Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Przejdź do zawartości
Wikipediawolna encyklopedia
Szukaj

Funkcje trygonometryczne

To jest dobry artykuł
Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
sinusoida – wykres funkcjiy=sin⁡x{\displaystyle y=\sin x}
kosinusoida – wykres funkcjiy=cos⁡x{\displaystyle y=\cos x}
tangensoida – wykres funkcjiy=tg⁡x{\displaystyle y=\operatorname {tg} x}
Leonhard Euler (1707–1783) –szwajcarski matematyk, który udowodnił pewne własności funkcji trygonometrycznych, m.in. ich związek zfunkcją wykładniczą[1] nazywanywzorem Eulera.

Funkcje trygonometryczne –funkcje matematyczne wyrażające między innymistosunki długości bokówtrójkąta prostokątnego zależnie odmiary jegokątów wewnętrznych. Funkcje te wywodzą się zgeometrii, konkretniejplanimetrii, ale są rozważane także w oderwaniu od niej, dla różnychargumentówrzeczywistych izespolonych[1]. Touogólnienie funkcji trygonometrycznych umożliwiłaanaliza matematyczna, w której opisano jeszeregami potęgowymi[1]. Powstały też inne definicje, oparte np. narównaniach różniczkowych, innychrównaniach funkcyjnych,iloczynach nieskończonych orazułamkach łańcuchowych, podane w dalszych sekcjach.

Do funkcji trygonometrycznych zalicza się przede wszystkimsinus,kosinus[a] itangens, a także kotangens, sekans, kosekans[a][1] i kilka innych, wspominanych rzadziej. Funkcje trygonometryczne to główny przedmiot badańtrygonometrii; jej dział poświęcony tym funkcjom nazywanogoniometrią[2], przy czym termin ten ma też inne znaczenia. Badania te rozpoczęto wstarożytności, a konkretniejstarożytnej Grecji, po czym rozwijali ją uczeniindyjscy,islamscy[1] i ześredniowiecznej Europy[3]. W czasachnowożytnych podano dla tych funkcji:

Pierwotniematematycy uważali wartości trygonometryczne za linie ciągłe połączoneokręgami, jednak w XVIII wiekuLeonhard Euler wprowadził współczesne pojęcie funkcji trygonometrycznych[4]. Na przestrzeni stuleci podano dziesiątkitożsamości trygonometrycznych, które m.in. wiążą te funkcje ze sobą.

Funkcje trygonometryczne zalicza się doelementarnych i stosuje w różnych działachmatematyki jak geometria, analiza iteoria liczb. Z funkcji tych korzystają też innenauki ścisłe – zarównoprzyrodnicze,społeczne, jak itechniczne. Jednym z powodów jest to, że funkcjami sinus i kosinus można modelować zjawiskaokresowe jakdrgania mechaniczne[1].

Definicje

[edytuj |edytuj kod]

Istnieje kilka definicji funkcji trygonometrycznych, bazujących zarówno na pojęciach geometrycznych, jak i analitycznych.

Przez trójkąt prostokątny

[edytuj |edytuj kod]
Oznaczenia boków i kątów trójkąta prostokątnego użyte w definicji

Funkcje trygonometryczne danego kąta ostrego w trójkącie prostokątnym definiuje się jako stosunek długości odpowiednich dwóch boków tego trójkąta:

funkcjapolskie

oznaczenie[5]

definicja
sinussin{\displaystyle \sin }przyprostokątneja{\displaystyle a} leżącej naprzeciw kątaα{\displaystyle \alpha } i przeciwprostokątnejc{\displaystyle c}[6]
kosinus[a]cos{\displaystyle \cos }przyprostokątnejb{\displaystyle b} przyległej do kątaα{\displaystyle \alpha } i przeciwprostokątnejc{\displaystyle c}[7]
tangenstg{\displaystyle \operatorname {tg} }przyprostokątneja{\displaystyle a} leżącej naprzeciw kątaα{\displaystyle \alpha } i przyprostokątnejb{\displaystyle b} przyległej do tego kąta[8]
kotangens[a]ctg{\displaystyle \operatorname {ctg} }przyprostokątnejb{\displaystyle b} przyległej do kątaα{\displaystyle \alpha } i przyprostokątneja{\displaystyle a} leżącej naprzeciw tego kąta[9]
sekans[a]sec{\displaystyle \sec }przeciwprostokątnejc{\displaystyle c} i przyprostokątnejb{\displaystyle b} przyległej do kątaα{\displaystyle \alpha }[10]
kosekans[a]cosec{\displaystyle \operatorname {cosec} }przeciwprostokątnejc{\displaystyle c} i przyprostokątneja{\displaystyle a} leżącej naprzeciw kątaα{\displaystyle \alpha }[11]

Powyższe definicje można zebrać w postaci tabelki[12]:

a⋅{\displaystyle {\tfrac {a}{\cdot }}}b⋅{\displaystyle {\tfrac {b}{\cdot }}}c⋅{\displaystyle {\tfrac {c}{\cdot }}}
⋅a{\displaystyle {\tfrac {\cdot }{a}}}1{\displaystyle 1}ctg⁡α{\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha }cosec⁡α{\displaystyle \operatorname {cosec} \alpha }
⋅b{\displaystyle {\tfrac {\cdot }{b}}}tg⁡α{\displaystyle \operatorname {tg} \alpha }1{\displaystyle 1}sec⁡α{\displaystyle \sec \alpha }
⋅c{\displaystyle {\tfrac {\cdot }{c}}}sin⁡α{\displaystyle \sin \alpha }cos⁡α{\displaystyle \cos \alpha }1{\displaystyle 1}

Do tej listy włączano też kilka innych funkcji;haversin(inne języki) upraszcza obliczanie odległości punktów na powierzchni Ziemi[13][14][15]:

funkcjasymbol i definicja
sinus versus[16][17]versin⁡α=1−cos⁡α{\displaystyle \operatorname {versin} \alpha =1-\cos \alpha }
haversin

(ang.half of the versine)[18]

haversin⁡α=12versin⁡α{\displaystyle \operatorname {haversin} \alpha ={\tfrac {1}{2}}\operatorname {versin} \alpha }
cosinus versus[19]covers⁡α=1−sin⁡α{\displaystyle \operatorname {covers} \alpha =1-\sin \alpha }
exsecans[20]exsec⁡α=sec⁡α−1{\displaystyle \operatorname {exsec} \alpha =\sec \alpha -1}

Przez inne funkcje

[edytuj |edytuj kod]

Funkcje trygonometryczne mają liczne powiązania między sobą, przez co można niektóre z nich definiować przez siebie wzajemnie, np.:

tg x=sin⁡xcos⁡x{\displaystyle {\text{tg}}\ x={\frac {\sin x}{\cos x}}}

sec⁡x=1cos⁡x{\displaystyle \sec x={\frac {1}{\cos x}}}[21]

cosec x=1sin⁡x{\displaystyle {\text{cosec}}\ x={\frac {1}{\sin x}}}[22]

ctg x=1tg x{\displaystyle {\text{ctg}}\ x={\frac {1}{{\text{tg}}\ x}}}

Przez okrąg jednostkowy i etymologia nazw

[edytuj |edytuj kod]
Definicja na okręgu jednostkowym

Jeżeli wokół wierzchołka kąta poprowadzony zostanie okrąg o promieniu 1, czyli tzw.okrąg jednostkowy, to funkcje trygonometryczne miary kąta ostregoθ{\displaystyle \theta } wyrażać się będą przez długości odpowiednich odcinków[23]:

sin⁡θ=|AC|cos⁡θ=|OC|tg⁡θ=|AE|ctg⁡θ=|AF|sec⁡θ=|OE|cosec⁡θ=|OF|{\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta =|AC|\\\cos \theta =|OC|\\\operatorname {tg} \theta =|AE|\\\operatorname {ctg} \theta =|AF|\\\sec \theta =|OE|\\\operatorname {cosec} \theta =|OF|\end{aligned}}}

Alternatywnie, jako argument funkcji trygonometrycznych zamiast długości łukuDA{\displaystyle DA} można przyjąć polewycinkaOBDA{\displaystyle OBDA} – ich wartości dla promienia 1 są równe. Definicja na okręgu jednostkowym ma swój odpowiednik dlafunkcji hiperbolicznych, gdzie argument funkcji definiowany jest jako pole wycinkahiperboli, analogicznego doOBDA{\displaystyle OBDA}[24].

Definicja ta była historycznie pierwsza. Wynikają z niej nazwy funkcji trygonometrycznych. Pierwotnie tymi nazwami określano właśnie długości odpowiednich odcinków, niekoniecznie na okręgu jednostkowym.

  • Sinus, czyli połowa długości cięciwyAB,{\displaystyle AB,} był w pracach hinduskiego matematykaAryabhaty wsanskrycie nazywanyardha-jiva („połowa cięciwy”), co zostało skrócone dojiva, a następnie transliterowane do arabskiegojiba (جب). Europejscy tłumacze,Robert z Chester iGerardo z Cremony w XII-wiecznymToledo pomylilijiba zjaib (جب), oznaczającym „zatokę” prawdopodobnie dlatego, żejiba (جب) ijaib (جب) są tak samo pisane po arabsku (informacja o samogłoskach jest gubiona w piśmie).Sinus znaczy połacinie właśniezatoka[25]. Wg innych danych nazwa "sinus" pochodzi od owej "połowy cięciwy", a mianowicie z wyrażenia "semichorda inscripta" (dosł. wpisana połowa cięciwy), co w skrócie opisywano s.ins, a później sinus[26].
  • Tangens pochodzi od łacińskiegotangere –dotykający,styczny, gdyż odcinekAE{\displaystyle AE} jeststyczny do okręgu.
  • Secans pochodzi z łacińskiegosecare –dzielić,rozcinać,rozstrzygać i znaczyodcięcie. Pierwotnie nazwa odnosiła się do odcinkaOE,{\displaystyle OE,} odcinanego przez styczną (tangens).
  • Cosinus,cotangens icosecans powstały przez złożenie łacińskiegoco- (wspólnik, towarzysz) i słów sinus, tangens i secans. Pierwotnie cosinus był nazywanycomplementi sinus, czylisinuskąta dopełniającego albocomplementi semichorda inscripta, co w skrócie zapisywanoco.s.ins. Rzeczywiście jest on równy sinusowi miary kąta dopełniającego∠AOF.{\displaystyle \angle AOF.} Podobnie cotangens i cosecans są równe tangensowi i secansowi tego kąta. Przedrostek „ko-” był jednak używany w stosunku do cosinusa już w sanskrycie u Aryabhaty (koti-jya,kojya); trudno określić, w jakim stopniu nazwa łacińska do tego nawiązuje[27].

