Ciało płynne (nie sztywne), daleko od granicy Roche’a, ma kształt sferyczny, utrzymywany przez własną grawitacjęPo zbliżeniu do granicy, ciało ulegadeformacji pod wpływemsił pływowychNa granicy Roche’a, siły grawitacyjne ciała są słabsze niż siły pływowe i ciało się rozpadaCzęści satelity, które znajdują się bliżej dużejmasy, poruszają się szybciej niż te bardziej oddaloneRóżniceprędkości orbitalnych z czasem zmieniają satelitę w rozproszony pierścień
Granica Roche’a (czasempromień Roche’a) – promieńsfery wokół cięższego ciała w układzie dwóch ciał o znacznej różnicymas, po przekroczeniu którego ciało o mniejszej masie może się rozpaść pod wpływemsił pływowych[1], gdyż sama siła grawitacji nie jest w stanie utrzymać mniejszego ciała w całości[2]. Granica Roche’a wynosi od 2 do 3 promieni ciała o dużej masie. Promień nie jest jednoznacznie określony dla danego ciała centralnego, zależy też od właściwości satelity[3].
Pojęcie nazwano na cześć francuskiego astronomaÉdouarda Roche’a, który pierwszy obliczył tę teoretyczną granicę w 1848[4].
Siłaoddziaływania grawitacyjnego zmienia się wraz z odległością od ciała będącego źródłem oddziaływania, odwrotnie proporcjonalnie do drugiej potęgi odległości między ciałami. Powoduje to, że zmiany siły są duże w małej odległości od ciała, a w dużej odległościpole grawitacyjne jest niemaljednorodne. W następstwie tego, jeśli satelita znajdzie się zbyt blisko swojego macierzystegociała niebieskiego, różnica sił powstająca wewnątrz satelity na skutek niejednorodności pola grawitacyjnego może go rozerwać.
Promień Roche’a dotyczy danego układu dwóch ciał, i nie jest jednoznacznie określony dla masy ciała głównego. To samo ciało główne ma różną granicę dla różnych satelitów. Oprócz masy ciała, wokół którego rozpina się granica, zależy ona jeszcze od wielkości i masy satelity, a dokładniej od jego gęstości. Przy ustalonej wielkości satelity trudniej go rozerwać oraz zdeformować jego kształt, gdy jego siły grawitacyjne są większe, czyli gdy ma on większą masę (gęstość).
Niektóre satelity mogą poruszać się wewnątrz swoich granic Roche’a, ponieważ rozerwaniu przeciwdziałają siły inne niż grawitacyjne, na przykładnaprężenia. Jednak w tej sytuacji każde niepowiązane z satelitą ciało leżące na jego powierzchni od strony ciała głównego lub naprzeciw, zostanie od niego oderwane. KsiężycJowiszaMetis orazSaturnaPan są przykładami takich ciał[5].
Granicy Roche’a nie należy mylić ze spotykaną czasemstrefą Roche’a (właściwa nazwa tej ostatniej to strefa Hilla).
Zachowanie się satelity przybliżającego się do ciała o dużej masie zależy od sztywności satelity. W skrajnym przypadku, satelita jako całkowicie sztywne ciało, zbliżając się do granicy będzie utrzymywał swój pierwotny kształt, a po przekroczeniu granicy, zaczną z niego odpadać małe fragmenty, przybliżając się znaczniej może zostać nagle rozerwany. Z drugiej strony, ciało wyjątkowo płynne, przykładowo gazowe lub zawierające dużą atmosferę, będzie stopniowo zmieniało swój kształt, różnice w oddziaływaniu sił pływowych na jego rosnącej długości będą się zwiększać, a jego własne przyciąganie słabnąć, w końcu ciało centralne zacznie ssać gaz z satelity, dochodzi doakrecji.
Wyznaczając granicę Roche’a dla ciała sztywnego, zakłada się, że satelita pozostaje w całości dopóki ciało leżące na jego powierzchni nie zostanie porwane w górę przez siły pływowe ciała głównego. Dodatkowo, pomija się również inne cechy, takie jak nieregularny kształt (zakłada się kulistość), nierównomierny rozkład masy, obrót dookoła własnej osi oraz deformację ciała głównego. Te uproszczenia ułatwiają obliczenia.
Dla sztywnego sferycznego satelity, orbitującego wokół kulistego ciała, granica Roche’a, dana jest wzorem[6]:
gdzie jest promieniem ciała głównego, jest jego gęstością, jest gęstością satelity.
Gdy gęstość satelity jest dwa razy większa niż gęstość ciała głównego (na przykład skalisty księżyc wokół gazowej planety), granica Roche’a znajdzie się wewnątrz ciała głównego i nie będzie istotna.
