaitości różniczkowej i grupy.
Grupy Liego są często spotykane wanalizie matematycznej, fizyce i geometrii. Zostały po raz pierwszy wprowadzone przez NorwegaSophusa Liego w1870 roku do badaniarównań różniczkowych. Badania te dały podwaliny pod rozwój teorii ciągłych grup.
(1) Na rysunku obok przedstawiono grupę Liego o1 parametrze, której elementami sąliczby zespolone postaci liczby te mająmoduł równy 1 – tworzą więc jednocześnie zbiór punktów – okrąg wpłaszczyźnie zespolonej.
Z punktu widzenia geometrii zbiór ten jestrozmaitością różniczkową, gdyż można dokonywać operacji różniczkowania; np. definiuje sięwektory styczne do punktów okręgu za pomocą pochodnych względem parametru
gdzie to wartości parametru wyznaczająca punkt czyli:
(2) Grupą Liego jestgrupa obrotów w przestrzeni trójwymiarowej, które opisują3 ciągłe parametry (np.kąty Eulera).
(3) Grupą Liego jestgrupa transformacji Lorentza, którą opisuje6 ciągłych parametrów.
(4) Grupą Liego jestgrupa transformacji Poincarégo, którą opisuje10 ciągłych parametrów.
Grupa Liego to gładka rozmaitość (klasy) skończonego wymiaru, która jest grupą, tj. punkty rozmaitości tworzą grupę, a działanie grupowe (np.mnożenie) i branie elementu odwrotnego są odwzorowaniami gładkimi.
Grupa Liego ma strukturęrozmaitości (np. snopfunkcji gładkich lubatlas) i strukturęgrupy (czyli działanie, wyróżnionyelement neutralny itd.)
Zazwyczaj określa się, że grupa Liego musi być rozmaitością rzeczywistą skończonego wymiaru. Istnieje kilka podobnych pojęć.
Z każdą grupą LiegoG możemy powiązaćalgebrę Liego nad przestrzenią wektorową styczną do przestrzeniG w jedynce (tj. w elemencie neutralnym działania grupowego).Bazę przestrzeni stycznej nazywa się generatorami grupy Liego: każdy element grupy Liego można otrzymać jako exponens odpowiednio dobranej kombinacji linowej generatorów, przy czym generatory danej algebry Liego spełniają dodatkowonawias Liego.
Przykłady:
W ogólności nawias Liego jest równy 0 wtedy i tylko wtedy, gdy grupa Liego jestabelowa.
| podstawy | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| przykłady |
| ||||||||
| homomorfizmy | |||||||||
| podgrupy |
| ||||||||
| dalsze pojęcia | |||||||||
| rodzaje grup |
| ||||||||
| twierdzenia o grupach |
| ||||||||
| grupy z dodatkowymi strukturami | |||||||||
| uogólnienia | |||||||||
| uczeni według daty narodzin |
|