Przez szereg Taylora

[edytuj |edytuj kod]
Funkcja sinus i jej aproksymacje wielomianami stopnia1,3,5,7,9,11 i13 utworzonymi z początkowych wyrazów szeregu Taylora

Definicje za pomocąszeregów Taylora określają wartości funkcji trygonometrycznych dla dowolnychliczb rzeczywistych, dla których da się je zdefiniować, pozwalają też na uogólnienie tych funkcji na zbiórliczb zespolonych,kwaternionów,macierzy, a nawet naalgebry operatorów,przestrzenie unormowane czypierścienie nilpotentne[28]. Definicje te są stosowane do numerycznego obliczania wartości funkcji trygonometrycznych.

Zachodzą równości[29][30][31]:

sin⁡x=x−x33!+x55!−x77!+…==∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!,cos⁡x=1−x22!+x44!−x66!+…==∑n=0∞(−1)nx2n(2n)!,tg⁡x=x+x33+2x515+…==∑n=1∞B2n(−4)n(1−4n)(2n)!x2n−1,|x|<π2,{\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=x-{\tfrac {x^{3}}{3!}}+{\tfrac {x^{5}}{5!}}-{\tfrac {x^{7}}{7!}}+\ldots =\\&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\tfrac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}},\\\cos x&=1-{\tfrac {x^{2}}{2!}}+{\tfrac {x^{4}}{4!}}-{\tfrac {x^{6}}{6!}}+\ldots =\\&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\tfrac {x^{2n}}{(2n)!}},\\\operatorname {tg} x&=x+{\tfrac {x^{3}}{3}}+{\tfrac {2x^{5}}{15}}+\ldots =\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\tfrac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1},\quad |x|<{\tfrac {\pi }{2}},\end{aligned}}}

gdzieBn{\displaystyle B_{n}} toliczby Bernoulliego,

ctg⁡x=1x−x3−x345−2x5945−…==∑n=0∞(−1)n22nB2nx2n−1(2n)!,0<|x|<π,sec⁡x=1+x22+5x424+61x6720+…==∑n=0∞(−1)nE2n(2n)!x2n,|x|<π2,{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {ctg} x&={\tfrac {1}{x}}-{\tfrac {x}{3}}-{\tfrac {x^{3}}{45}}-{\tfrac {2x^{5}}{945}}-\ldots =\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\tfrac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\quad 0<|x|<\pi ,\\\sec x&=1+{\tfrac {x^{2}}{2}}+{\tfrac {5x^{4}}{24}}+{\tfrac {61x^{6}}{720}}+\ldots =\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\tfrac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n},\quad |x|<{\tfrac {\pi }{2}},\end{aligned}}}

gdzieEn{\displaystyle E_{n}} toliczby Eulera,

cosec⁡x=1x+x6+7x3360+31x515120+…==∑n=0∞(−1)n+12(22n−1−1)B2nx2n−1(2n)!,0<|x|<π.{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cosec} x&={\tfrac {1}{x}}+{\tfrac {x}{6}}+{\tfrac {7x^{3}}{360}}+{\tfrac {31x^{5}}{15120}}+\ldots =\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\tfrac {(-1)^{n+1}2(2^{2n-1}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\quad 0<|x|<\pi .\end{aligned}}}

Każdą z funkcji trygonometrycznych, na dowolnymprzedziale zawierającym się w jej dziedzinie, można z dowolną dokładnościąjednostajnie przybliżaćwielomianami. W otoczeniu zera mogą do tego służyć początkowe wyrazy szeregu Taylora. Nie jest jednak możliwe jednostajne przybliżenie wielomianami funkcji trygonometrycznych w całej ich dziedzinie, jeśli dziedzina przybliżanej funkcji nie jest zbiorem liczb rzeczywistychR.{\displaystyle \mathbb {R} .}

 Zobacz też:twierdzenie Stone’a-Weierstrassa.

Przez równania funkcyjne

[edytuj |edytuj kod]

Twierdzenie: Istnieje dokładnie jedna parafunkcji rzeczywistych(s,c){\displaystyle (s,c)} taka, że dla każdegox,y∈R:{\displaystyle x,y\in \mathbb {R} {:}}

{s(x)2+c(x)2=1s(x+y)=s(x)c(y)+c(x)s(y)c(x+y)=c(x)c(y)−s(x)s(y)0<xc(x)<s(x)<x dla 0<x<1{\displaystyle {\begin{cases}s(x)^{2}+c(x)^{2}=1\\[2pt]s(x+y)=s(x)c(y)+c(x)s(y)\\[2pt]c(x+y)=c(x)c(y)-s(x)s(y)\\[2pt]0<xc(x)<s(x)<x\ \mathrm {dla} \ 0<x<1\end{cases}}}

Tymi funkcjami są[32]:

s(x)=sin⁡x,c(x)=cos⁡x.{\displaystyle s(x)=\sin x,\quad c(x)=\cos x.}

Funkcje trygonometryczne sinus i cosinus można zdefiniować[33] również jako jedyne funkcjes(x){\displaystyle s(x)} orazc(x){\displaystyle c(x)} spełniające poniższe trzy warunki:

{s(x1−x2)=s(x1)c(x2)−c(x1)s(x2)c(x1−x2)=c(x1)c(x2)+s(x1)s(x2)limx→0s(x)x=1{\displaystyle {\begin{cases}s(x_{1}-x_{2})=s(x_{1})c(x_{2})-c(x_{1})s(x_{2})\\[2pt]c(x_{1}-x_{2})=c(x_{1})c(x_{2})+s(x_{1})s(x_{2})\\[2pt]\lim _{x\to 0}{\tfrac {s(x)}{x}}=1\end{cases}}}

Przez równania różniczkowe

[edytuj |edytuj kod]

Sinus i cosinus są rozwiązaniami szczególnymirównania różniczkowego

y″=−y,{\displaystyle y''=-y,}

które opisuje m.in. ruch masy podwieszonej nasprężynie (tzw.oscylator harmoniczny, patrzHarmoniki).

Sinus jest jedynym rozwiązaniem tego równania spełniającym warunki[34]:

{y(0)=0y′(0)=1{\displaystyle {\begin{cases}y(0)=0\\[2pt]y\,'(0)=1\end{cases}}}

Cosinus natomiast jest jedynym rozwiązaniem, dla którego[34]

{y(0)=1y′(0)=0{\displaystyle {\begin{cases}y(0)=1\\[2pt]y\,'(0)=0\end{cases}}}

Przez iloczyny nieskończone

[edytuj |edytuj kod]

Funkcje trygonometryczne można też wprowadzić za pomocąiloczynów nieskończonych[35]:

sin⁡x=x∏n=1∞(1−x2π2n2),{\displaystyle \sin x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\tfrac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right),}
cos⁡x=∏n=1∞(1−x2π2(n−12)2).{\displaystyle \cos x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\tfrac {x^{2}}{\pi ^{2}(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right).}

Przez ułamki łańcuchowe

[edytuj |edytuj kod]

Niektóre funkcje trygonometryczne można wyrazić w postaciułamków łańcuchowych[36][37][38]:

sin⁡x=x1+x2(2⋅3−x2)+2⋅3x2(4⋅5−x2)+4⋅5x2(6⋅7−x2)+…,{\displaystyle \sin x={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x^{2}}{(2\cdot 3-x^{2})+{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{(4\cdot 5-x^{2})+{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{(6\cdot 7-x^{2})+\ldots }}}}}}}},}
tg⁡x=x1−x23−x25−x27−…=11x−13x−15x−17x−…,{\displaystyle \operatorname {tg} x={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{3-{\cfrac {x^{2}}{5-{\cfrac {x^{2}}{7-\ldots }}}}}}}}={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {3}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {5}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {7}{x}}-\ldots }}}}}}}},}
ctg⁡x=1x−x3−x25−x27−x29−…{\displaystyle \operatorname {ctg} x={\cfrac {1}{x}}-{\cfrac {x}{3-{\cfrac {x^{2}}{5-{\cfrac {x^{2}}{7-{\cfrac {x^{2}}{9-\ldots }}}}}}}}}

Przez ogólniejsze funkcje

[edytuj |edytuj kod]

Funkcje trygonometryczne można też zdefiniować analitycznie jako szczególne przypadkifunkcji Bessela,funkcji Mathieu albofunkcji eliptycznych Jacobiego[39].

Własności w dziedzinie rzeczywistej

[edytuj |edytuj kod]

Przebieg zmienności funkcji

[edytuj |edytuj kod]

W matematyce na poziomie szkół średnich i w wielu praktycznych zastosowaniach rozpatruje się funkcje trygonometryczne dla argumentu będącegoliczbą rzeczywistą. Mają one wówczas następujące własności:

Dziedzina iasymptoty
Przeciwdziedzina
Ekstrema
Miejsca zerowe
Parzystość i nieparzystość
Okresowość
gdziek{\displaystyle k} jest liczbą całkowitą.
Ciągłość iróżniczkowalność
  • Funkcje sinus i cosinus są ciągłe i różniczkowalne w każdym punkcie prostej rzeczywistej. Tangens, cotangens, secans i cosecans także są ciągłe i różniczkowalne w swoich dziedzinach (zob. wyżej).
Odwracalność
Własności algebraiczne

Wykresy

[edytuj |edytuj kod]

Cosinusoida jest sinusoidąprzesuniętą owektor[−π2,0].{\displaystyle \left[-{\tfrac {\pi }{2}},0\right].} Szare linie pionowe na dolnych wykresach to asymptoty. Wykresy można powiększyć przez kliknięcie myszką.