Satelita płynny pod wpływem sił pływowych zostaje rozciągnięty, tak jak to widać na ilustracjach, w wyniku czego materia z najbliższego oraz z najdalszego ciału głównemu miejsca satelity jest słabiej przyciągana przez satelitę i dlatego będzie z niego porywana, choć nie została przekroczona granica określona powyższym wzorem.
Wyznaczenie warunku oderwania z ciała płynnego jest trudne, ale po uproszczeniach pomijających niektóre efekty spłaszczenia ciała, dochodzi się do warunku jak dla ciała sztywnego, tyle że z innym stałym czynnikiem. Ten stały czynnik szacuje się numerycznie często z pomocą komputera.
W takiej formie wzór na granicę Roche’a podał autor pojęcia w 1848 (z minimalnie innym stałym czynnikiem – 2,44)[6].
Aby wyprowadzić zależność na granicę Roche’a, należy rozpatrzyć siły działające na ciało leżące na satelicie w punkcie najbliższym ciału głównemu (oznaczony jako). Są to: siła ciągnąca ten fragment do reszty satelity oraz siła grawitacyjna ciągnąca go ku ciału głównemu – w tym przypadku jedyniesiła pływowa, główna siła grawitacyjna jest równoważona przyspieszeniem uzyskiwanym przez satelitę.
Wyprowadzając warunek oderwania ciała od płynnego satelity przyjmuje się, że satelita:
w wyniku sił pływowych, zmienia kształt na podłużny, ale deformacja nie zmienia jego objętości,
satelita obraca się z prędkością synchroniczną z obrotem wokół planety, będąc zwrócony cały czas tą samą stroną do ciała głównego.
Obrót synchroniczny oznacza, że płyn pozostajenieruchomy, a problem można rozpatrywać jako statyczny w obracającym się wokółśrodka masy układzie współrzędnych. Dlatego teżlepkość i tarcie wewnętrzne płynu nie grają tu roli, gdyż te czynniki miałyby znaczenie tylko w przypadku ruchów cieczy. Nie występuje teżsiła odśrodkowa wynikająca w obrotu satelity. Założenie o synchroniczności obrotów odpowiada większości przypadków rzeczywistych, gdyż gdy płynne ciało krążąc wokół centrum masy obraca się z prędkością inną niż prędkość synchroniczna, to siły pływowe doprowadzą obrót do prędkości synchronicznej.
Na płyn satelity oddziaływają zatem następujące siły:
siła grawitacji ciała głównego,
siła odśrodkowa w obracającym się układzie odniesienia,
siła grawitacyjna satelity.
Ponieważ wszystkie te siły sązachowawcze (tzn. ichpraca nie zależy od drogi), dlatego oddziaływania te mogą być reprezentowane za pomocąpotencjału.
Powierzchnia satelity musi być powierzchnią stałego potencjału, gdyż inaczej istniałyby siły, powodujące ruch cieczy po powierzchni (a to wbrew założeniom). Należy zatem przedyskutować jaka forma powierzchni przy zadanej odległości od ciała głównego pozwala spełnić powyższy warunek stałego potencjału.
Odległośćradialna punktu na powierzchni elipsoidy do masy
Siła grawitacyjna ciała głównego i siła odśrodkowa znoszą się wzajemnie na kołowejorbicie satelity, ale nie równoważą się poza nią, a ich różnica objawia się jako siły pływowe. Dla małych ciał odległość cząstki płynu od środka masy satelity jest mała w porównaniu z odległością od ciała głównego, a więc siła pływowa jest w przybliżeniu liniowa, a zatem może być wyrażona formułą opisującą powyżej.
W modelu satelity sztywnego znana jest odległość jego powierzchni od jego środka deformacja satelity płynnego zmusza do wyznaczenia deformacji.
Potencjał siły pływowej wyraża wzór:
Należy znaleźć kształt satelity, przy którym suma potencjału jego grawitacji i potencjału pływowego, na jego powierzchni jest stała. W ogólności problem tego typu jest bardzo trudny do rozwiązania. Ponieważ potencjał pływowy zmienia się tylko wzdłuż jednego kierunku (promienia wodzącego), można przyjąć, że siła pływowa deformuje kulistego satelitę wydłużając go w kierunku ciało główne – satelita, wobec tego przyjmuje się, że satelita ma kształt elipsoidy obrotowej. Dla elipsoidy potencjał na jego powierzchni może być wyrażony jako funkcjamimośrodu (spłaszczenia) tej elipsoidy:
gdzie jest potencjałem na najmniejszym promieniu („obrączce”), leżącym na płaszczyźnie symetrii elipsoidy gdzie Bezwymiarowa funkcja jest wyznaczana rozwiązania potencjału elipsoidy:
Wyrażenie to nie zależy od objętości satelity.