Wartości dla typowych kątów

[edytuj |edytuj kod]

Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 0°, 15°, 30°, 45°, 60°, 75°, 90°, 180°[44]:

radiany0{\displaystyle 0}π12{\displaystyle {\frac {\pi }{12}}}π6{\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}π4{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}π3{\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}5π12{\displaystyle {\frac {5\pi }{12}}}π2{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}π{\displaystyle \pi }
stopnie0∘{\displaystyle 0^{\circ }}15∘{\displaystyle 15^{\circ }}30∘{\displaystyle 30^{\circ }}45∘{\displaystyle 45^{\circ }}60∘{\displaystyle 60^{\circ }}75∘{\displaystyle 75^{\circ }}90∘{\displaystyle 90^{\circ }}180∘{\displaystyle 180^{\circ }}
sin{\displaystyle \sin }0{\displaystyle 0}6−24{\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}}12{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}22{\displaystyle {\tfrac {\sqrt {2}}{2}}}32{\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}}6+24{\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}}1{\displaystyle 1}0{\displaystyle 0}
cos{\displaystyle \cos }1{\displaystyle 1}6+24{\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}}32{\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}}22{\displaystyle {\tfrac {\sqrt {2}}{2}}}12{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}6−24{\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}}0{\displaystyle 0}−1{\displaystyle -1}
tg{\displaystyle \operatorname {tg} }0{\displaystyle 0}2−3{\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}33{\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{3}}}1{\displaystyle 1}3{\displaystyle {\sqrt {3}}}2+3{\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}nieokreślony0{\displaystyle 0}
ctg{\displaystyle \operatorname {ctg} }nieokreślony2+3{\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}3{\displaystyle {\sqrt {3}}}1{\displaystyle 1}33{\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{3}}}2−3{\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}0{\displaystyle 0}nieokreślony
sec{\displaystyle \sec }1{\displaystyle 1}6−2{\displaystyle {\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}233{\displaystyle {\tfrac {2{\sqrt {3}}}{3}}}2{\displaystyle {\sqrt {2}}}2{\displaystyle 2}6+2{\displaystyle {\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}nieokreślony−1{\displaystyle -1}
cosec{\displaystyle \operatorname {cosec} }nieokreślony6+2{\displaystyle {\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}2{\displaystyle 2}2{\displaystyle {\sqrt {2}}}233{\displaystyle {\tfrac {2{\sqrt {3}}}{3}}}6−2{\displaystyle {\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}1{\displaystyle 1}nieokreślony

Wartości wszystkich funkcji trygonometrycznych dla argumentów postacinπm,n∈Z,m∈N+{\displaystyle {\tfrac {n\pi }{m}},n\in \mathbb {Z} ,m\in \mathbb {N_{+}} } dają się zapisać za pomocą skończonego wzoru z użyciem podstawowychdziałań arytmetycznych ipierwiastka kwadratowego wtedy i tylko wtedy, gdy po skróceniu ułamkanm{\displaystyle {\tfrac {n}{m}}} liczbam{\displaystyle m} jest iloczynempotęgi dwójki i różnychliczb pierwszych Fermata (jak dotąd znanych jest pięć takich liczb: 3, 5, 17, 257, 65537)[45][46]. W szczególności nie da się zapisać w ten sposób dokładnej wartości funkcji kąta 1°, gdyż1∘=π180,{\displaystyle 1^{\circ }={\tfrac {\pi }{180}},} a180=22⋅32⋅5{\displaystyle 180=2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5} ma drugą potęgę przy trójce. Warunek nam{\displaystyle m} jest identyczny jak warunek konstruowalnościm{\displaystyle m}-kąta foremnego za pomocą cyrkla i linijki (por.twierdzenie Gaussa-Wantzela).

Wzory redukcyjne

[edytuj |edytuj kod]
 Osobny artykuł:Trygonometryczne wzory redukcyjne.

Wzory redukcyjne pozwalają sprowadzić dowolny rzeczywisty argument funkcji trygonometrycznej do argumentu z przedziału[0,π2),{\displaystyle [0,{\tfrac {\pi }{2}}),} czyli[0∘,90∘){\displaystyle [0^{\circ },90^{\circ })}[47]:

I ćwiartkaII ćwiartkaIII ćwiartkaIV ćwiartka
ϕ{\displaystyle \phi }90∘−α{\displaystyle 90^{\circ }-\alpha }90∘+α{\displaystyle 90^{\circ }+\alpha }180∘−α{\displaystyle 180^{\circ }-\alpha }180∘+α{\displaystyle 180^{\circ }+\alpha }270∘−α{\displaystyle 270^{\circ }-\alpha }270∘+α{\displaystyle 270^{\circ }+\alpha }360∘−α{\displaystyle 360^{\circ }-\alpha }
π2−α{\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}-\alpha }π2+α{\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}+\alpha }π−α{\displaystyle \pi -\alpha }π+α{\displaystyle \pi +\alpha }32π−α{\displaystyle {\tfrac {3}{2}}\pi -\alpha }32π+α{\displaystyle {\tfrac {3}{2}}\pi +\alpha }2π−α{\displaystyle 2\pi -\alpha }
sin⁡ϕ{\displaystyle \sin \phi }cos⁡α{\displaystyle \cos \alpha }cos⁡α{\displaystyle \cos \alpha }sin⁡α{\displaystyle \sin \alpha }−sin⁡α{\displaystyle -\sin \alpha }−cos⁡α{\displaystyle -\cos \alpha }−cos⁡α{\displaystyle -\cos \alpha }−sin⁡α{\displaystyle -\sin \alpha }
cos⁡ϕ{\displaystyle \cos \phi }sin⁡α{\displaystyle \sin \alpha }−sin⁡α{\displaystyle -\sin \alpha }−cos⁡α{\displaystyle -\cos \alpha }−cos⁡α{\displaystyle -\cos \alpha }−sin⁡α{\displaystyle -\sin \alpha }sin⁡α{\displaystyle \sin \alpha }cos⁡α{\displaystyle \cos \alpha }
tg⁡ϕ{\displaystyle \operatorname {tg} \phi }ctg⁡α{\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha }−ctg⁡α{\displaystyle -\operatorname {ctg} \alpha }−tg⁡α{\displaystyle -\operatorname {tg} \alpha }tg⁡α{\displaystyle \operatorname {tg} \alpha }ctg⁡α{\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha }−ctg⁡α{\displaystyle -\operatorname {ctg} \alpha }−tg⁡α{\displaystyle -\operatorname {tg} \alpha }
ctg⁡ϕ{\displaystyle \operatorname {ctg} \phi }tg⁡α{\displaystyle \operatorname {tg} \alpha }−tg⁡α{\displaystyle -\operatorname {tg} \alpha }−ctg⁡α{\displaystyle -\operatorname {ctg} \alpha }ctg⁡α{\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha }tg⁡α{\displaystyle \operatorname {tg} \alpha }−tg⁡α{\displaystyle -\operatorname {tg} \alpha }−ctg⁡α{\displaystyle -\operatorname {ctg} \alpha }
sec⁡ϕ{\displaystyle \sec \phi }cosec⁡α{\displaystyle \operatorname {cosec} \alpha }−cosec⁡α{\displaystyle -\operatorname {cosec} \alpha }−sec⁡α{\displaystyle -\sec \alpha }−sec⁡α{\displaystyle -\sec \alpha }−cosec⁡α{\displaystyle -\operatorname {cosec} \alpha }cosec⁡α{\displaystyle \operatorname {cosec} \alpha }sec⁡α{\displaystyle \sec \alpha }
cosec⁡ϕ{\displaystyle \operatorname {cosec} \phi }sec⁡α{\displaystyle \sec \alpha }sec⁡α{\displaystyle \sec \alpha }cosec⁡α{\displaystyle \operatorname {cosec} \alpha }−cosec⁡α{\displaystyle -\operatorname {cosec} \alpha }−sec⁡α{\displaystyle -\sec \alpha }−sec⁡α{\displaystyle -\sec \alpha }−cosec⁡α{\displaystyle -\operatorname {cosec} \alpha }

Aby zapamiętać zmianę funkcji, można wspomagać się następującą obserwacją: funkcja przechodzi w swojąkofunkcję, jeżeli rozpatrywany kąt ma postać90∘±α{\displaystyle 90^{\circ }\pm \alpha } bądź270∘±α,{\displaystyle 270^{\circ }\pm \alpha ,} w przypadkach0∘±α=360∘±α{\displaystyle 0^{\circ }\pm \alpha =360^{\circ }\pm \alpha } oraz180∘±α{\displaystyle 180^{\circ }\pm \alpha } funkcja nie ulega zmianie. Znaki w poszczególnych ćwiartkach układu dla odpowiednich funkcji w powyższej tabelce zgodne są ze znakami redukowanych funkcji w danej ćwiartce według tabeli[40]:

Ćwiartki układu współrzędnych
I ćwiartkaII ćwiartkaIII ćwiartkaIV ćwiartka
sin⁡α{\displaystyle \sin \alpha }++––
cos⁡α{\displaystyle \cos \alpha }+––+
tg⁡α{\displaystyle \operatorname {tg} \alpha }+–+–
ctg⁡α{\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha }+–+–
sec⁡α{\displaystyle \sec \alpha }+––+
cosec⁡α{\displaystyle \operatorname {cosec} \alpha }++––

Metodąmnemotechniczną zapamiętania znaków dla stosowanych najczęściej w redukcji pierwszych czterech spośród powyższych funkcji jest popularny wierszyk nieznanego autora:

W pierwszej ćwiartce są dodatnie,
w drugiej tylko sinus,
w trzeciej tangens i cotangens,
a w czwartej cosinus.

W innych wersjach pierwszy wers brzmi:

W pierwszej ćwiartce same plusy lubW pierwszej wszystkie są dodatnie.

Podstawowe tożsamości trygonometryczne

[edytuj |edytuj kod]
 Osobny artykuł:Tożsamości trygonometryczne.

Związki między funkcjami trygonometrycznymi spełnione dla dowolnego argumentu ich dziedziny to tzw.tożsamości trygonometryczne. Są one prawdziwe zarówno w dziedzinie rzeczywistej, jak i zespolonej. Często używane są:

sin2⁡α+cos2⁡α=1{\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1}
  • definicja tangensa i cotangensa za pomocą sinusa i cosinusa (pozwala wyprowadzić tożsamości dla tangensa i cotangensa z tożsamości dla sinusa i cosinusa)[48]:
tg⁡α=sin⁡αcos⁡α,α≠π2+kπctg⁡α=cos⁡αsin⁡α,α≠kπ,k∈Z.{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tg} \alpha &={\tfrac {\sin \alpha }{\cos \alpha }},\;\alpha \neq {\tfrac {\pi }{2}}+k\pi \\\operatorname {ctg} \alpha &={\tfrac {\cos \alpha }{\sin \alpha }},\;\alpha \neq k\pi \end{aligned}},\quad k\in \mathbb {Z} .}
Geometryczny dowód wzorusin⁡(α+β)=sin⁡α⋅cos⁡β+cos⁡α⋅sin⁡β{\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cdot \cos \beta +\cos \alpha \cdot \sin \beta }
  • wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów[48]:
sin⁡(α±β)=sin⁡α⋅cos⁡β±cos⁡α⋅sin⁡β{\displaystyle \sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cdot \cos \beta \pm \cos \alpha \cdot \sin \beta }
cos⁡(α±β)=cos⁡α⋅cos⁡β∓sin⁡α⋅sin⁡β{\displaystyle \cos(\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cdot \cos \beta \mp \sin \alpha \cdot \sin \beta }
  • wzory na sumę i różnicę sinusów i cosinusów[48]:
sin⁡α±sin⁡β=2sin⁡α±β2⋅cos⁡α∓β2{\displaystyle \sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\tfrac {\alpha \pm \beta }{2}}\cdot \cos {\tfrac {\alpha \mp \beta }{2}}}
cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡α+β2⋅cos⁡α−β2{\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\tfrac {\alpha +\beta }{2}}\cdot \cos {\tfrac {\alpha -\beta }{2}}}
cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡α+β2⋅sin⁡α−β2{\displaystyle \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\tfrac {\alpha +\beta }{2}}\cdot \sin {\tfrac {\alpha -\beta }{2}}}
  • wzory na sinus i cosinus podwojonego argumentu[49]:
sin⁡2α=2sin⁡α⋅cos⁡α{\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cdot \cos \alpha }
cos⁡2α=cos2⁡α−sin2⁡α=2cos2⁡α−1=1−2sin2⁡α{\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha -1=1-2\sin ^{2}\alpha }
  • wzory na sinus i cosinus połowy argumentu[50]:
|sin⁡12α|=1−cosα2{\displaystyle \left|\sin {\tfrac {1}{2}}\alpha \right|={\sqrt {\tfrac {1-cos\alpha }{2}}}}
|cos⁡12α|=1+cosα2{\displaystyle \left|\cos {\tfrac {1}{2}}\alpha \right|={\sqrt {\tfrac {1+cos\alpha }{2}}}}
  • iloczyn w postaci sumy[50]:
cos⁡α⋅cos⁡β=cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β)2{\displaystyle \cos \alpha \cdot \cos \beta ={\tfrac {\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )}{2}}}
sin⁡α⋅sin⁡β=cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β)2{\displaystyle \sin \alpha \cdot \sin \beta ={\tfrac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{2}}}
sin⁡α⋅cos⁡β=sin⁡(α−β)+sin⁡(α+β)2{\displaystyle \sin \alpha \cdot \cos \beta ={\tfrac {\sin(\alpha -\beta )+\sin(\alpha +\beta )}{2}}}
  • wzory na wyrażanie jednych funkcji trygonometrycznych przez inne[48][51]:
sin⁡α=cos⁡(π2−α){\displaystyle \sin \alpha =\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\alpha \right)}
cos⁡α=sin⁡(π2−α){\displaystyle \cos \alpha =\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\alpha \right)}
tg⁡α=sin⁡αcos⁡α=ctg⁡(π2−α)=1ctg⁡α{\displaystyle \operatorname {tg} \alpha ={\tfrac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}=\operatorname {ctg} \left({\tfrac {\pi }{2}}-\alpha \right)={\tfrac {1}{\operatorname {ctg} \alpha }}}
ctg⁡α=cos⁡αsin⁡α=tg⁡(π2−α)=1tg⁡α{\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha ={\tfrac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}=\operatorname {tg} \left({\tfrac {\pi }{2}}-\alpha \right)={\tfrac {1}{\operatorname {tg} \alpha }}}
sec⁡α=1cos⁡α=cosec⁡(π2−α){\displaystyle \sec \alpha ={\tfrac {1}{\cos \alpha }}=\operatorname {cosec} \left({\tfrac {\pi }{2}}-\alpha \right)}
cosec⁡α=1sin⁡α=sec⁡(π2−α){\displaystyle \operatorname {cosec} \alpha ={\tfrac {1}{\sin \alpha }}=\sec \left({\tfrac {\pi }{2}}-\alpha \right)}
sin2⁡α=1−cos2⁡α=tg2⁡α1+tg2⁡α=11+ctg2⁡α1−sin2⁡α=cos2⁡α=11+tg2⁡α=ctg2⁡α1+ctg2⁡αsin2⁡α1−sin2⁡α=1−cos2⁡αcos2⁡α=tg2⁡α=1ctg2⁡α1−sin2⁡αsin2⁡α=cos2⁡α1−cos2⁡α=1tg2⁡α=ctg2⁡α{\displaystyle {\begin{matrix}\color {red}{\sin ^{2}\alpha }=&1-\cos ^{2}\alpha =&{\tfrac {\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}=&{\tfrac {1}{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}\\1-\sin ^{2}\alpha =&\color {red}{\cos ^{2}\alpha }=&{\tfrac {1}{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}=&{\tfrac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}\\{\tfrac {\sin ^{2}\alpha }{1-\sin ^{2}\alpha }}=&{\tfrac {1-\cos ^{2}\alpha }{\cos ^{2}\alpha }}=&\color {red}{\operatorname {tg} ^{2}\alpha }=&{\tfrac {1}{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}\\{\tfrac {1-\sin ^{2}\alpha }{\sin ^{2}\alpha }}=&{\tfrac {\cos ^{2}\alpha }{1-\cos ^{2}\alpha }}=&{\tfrac {1}{\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}=&\color {red}{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }\end{matrix}}}

(Zastrzeżenie formalne: Równości powyżej są prawdziwe tylko dla argumentów, dla których wszystkie użyte funkcje są określone, a w mianownikach nie występują zera)

Pochodne funkcji trygonometrycznych

[edytuj |edytuj kod]

Zachodzą równości[52]:

sin′⁡x=cos⁡x=sin⁡(π2+x){\displaystyle \sin 'x=\cos x=\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}+x\right)}
cos′⁡x=−sin⁡x=cos⁡(π2+x){\displaystyle \cos 'x=-\sin x=\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}+x\right)}
tg′⁡x=1cos2⁡x=sec2⁡x=1+tg2⁡x dla x≠π2+kπ,k∈Z{\displaystyle \operatorname {tg} 'x={\tfrac {1}{\cos ^{2}x}}=\sec ^{2}x=1+\operatorname {tg} ^{2}x{\mbox{ dla }}x\neq {\tfrac {\pi }{2}}+k\pi ,k\in \mathbb {Z} }
ctg′⁡x=−1sin2⁡x=−cosec2⁡x=−(1+ctg2⁡x) dla x≠kπ,k∈Z{\displaystyle \operatorname {ctg} 'x=-{\tfrac {1}{\sin ^{2}x}}=-\operatorname {cosec} ^{2}x=-(1+\operatorname {ctg} ^{2}x){\mbox{ dla }}x\neq k\pi ,k\in \mathbb {Z} }
sec′⁡x=sin⁡xcos2⁡x=tg⁡xsec⁡x dla x≠π2+kπ,k∈Z{\displaystyle \sec 'x={\tfrac {\sin x}{\cos ^{2}x}}=\operatorname {tg} x\sec x{\mbox{ dla }}x\neq {\tfrac {\pi }{2}}+k\pi ,k\in \mathbb {Z} }
cosec′⁡x=−cos⁡xsin2⁡x=−ctg⁡xcosec⁡x dla x≠kπ,k∈Z{\displaystyle \operatorname {cosec} 'x=-{\tfrac {\cos x}{\sin ^{2}x}}=-\operatorname {ctg} x\operatorname {cosec} x{\mbox{ dla }}x\neq k\pi ,k\in \mathbb {Z} }

Można z nich otrzymać pochodne wyższych rzędów:

sin(n)⁡x=sin⁡(nπ2+x)={sin⁡xn=4kcos⁡xn=4k+1−sin⁡xn=4k+2−cos⁡xn=4k+3 dla k∈{0,1,2,…},{\displaystyle \sin ^{(n)}x=\sin \left({\tfrac {n\pi }{2}}+x\right)={\begin{cases}\sin x&n=4k\\[2pt]\cos x&n=4k+1\\[2pt]-\sin x&n=4k+2\\[2pt]-\cos x&n=4k+3\end{cases}}{\mbox{ dla }}k\in \{0,1,2,\dots \},}
cos(n)⁡x=cos⁡(nπ2+x)={cos⁡xn=4k−sin⁡xn=4k+1−cos⁡xn=4k+2sin⁡xn=4k+3 dla k∈{0,1,2,…}.{\displaystyle \cos ^{(n)}x=\cos \left({\tfrac {n\pi }{2}}+x\right)={\begin{cases}\cos x&n=4k\\[2pt]-\sin x&n=4k+1\\[2pt]-\cos x&n=4k+2\\[2pt]\sin x&n=4k+3\end{cases}}{\mbox{ dla }}k\in \{0,1,2,\dots \}.}

Wzory nan{\displaystyle n}-te pochodne pozostałych funkcji trygonometrycznych również istnieją, jednak są o wiele bardziej skomplikowane[53][54][55][56].