Wykres funkcjif, określającej potencjał pływowy w zależności od mimośrodu elipsoidy
Zatem jakkolwiek skomplikowana byłaby zależność funkcji od mimośrodu elipsoidy wystarczy tylko dobrać odpowiednio wartość tak, aby potencjał był równy plus stała niezależna od zmiennej Jest tak dokładnie w przypadku, gdy
To równanie może być rozwiązane numerycznie. Z wykresu obok widać, że równanie to posiada dwa rozwiązania, a mniejsze z nich odpowiada spłaszczeniu (rozciągnięciu) satelity w równowadze stabilnej (tzn. elipsoidzie o mniejszym spłaszczeniu). To właśnie rozwiązanie wyznacza mimośródelipsoidy pływowej w zależności od ustalonej odległości od ciała głównego. Maksimum tej funkcji odpowiada największemu spłaszczeniu stabilnemu satelity.Argument funkcji, dla którego funkcja ma maksimum odpowiada, że pochodna funkcji ma miejsce zerowe. To miejsce odpowiada granicy Roche’a.
Pochodna funkcjif. Miejsce zerowe wyznacza maksymalne spłaszczenie elipsoidy
Maksymalne spłaszczenie elipsoidy pływowej można obliczyć numerycznie jako zero pochodnej funkcji
Odpowiada to stosunkowi osi 1:1,95. Wstawiając tę wartość do funkcji można obliczyć minimalną odległość, przy którejelipsoida pływowa jeszcze istnieje – czyli granicę Roche’a:
Wykorzystując te dane można obliczyć granice Roche’a dla ciał sztywnych i płynnych. Tabela poniżej przedstawia wartości granic wyrażone w metrach i promieniach ciał głównych (średnia gęstośćkomet przyjmuje wartość około 500 kg/m³).
Ciało
Satelita
Granica Roche’a (sztywna)
Granica Roche’a (płynna)
Odległość (km)
R
Odległość (km)
R
Ziemia
Księżyc
9496
1,49
18 261
2,86
Ziemia
typowa kometa
17 880
2,80
34 390
5,39
Słońce
Ziemia
554 400
0,80
1 066 300
1,53
Słońce
Jowisz
890 700
1,28
1 713 000
2,46
Słońce
Księżyc
655 300
0,94
1 260 300
1,81
Słońce
typowa kometa
1 234 000
1,78
2 374 000
3,42
Jeśli gęstość ciała głównego jest ponad dwukrotnie mniejsza niż gęstość satelity, granica Roche’a dla ciała sztywnego jest mniejsza niż promień ciała głównego. W takim przypadku dwa obiekty mogą się zderzyć zanim granica zostanie osiągnięta.
Poniższa tabela pokazuje jak blisko swoich granic Roche’a (sztywnych i płynnych) znajdują się satelity Słońca (stosunek promieni ich orbit do wartości granic).
W rzeczywistości nie znamy gęstości większości wewnętrznych satelitów gazowych planet olbrzymów. W takich przypadkach (zaznaczone kursywą) przedstawione są wartości najbardziej prawdopodobne.
Rozwiązanie dla ciał płynnych znajduje zastosowanie dla obiektów, których kształt nie jest sztywno utrzymywany przez grawitację, lub są kruche – na przykładkomety. W 1992 r. kometaShoemaker-Levy 9 przeszła przez swoją granicę Roche’a wokółJowisza i rozpadła się na wiele mniejszych fragmentów. Dwa lata później, gdy przechodziła przez granicę ponownie, rozbiła się na planecie. Obserwacje orbity tej komety sugerują, że została ona przechwycona przez oddziaływanie grawitacyjne Jowisza już kilka dziesięcioleci przed jej ostatecznym rozbiciem[7].
Od dawna już sugeruje się też, żepierścienie Saturna powstały, gdy jeden (lub więcej) z jego księżyców wszedł za swoją granicę Roche’a wokół planety i został rozerwany przez siły pływowe. Z czasem nieregularnie ułożone bryły poddały się grawitacjiSaturna i przybrały znaną nam dziś formę pierścieni. To rozwiązanie sugerował jeszcze samÉdouard Roche. Istnieją jednak alternatywne teorie dotyczące powstania pierścieni, między innymi przewidująca zderzenie księżyca planety z drugim, przypadkowym obiektem, na przykład kometą.
Granica Roche’a pozwala prosto wytłumaczyć grawitacyjną niestabilność obłoków gazowo-pyłowych w pobliżu ciał w galaktykach, w pobliżu gwiazd i planet oraz tworzenie się ciał niebieskich z obłoków[8], a także tworzenie sięramion spiralnych w pyle krążącym wokół ciała centralnego[9].
.svg)
.svg)
.svg)
.svg)
.svg)
.PNG)