Całki funkcji trygonometrycznych

[edytuj |edytuj kod]
 Zobacz więcej w artykuleCałkowanie przez podstawienie, w sekcjiCałkowanie funkcji trygonometrycznych.

Podstawowe całki to[57]:

∫sin⁡xdx=−cos⁡x+C,{\displaystyle \int \sin x\mathrm {d} x=-\cos x+C,}
∫cos⁡xdx=sin⁡x+C,{\displaystyle \int \cos x\mathrm {d} x=\sin x+C,}
∫tg⁡xdx=−ln⁡|cos⁡x|+C,{\displaystyle \int \operatorname {tg} x\mathrm {d} x=-\ln |\cos x|+C,}
∫ctg⁡xdx=ln⁡|sin⁡x|+C,{\displaystyle \int \operatorname {ctg} x\mathrm {d} x=\ln |\sin x|+C,}
∫sec⁡xdx=ln⁡|sec⁡x+tg⁡x|+C,{\displaystyle \int \sec x\mathrm {d} x=\ln |\sec x+\operatorname {tg} x|+C,}
∫cosec⁡xdx=−ln⁡|cosec⁡x+ctg⁡x|+C,{\displaystyle \int \operatorname {cosec} x\mathrm {d} x=-\ln |\operatorname {cosec} x+\operatorname {ctg} x|+C,}

gdzieC∈R.{\displaystyle C\in \mathbb {R} .}


Zobacz w Wikiźródłachtabelę całek funkcji trygonometrycznych

Każda całkafunkcji wymiernej postaciR(sin⁡x,cos⁡x){\displaystyle R(\sin x,\cos x)} jest elementarna, można jąobliczyć przez podstawienie[58]:

t=tg⁡x2,{\displaystyle t=\operatorname {tg} {\tfrac {x}{2}},}

wówczas:

d⁡x=2d⁡t1+t2,{\displaystyle \operatorname {d} x={\tfrac {2\operatorname {d} t}{1+t^{2}}},}
sin⁡x=2t1+t2,{\displaystyle \sin x={\tfrac {2t}{1+t^{2}}},}
cos⁡x=1−t21+t2,{\displaystyle \cos x={\tfrac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},}
tg⁡x=2t1−t2,{\displaystyle \operatorname {tg} x={\tfrac {2t}{1-t^{2}}},}
ctg⁡x=1−t22t,{\displaystyle \operatorname {ctg} x={\tfrac {1-t^{2}}{2t}},}
sec⁡x=1+t21−t2,{\displaystyle \sec x={\tfrac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},}
cosec⁡x=1+t22t.{\displaystyle \operatorname {cosec} x={\tfrac {1+t^{2}}{2t}}.}

Własności w dziedzinie zespolonej

[edytuj |edytuj kod]

Używającdefinicji analitycznych funkcji trygonometrycznych można te funkcje uogólnić m.in. na liczby zespolone.

Porównanie z funkcjami zmiennej rzeczywistej

[edytuj |edytuj kod]

Uogólnione w ten sposób funkcje trygonometryczne zachowują większość własności zmiennej rzeczywistej:

Zasadniczą różnicą jest brak ograniczoności funkcji sinus i cosinus. Przykładowo cosinus niezerowego argumentuurojonego jest zawsze liczbą rzeczywistą większą od1,{\displaystyle 1,} w szczególności:

cos⁡i=12(e−1+e)≈1,543;sin⁡i=12i(e−1−e)≈1,175i{\displaystyle \cos i={\tfrac {1}{2}}(e^{-1}+e)\approx 1{,}543;\qquad \sin i={\tfrac {1}{2i}}(e^{-1}-e)\approx 1{,}175i}

Funkcje trygonometryczne zmiennej zespolonej są (nieskończenie)wielokrotne na całej płaszczyźnie zespolonej.

Części rzeczywiste, urojone, moduły i argumenty

[edytuj |edytuj kod]
FunkcjaCzęść rzeczywistaCzęść urojonaModuł
sin⁡(x±iy){\displaystyle \sin(x\pm iy)}sin⁡xcosh⁡y{\displaystyle \sin x\cosh y}±cos⁡xsinh⁡y{\displaystyle \pm \cos x\sinh y}sin2⁡x+sinh2⁡y{\displaystyle {\sqrt {\sin ^{2}x+\sinh ^{2}y}}}
cos⁡(x±iy){\displaystyle \cos(x\pm iy)}cos⁡xcosh⁡y{\displaystyle \cos x\cosh y}∓sin⁡xsinh⁡y{\displaystyle \mp \sin x\sinh y}cos2⁡x+sinh2⁡y{\displaystyle {\sqrt {\cos ^{2}x+\sinh ^{2}y}}}
tg⁡(x±iy){\displaystyle \operatorname {tg} (x\pm iy)}sin⁡2xcos⁡2x+cosh⁡2y{\displaystyle {\frac {\sin 2x}{\cos 2x+\cosh 2y}}}±sinh⁡2ycos⁡2x+cosh⁡2y{\displaystyle \pm {\frac {\sinh 2y}{\cos 2x+\cosh 2y}}}sin2⁡2x+sinh2⁡2y(cos⁡2x+cosh⁡2y)2{\displaystyle {\sqrt {\frac {\sin ^{2}2x+\sinh ^{2}2y}{(\cos 2x+\cosh 2y)^{2}}}}}
ctg⁡(x±iy){\displaystyle \operatorname {ctg} (x\pm iy)}−sin⁡2xcos⁡2x−cosh⁡2y{\displaystyle -{\frac {\sin 2x}{\cos 2x-\cosh 2y}}}±sinh⁡2ycos⁡2x−cosh⁡2y{\displaystyle \pm {\frac {\sinh 2y}{\cos 2x-\cosh 2y}}}−cos⁡2x+cosh⁡2ycos⁡2x−cosh⁡2y{\displaystyle {\sqrt {-{\frac {\cos 2x+\cosh 2y}{\cos 2x-\cosh 2y}}}}}

Argumentφ{\displaystyle \varphi } oblicza się według wzorów:

sin⁡φ=Im⁡ω|ω|,{\displaystyle \sin \varphi ={\tfrac {\operatorname {Im} \omega }{|\omega |}},}
cos⁡φ=Re⁡ω|ω|,{\displaystyle \cos \varphi ={\tfrac {\operatorname {Re} \omega }{|\omega |}},}

gdzieω{\displaystyle \omega } to wartość odpowiedniej funkcji trygonometrycznej.

Wzór Eulera

[edytuj |edytuj kod]
 Osobny artykuł:Wzór Eulera.

W dziedzinie zespolonej zachodzi związek, zwany wzorem Eulera:

eiz=cos⁡z+isin⁡z.{\displaystyle e^{iz}=\cos z+i\sin z.}

Wynika z niego, iż:

sin⁡z=eiz−e−iz2i,{\displaystyle \sin z={\tfrac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}},}
cos⁡z=eiz+e−iz2,{\displaystyle \cos z={\tfrac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}},}
tg⁡z=eiz−e−iz(eiz+e−iz)i,{\displaystyle \operatorname {tg} z={\tfrac {e^{iz}-e^{-iz}}{(e^{iz}+e^{-iz})i}},}
ctg⁡z=eiz+e−izeiz−e−izi,{\displaystyle \operatorname {ctg} z={\tfrac {e^{iz}+e^{-iz}}{e^{iz}-e^{-iz}}}i,}
sec⁡z=2eiz+e−iz,{\displaystyle \sec z={\tfrac {2}{e^{iz}+e^{-iz}}},}
cosec⁡z=2ieiz−e−iz,{\displaystyle \operatorname {cosec} z={\tfrac {2i}{e^{iz}-e^{-iz}}},}

gdzie:

Wzory te pozwalają na niemal mechaniczne upraszczanie wyrażeń trygonometrycznych.

Wykresy

[edytuj |edytuj kod]

Liczby zespolone napłaszczyźnie zespolonej zostały oznaczone kolorami, zgodnie zumownym schematem. Odcienie barw określająargument, a jasność –moduł wyniku

  • Funkcja sinus
    Funkcja sinus
  • Funkcja cosinus
    Funkcja cosinus
  • Funkcja tangens
    Funkcja tangens
  • Funkcja cotangens
    Funkcja cotangens
  • Funkcja secans
    Funkcja secans
  • Funkcja cosecans
    Funkcja cosecans
  • Kod kolorów
    Kod kolorów

Zastosowania matematyczne

[edytuj |edytuj kod]

Ze względu na obecność funkcji trygonometrycznych w najróżniejszych działach nauki i techniki nie jest możliwe podanie wszystkich ich zastosowań[59]. Poniżej wymieniono więc tylko niektóre.

Geometria

[edytuj |edytuj kod]

Bezpośrednim zastosowaniem funkcji trygonometrycznych wgeometrii elementarnej jest wyznaczanie długości boków lub kątówtrójkąta. Poniżej podano kilka innych zastosowań.

Twierdzenia sinusów, cosinusów i tangensów

[edytuj |edytuj kod]
 Osobne artykuły:Twierdzenie sinusów, Twierdzenie cosinusów i Twierdzenie tangensów.
Oznaczenia
Geometryczny dowód twierdzenia cosinusów dla kątów ostrych. Obydwie figury mają równe pola powierzchni.

W każdym trójkącie (przy oznaczeniach standardowych, zob. rysunek) zachodzą następujące równości:

Twierdzenie sinusów, inaczejtwierdzenieSnelliusa[60]:

asin⁡α=bsin⁡β=csin⁡γ=2R{\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R}

(R{\displaystyle R} jest promieniemokręgu opisanego)

Twierdzenie cosinusów, inaczejtwierdzenieCarnota[61]:

c2=a2+b2−2abcos⁡γ{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }

Twierdzenie tangensów, inaczejtwierdzenieRegiomontana[61]:

a−ba+b=tg⁡α−β2tg⁡α+β2.{\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\operatorname {tg} {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\operatorname {tg} {\frac {\alpha +\beta }{2}}}}.}

W geometrii sferycznej istnieje takżetwierdzenie haversinów, związane z nieużywaną dziś funkcją trygonometrycznąhaversin⁡x=1−cos⁡x2,{\displaystyle \operatorname {haversin} x=1-\cos {\tfrac {x}{2}},} pozwalające na obliczanie odległości pomiędzy dwoma punktami nasferze[13].

Wzory na pole trójkąta

[edytuj |edytuj kod]

Wzory na pole trójkąta często wykorzystują funkcje trygonometryczne[59]:

S=bcsin⁡α2{\displaystyle S={\frac {bc\sin \alpha }{2}}}

lub

S=2R2sin⁡αsin⁡βsin⁡γ{\displaystyle S=2R^{2}\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma }

lub

S=a2+b2+c24(ctg⁡α+ctg⁡β+ctg⁡γ),{\displaystyle S={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4(\operatorname {ctg} \alpha +\operatorname {ctg} \beta +\operatorname {ctg} \gamma )}},}

gdzie:

Iloczyny wektorów

[edytuj |edytuj kod]
 Osobne artykuły:Iloczyn skalarny i Iloczyn wektorowy.

W geometrii ialgebrze liniowej definiowane są iloczynywektorów, m.in. iloczyny skalarny i wektorowy. Czasem konieczne jest obliczenie wartości iloczynu skalarnego lub wektorowego dla wektorów o znanychkierunkach,zwrotach idługościach. Wzory wykorzystują funkcje trygonometryczne kątaθ{\displaystyle \theta } między wektorami:

gdzien→{\displaystyle {\vec {n}}} jest ustalonymwektorem jednostkowymprostopadłym tak doa→,{\displaystyle {\vec {a}},} jak i dob→.{\displaystyle {\vec {b}}.}

Współrzędne biegunowe, sferyczne i walcowe

[edytuj |edytuj kod]
 Osobne artykuły:Układ współrzędnych biegunowych, Układ współrzędnych sferycznych i Układ współrzędnych walcowych.

Najczęściej w geometrii stosowany jestukład współrzędnych kartezjańskich. Niekiedy jednak wygodnie jest stosować inneukłady, w których niektóre współrzędne są wyznaczone za pomocą kątów. Do takich układów należyukład współrzędnych biegunowych,układ współrzędnych sferycznych (jego zastosowaniem są np.współrzędne geograficzne) iukład współrzędnych walcowych. Wówczas przydatne są funkcje trygonometryczne, m.in. do przeliczania takich współrzędnych na współrzędne kartezjańskie.

Geometria sferyczna

[edytuj |edytuj kod]
 Osobny artykuł:Geometria sferyczna.

Funkcje trygonometryczne są ważnymi narzędziamigeometrii sferycznej i jej zastosowań wastronomii,nawigacji igeodezji, gdzie służą m.in. do rozwiązywaniatrójkątów sferycznych.

 Zobacz też:reguła Nepera.

Analiza matematyczna

[edytuj |edytuj kod]

Szereg Fouriera

[edytuj |edytuj kod]
Przedstawienie fali prostokątnej w postaci szeregu harmonicznych

Funkcje{12π,sin⁡nxπ,cos⁡nxπ}{\displaystyle \left\{{\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}},{\tfrac {\sin nx}{\sqrt {\pi }}},{\tfrac {\cos nx}{\sqrt {\pi }}}\right\}} tworzą dla dowolnegon∈N+{\displaystyle n\in \mathbb {N} _{+}}układ ortonormalny. Dzięki temufunkcje okresoweS(x){\displaystyle S(x)} spełniającewarunki Dirichleta mogą być wyrażone w postaciszeregu Fouriera:

S(x)=12a0+∑n=1∞(ancos⁡2nπTx+bnsin⁡2nπTx).{\displaystyle S(x)={\tfrac {1}{2}}a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}\cos {\tfrac {2n\pi }{T}}x+b_{n}\sin {\tfrac {2n\pi }{T}}x\right).}

Można go również wyrazić za pomocą np. samych funkcji sinus. Poszczególne składowe tego szeregu nazywane sąharmonicznymi. Szereg Fouriera odgrywa wielką rolę w fizyce,teorii drgań, a nawetteorii muzyki (zob.szereg harmoniczny (muzyka),alikwoty).

Funkcja Weierstrassa

[edytuj |edytuj kod]
Funkcja Weierstrassa

Za pomocą szeregu trygonometrycznego definiowana jestfunkcja Weierstrassa, która jestciągła, jednak nie jest w żadnym punkcieróżniczkowalna[63]:

f(x)=∑n=0∞ancos⁡(bnπx),{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}\cos(b^{n}\pi x),}

gdziea{\displaystyle a} jest pewną liczbą z przedziału(0,1){\displaystyle (0,1)} natomiastb{\displaystyle b} jest liczbą nieparzystą, spełniającą warunekab>1+32π.{\displaystyle ab>1+{\tfrac {3}{2}}\pi .}

Funkcja Dirichleta

[edytuj |edytuj kod]

Za pomocą funkcji cosinus definiowana jest tzw.funkcja Dirichleta, która przyjmuje wartość 1 dla argumentów wymiernych i 0 dla niewymiernych[64]:

1Q(x)=limm→∞limn→∞cos2n⁡(m!πx).{\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }(x)=\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }\cos ^{2n}(m!\pi x).}

Teoria liczb

[edytuj |edytuj kod]

Funkcja Möbiusaμ(n){\displaystyle \mu (n)} może być wyrażona trygonometrycznie[65]:

μ(n)=∑1⩽x<n,NWD⁡(x,n)=1cos⁡2πxn.{\displaystyle \mu (n)=\sum _{\begin{smallmatrix}1\leqslant x<n,\\\operatorname {NWD} (x,n)=1\end{smallmatrix}}\!\!\!\!\!\!\!\!\cos {\tfrac {2\pi x}{n}}.}

Zastosowania poza matematyką

[edytuj |edytuj kod]

Funkcje trygonometryczne znalazły zastosowania w różnychnaukach ścisłych, w tym na pograniczu tych nauk zhumanistyką isztuką.

Nauki przyrodnicze

[edytuj |edytuj kod]
Krzywe Lissajous powstają przez złożenie sinusoidalnych drgań o różnej częstotliwości w pionie i w poziomie

Nauki społeczne

[edytuj |edytuj kod]

Nauki techniczne

[edytuj |edytuj kod]

Historia

[edytuj |edytuj kod]
 Zobacz więcej w artykuleTrygonometria, w sekcjiHistoria.

Polskie nazwy

[edytuj |edytuj kod]

Poloniści dopuszczają zarówno pisownię:

  • przez „c”: cosinus, cotangens, secans, cosecans;
  • przez „k”: kosinus, kotangens, sekans, kosekans.

Słowniki języka polskiego skłaniają się ku tym drugim jako bardziej naturalnym dla języka polskiego[67], jednak słowniki i encyklopedie matematyczne raczej nie używają form spolszczonych, podobnie w naukowej literaturze matematycznej są one rzadko spotykane.

Już pod koniec XVIII wiekuJan Śniadecki próbował wprowadzić całkowicie polskie odpowiedniki nazw i skrótów funkcji trygonometrycznych[68][69] (w nawiasie proponowany skrót):

  • sinus –wstawa (wst),
  • cosinus –dostawa (dost),
  • tangens –styczna (sty),
  • cotangens –dostyczna (dosty),
  • secans –sieczna (sie),
  • cosecans –dosieczna (dosie).

Inne publikacje[26] przypisują pomysł tej terminologii ks.Andrzejowi Gawrońskiemu, który miał je zaproponować w swojej pracy[70] z 1780 roku.

Propagowali je potem m.in.:

  • Andrzej Radwański w dziele „Słownik wyrazów grecko-łacińskich w poznawaniu Rody używanych… bezpłatnie dodany do dzieła Treść nauki przyrodzenia” wydanym w 1850 roku[71]. Zwalczał tam wszelkie nazwy pochodzące z greki i łaciny;
  • prof.Maksymilian Thullie (1853–1939), rektorSzkoły Politechnicznej we Lwowie. W latach 1918–1924 próbował forsować polskie nazwy w swoich pracach, np. w podręcznikuStatyka budowli (wyd. IV, Lwów 1921), jednak nie przyjęły się[72].

Oznaczenia

[edytuj |edytuj kod]

W różnych językach stosuje się różne skróty funkcji trygonometrycznych. Oznaczenia kosinusa są jednakowe we wszystkich podanych, a sekansa i kosekansa – jednakowe prawie wszędzie, poza językiem francuskim, gdzie nad tymi skrótami zdarza się akcent: séc, coséc[73][74]. Różnice w skrótach pozostałych trzech funkcji przedstawia poniższa tabela:

języksinustangenscotangens
angielski[75][76]sintan, tg[77]cot, ctg[77], ctn[78]
chiński[79]sintan, tg[80]cot, ctg[80]
fiński[81]sintancot
francuski[74]sin[73]tan[82], tang[73], tg[83]cotan[82], cotg[83], cot[73], ctg
hiszpański[84][85]sentan, tg[86], tag[87]cot, cotg[87], ctg[86]
niderlandzki[88]sintancot
indonezyjski[89]sintancot
japoński[90]sintancot
koreański[91]sintancot
litewski[92]sintgctg
niemiecki[93]sintan, tg[94]cot, ctg[94]
portugalski[95]sen[96], sintan, tg[96][97]cot, ctg[97]
rosyjski[98]sintgctg
turecki[99]sintancot
ukraiński[100]sintgctg
węgierski[101]sintgctg
włoski[102]sen[103], sintan, tg[103]cot, ctg[103]

Związki z innymi funkcjami

[edytuj |edytuj kod]

Funkcjami trygonometrycznymi definiuje się inne pojęcia matematyczne, np.:

Do funkcji trygonometrycznych nawiązuje też nazewnictwo niektórych innych funkcji:

Funkcje odwrotne do trygonometrycznych

[edytuj |edytuj kod]
 Osobny artykuł:Funkcje cyklometryczne.

Funkcje odwrotne do trygonometrycznych nazywane są też funkcjami kołowymi lub cyklometrycznymi. Ze względu na okresowość funkcji trygonometrycznych funkcje te są do nich odwrotne jedynie w przedziale obejmującym jeden okres[110].

NazwaZapisOdwrotna doDziedzinaPrzeciwdziedzina
arcus sinusy=arcsin⁡x{\displaystyle y=\arcsin x}x=sin⁡y{\displaystyle x=\sin y}[−1,1]{\displaystyle [-1,1]}[−π2,π2]{\displaystyle [-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}]}
arcus cosinusy=arccos⁡x{\displaystyle y=\arccos x}x=cos⁡y{\displaystyle x=\cos y}[−1,1]{\displaystyle [-1,1]}[0,π]{\displaystyle [0,\pi ]}
arcus tangensy=arctg⁡x{\displaystyle y=\operatorname {arctg} x}x=tg⁡y{\displaystyle x=\operatorname {tg} y}R{\displaystyle \mathbb {R} }(−π2,π2){\displaystyle (-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}})}
arcus cotangensy=arcctg⁡x{\displaystyle y=\operatorname {arcctg} x}x=ctg⁡y{\displaystyle x=\operatorname {ctg} y}R{\displaystyle \mathbb {R} }(0,π){\displaystyle (0,\pi )}
arcus secansy=arcsec⁡x{\displaystyle y=\operatorname {arcsec} x}x=sec⁡y{\displaystyle x=\sec y}R∖(−1,1){\displaystyle \mathbb {R} \setminus (-1,1)}[0,π2)∪(π2,π]{\displaystyle [0,{\tfrac {\pi }{2}})\cup ({\tfrac {\pi }{2}},\pi ]}
arcus cosecansy=arccosec⁡x{\displaystyle y=\operatorname {arccosec} x}x=cosec⁡y{\displaystyle x=\operatorname {cosec} y}R∖(−1,1){\displaystyle \mathbb {R} \setminus (-1,1)}[−π2,0)∪(0,π2]{\displaystyle [-{\tfrac {\pi }{2}},0)\cup (0,{\tfrac {\pi }{2}}]}

Harmoniki

[edytuj |edytuj kod]
Sinusoidalny ruch prostego oscylatora
 Osobny artykuł:Harmonika (matematyka).

Funkcje postaci

u(t)=Asin⁡(ωt+ϕ),{\displaystyle u(t)=A\sin(\omega t+\phi ),}

gdzie:

są nazywane harmonikami[111]. Funkcje sinus i cosinus są ich szczególnymi przypadkami. Harmoniki mają duże znaczenie w praktyce, przy analizie funkcji okresowych.Kombinacja liniowa kilku harmonik o tej samej częstotliwości jest ciągle harmoniką o tej częstotliwości.

Harmoniki stosowane są wfizyce przy badaniu wszelkich zjawisk okresowych, np.drgań. Wiele z tych zjawisk, np.masa na sprężynie,wahadło przy niewielkim wychyleniu alboelektryczny obwód rezonansowy, w wyidealizowanym przypadku (przy braku stratenergii), opisujerównanie różniczkowe:

x″=−kx,{\displaystyle x''=-kx,}

którego rozwiązaniami są harmoniki.

Funkcje hiperboliczne

[edytuj |edytuj kod]
 Osobny artykuł:Funkcje hiperboliczne.
Sinus, cosinus i tangens hiperboliczny

Jak podano w sekcjiDefinicja za pomocą równań funkcyjnych, funkcje sinus i cosinus można zdefiniować w następujący sposób[33]:

{W1:s(x1−x2)=s(x1)c(x2)−c(x1)s(x2)W2:c(x1−x2)=c(x1)c(x2)+s(x1)s(x2)W3:limx→0s(x)x=1{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}W1\colon &s(x_{1}-x_{2})=s(x_{1})c(x_{2})-c(x_{1})s(x_{2})\\W2\colon &c(x_{1}-x_{2})=c(x_{1})c(x_{2})+s(x_{1})s(x_{2})\\W3\colon &\lim _{x\to 0}{\tfrac {s(x)}{x}}=1\end{matrix}}\right.}

Jeśli warunek W2 zmienić na:

W2′:c(x1−x2)=c(x1)c(x2)−s(x1)s(x2),{\displaystyle W2'\colon \quad c(x_{1}-x_{2})=c(x_{1})c(x_{2})-s(x_{1})s(x_{2}),}

wówczas warunki W1, W2', W3 będą spełnione przez inne funkcje, które przez analogię nazywane sąsinusem hiperbolicznym (sinh) icosinusem hiperbolicznym (cosh)[112].

Analogicznie jak dla funkcji trygonometrycznych definiuje się też tangens, cotangens, secans i cosecans hiperboliczny jako odpowiednie ilorazy z udziałem sinusa i cosinusa hiperbolicznego. Istnieje takżecałkowy sinus hiperboliczny icałkowy cosinus hiperboliczny.

Pole zakreskowanego obszaru odpowiada połowie argumentu funkcji hiperbolicznych
Pole zakreskowanego obszaru odpowiada połowie argumentu funkcji trygonometrycznych

Takżedefinicja na okręgu jednostkowym dla funkcji trygonometrycznych ma swój odpowiednik hiperboliczny. Zamiast okręgu jednostkowego

x2+y2=1{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}

należy wziąćhiperbolę o równaniu

x2−y2=1.{\displaystyle x^{2}-y^{2}=1.}

Na okręgu jednostkowym argument funkcji trygonometrycznych odpowiadał mierze kąta, jednak jest ona równa polu wycinka kołowego, symetrycznego względem osi OX. Podobnie w przypadku funkcji hiperbolicznych argumentowi odpowiada pole odpowiedniego wycinka.Biorąc długości odcinków, które na okręgu odpowiadały funkcjom sinus, cosinus i tangens, uzyskuje się na hiperboli sinus, cosinus i tangens hiperboliczny[24].

Istnieją też inne analogie. Dla funkcji trygonometrycznych zachodzą równości, podane w sekcjiWzór Eulera.

Analogiczne wzory występują dla funkcji hiperbolicznych[113]:

sinh⁡x=ex−e−x2cosh⁡x=ex+e−x2tgh⁡x=ex−e−xex+e−xctgh⁡x=ex+e−xex−e−x{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x&={\tfrac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\\\cosh x&={\tfrac {e^{x}+e^{-x}}{2}}\\\operatorname {tgh} x&={\tfrac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}\\\operatorname {ctgh} x&={\tfrac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}\end{aligned}}}

Istnieją też analogie niektórych tożsamości trygonometrycznych[113]:

sinh⁡(x+y)=sinh⁡xcosh⁡y+cosh⁡xsinh⁡y{\displaystyle \sinh(x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y}
cosh2⁡x−sinh2⁡x=1{\displaystyle \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1}
cosh⁡2x=cosh2⁡x+sinh2⁡x{\displaystyle \cosh 2x=\cosh ^{2}x+\sinh ^{2}x}

Podobieństwa te wynikają z głębokiej symetrii pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi a hiperbolicznymi, przejawiającej się także po ich uogólnieniu na argumenty zespolone[113].

Zobacz też

[edytuj |edytuj kod]

Uwagi

[edytuj |edytuj kod]
  1. ↑abcdefużywa się też innej pisowni, przezc, co opisano dalej.

Przypisy

[edytuj |edytuj kod]
  1. ↑abcdefgFunkcje trygonometryczne, [w:]Encyklopedia PWN [online],Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-12-12] .
  2. ↑goniometria, [w:]Encyklopedia PWN [online],Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-12-12] .
  3. ↑Regiomontanus, [w:]Encyklopedia PWN [online],Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-12-12] .
  4. ↑Hans Niels Jahnke: A history of analysis. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003, s. 115-116.ISBN 0-8218-2623-9.OCLC51607350.
  5. ↑w innych językach stosuje się inne skróty, opisane w dalszej sekcji.
  6. ↑sinus, [w:]Encyklopedia PWN [online],Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-12-12] .
  7. ↑cosinus, [w:]Encyklopedia PWN [online],Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-12-12] .
  8. ↑tangens, [w:]Encyklopedia PWN [online],Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-12-12] .
  9. ↑cotangens, [w:]Encyklopedia PWN [online],Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-12-12] .
  10. ↑secans, [w:]Encyklopedia PWN [online],Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-12-12] .
  11. ↑cosecans, [w:]Encyklopedia PWN [online],Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-12-12] .
  12. ↑Bronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓, (w bibliografii), s. 230.
  13. ↑abD. Zwillinger: (red.) Spherical Geometry and Trigonometry. Boca Raton, FL: CRC Press, 1995, s. 468-471, § 6.4, seria: CRC Standard Mathematical Tables and Formulae.
  14. ↑Roger W. Sinnott. Virtues of the Haversine. „Sky and Telescope”. 68 (2), s. 159, 1984. [zarchiwizowane zadresu 2013-12-11]. (ang.). 
  15. ↑Chris Veness: Calculate distance and bearing between two Latitude/Longitude points using Haversine formula in JavaScript. www.movable-type.co.uk. [dostęp 2013-10-13]. (ang.).
  16. ↑Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W.,Versine, [w:]MathWorld,Wolfram Research [dostęp 2009-01-10] (ang.).
  17. ↑sinus versus, [w:]Encyklopedia PWN [online],Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-12-12] .
  18. ↑Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W.,Haversine, [w:]MathWorld,Wolfram Research [dostęp 2009-01-10] (ang.).
  19. ↑Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W.,Coversine, [w:]MathWorld,Wolfram Research [dostęp 2009-01-10] (ang.).
  20. ↑Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W.,Exsecant, [w:]MathWorld,Wolfram Research [dostęp 2009-01-10] (ang.).
  21. ↑nie mylić z funkcją odwrotnąarccos{\displaystyle \arccos }
  22. ↑nie mylić z funkcją odwrotnąarcsin{\displaystyle \arcsin }
  23. ↑Reinhardt i Soeder 2006 ↓, (w bibliografii), s. 182–183.
  24. ↑abBronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓, s. 253.
  25. ↑OwenO. Gingerich OwenO.,Astronomia islamu, „Urania”, LX (8), sierpień 1989, s. 233,ISSN0042-0794 .
  26. ↑abStanisławS. Kołomyjski StanisławS.,O polskie nazwy funkcji trygonometrycznych, „Inżynier Kolejowy”, XI (1), 1934, s. 22 [zarchiwizowane zadresu 2024-06-03] .
  27. ↑David Bressoud, Joy Laine: Parallel Developments in Philosophy and Mathematics in India. s. 13. [dostęp 2024-02-11]. (ang.).
  28. ↑W przypadku pierścieni nilpotentnych szereg Taylora ma tylko skończoną liczbę wyrazów różną od 0.
  29. ↑Bronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓, s. 417–418.
  30. ↑Reinhardt i Soeder 2006 ↓, s. 294.
  31. ↑Mathworld – Secans – series representation. [dostęp 2009-01-10].
  32. ↑Paweł Głowacki: Analiza B. Wykład 3. Funkcje elementarne. [dostęp 2008-03-19]. twierdzenie 20.
  33. ↑abReinhardt i Soeder 2006 ↓, s. 295.
  34. ↑abWolfram Mathworld – The best-known properties and formulas for trigonometric functions. [dostęp 2009-03-19].
  35. ↑Stanisław Saks, Antoni Zygmund: Funkcje analityczne. Warszawa-Lwów-Wilno: 1938, s. 299, seria: Monografie Matematyczne tom 10.
  36. ↑Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W.,Sine, [w:]MathWorld,Wolfram Research [dostęp 2009-01-02] (ang.).
  37. ↑Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W.,Tangent, [w:]MathWorld,Wolfram Research [dostęp 2009-01-02] (ang.).
  38. ↑Cotangent: continued fraction representation. Mathworld. [dostęp 2009-01-02]. (ang.).
  39. ↑Wolfram Mathworld – Connections within the group of trigonometric functions and with other function groups. [dostęp 2009-03-19].
  40. ↑abBronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓, s. 231.
  41. ↑Bronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓, s. 625.
  42. ↑abBronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓, s. 114–116.
  43. ↑Jörg Jahnel: When is the (co)sine of a rational angle equal to a rational number?. s. 3. [dostęp 2015-12-28]. [zarchiwizowane ztego adresu (2006-10-02)]. (ang.).
  44. ↑Bronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓, s. 233.
  45. ↑Wolfram Mathworld – Sine: Specific values. [dostęp 2009-03-19].
  46. ↑Wolfram Mathworld – Tangent: Specific values. [dostęp 2009-03-19].
  47. ↑Bronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓, s. 232.
  48. ↑abcdeBronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓, s. 234.
  49. ↑Bronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓, s. 235.
  50. ↑abBronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓, s. 236.
  51. ↑Słownik encyklopedyczny – matematyka, s. 93–94.
  52. ↑Bronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓, s. 397.
  53. ↑Tangent differentiation. [dostęp 2009-01-24].
  54. ↑Cotangent differentiation. [dostęp 2009-01-24].
  55. ↑Secant differentiation. [dostęp 2009-01-24].
  56. ↑Cosecant differentiation. [dostęp 2009-01-24].
  57. ↑Bronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓, s. 426.
  58. ↑Bronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓, s. 438.
  59. ↑abWolfram Mathworld – Introduction to the trigonometric functions. [dostęp 2009-03-19].
  60. ↑Bronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓, s. 239.
  61. ↑abBronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓, s. 240.
  62. ↑abBronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓, s. 650.
  63. ↑Paul Du Bois-Reymond. Versuch einer Classification der willk¨urlichen Functionen reeller Argumente nach ihren Aenderungen in den kleinsten Intervallen. „J. Reine Angew. Math”. 79, s. 21–37, 1875. 
  64. ↑Wolfram Mathworld – The Dirichlet function. [dostęp 2009-03-19].
  65. ↑Mathworld – MoebiusMu[n – Series representations]. [dostęp 2009-01-10].
  66. ↑Mathworld – Logistic equation solution. [dostęp 2009-01-10]. (ang.).
  67. ↑Hasło cosinus w słowniku języka polskiego PWN. [dostęp 2008-04-12]. [zarchiwizowane ztego adresu (3 czerwca 2008)].
  68. ↑Jan Śniadecki: Trygonometrya kulista analitycznie wyłożona. Wyd. 2. 1820.
  69. ↑Maksymilian Tytus Huber: Pisma. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1957.
  70. ↑"Geometrja dla Szkół Narodowych przez J. X. Gawrońskiego, Kanonika, Koadjutora Krakowskiego, Lektora J.K. Mości, na polski język z Francuskiego przełożona. W Warszawie dnia 30 października 1780."
  71. ↑Mateusz Pasternak: Anegdoty matematyczne. [dostęp 2008-04-12].
  72. ↑Roman Ciesielski, Katarzyna Tyńska: Nasza Politechnika: Izydor Stella-Sawicki. [dostęp 2008-04-12].
  73. ↑abcdJean Baptiste, Joseph Delambre: Histoire de l’astronomie du moyen âge. V. Courcier, 1819, s. 462. [dostęp 2009-03-22]. (fr.).
  74. ↑abPascal Dupont: Exercices de mathématiques: Volume 1, Algèbre et géométrie. Wyd. 2. De Boeck Université, 2005, s. 98.ISBN 2-8041-4312-0,ISBN 978-2-8041-4312-1. [dostęp 2009-03-22].
  75. ↑Max Fogiel: Handbook of mathematical, scientific, and engineering formulas, tables, functions, graphs, transforms. Research and Education Association, 1994, s. 213.ISBN 0-87891-521-4,ISBN 978-0-87891-521-7. [dostęp 2009-03-22]. (ang.).
  76. ↑Anthony Nicolaides: Pure Mathematics. Wyd. 3. Pass Publications, 2007, s. 42.ISBN 1-872684-87-4,ISBN 978-1-872684-87-1. [dostęp 2009-03-22]. (ang.).
  77. ↑abJournal of engineering for industry. American Society of Mechanical Engineers, 1969. [dostęp 2009-03-22]. (ang.).
  78. ↑Felix Klein: Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint: Arithmetic, Algebra, Analysis. Cosimo, Inc., 2007, s. 180.ISBN 1-60206-647-7,ISBN 978-1-60206-647-2. [dostęp 2009-03-22]. (ang.).
  79. ↑Zhi-shu He Tian: 數學定理、公式暨習題詳解. 五南圖書出版股份有限公司, 2007, s. 133.ISBN 957-11-4564-5,ISBN 978-957-11-4564-8. [dostęp 2009-03-22]. (chiń.).
  80. ↑abKe xue shi ji kan. Ke xue chu ban she. [dostęp 2009-03-23]. (chiń.).
  81. ↑Weikko Aleksanteri Heiskanen, Seppo Härmälä: Maastomittaus ja kartoitus. W. Söderström, 1972. [dostęp 2009-03-23]. (fiń.).
  82. ↑abGilles Desbiens: Trigonométrie du triangle rectangle. [dostęp 2009-03-22]. [zarchiwizowane ztego adresu (2008-02-20)]. (fr.).
  83. ↑abAndré Caillemer, Catherine Le Cocq: Astronomie de position, géodésie. Wyd. 2. Editions TECHNIP, 1998, s. 187.ISBN 2-7108-0439-5,ISBN 978-2-7108-0439-0. [dostęp 2009-03-22]. (fr.).
  84. ↑Arenas Solá: Matemáticas: fichas de la asignatura. Edicions Universitat Barcelona, s. 24.ISBN 84-475-3206-2,ISBN 978-84-475-3206-3. [dostęp 2009-03-22]. (hiszp.).
  85. ↑James Stewart, Lothar Redlin, Saleem Watson, Héctor Vidaurri, Alejandro Alfaro, María Bruna, Josefina Anzures, Francisco Sánchez Fragoso: Precálculo: Matemáticas para el cálculo. Wyd. 5. Cengage Learning Editores, 2007, s. 411.ISBN 970-686-638-8,ISBN 978-970-686-638-7. [dostęp 2009-03-22]. (hiszp.).
  86. ↑abLira Contreras, Ana Rosa: Geometria y Trigonometria. Ediciones Umbral, s. 117.ISBN 970-9758-34-9,ISBN 978-970-9758-34-4. [dostęp 2009-03-22]. (hiszp.).
  87. ↑abSalvador Guillén Vázquez: Manual de matemáticas para acceso a la Universidad. Editorial Ramón Areces, 1991, s. 1704.ISBN 84-8004-006-8,ISBN 978-84-8004-006-8. [dostęp 2009-03-22]. (hiszp.).
  88. ↑Jean-Pierre Daems, Edward Jennekens, Valentijn Van Hooteghem: Argument 4-5 – Goniometrie – Driehoeksmeting. Uitgeverij De Boeck, 2004, s. 211.ISBN 90-455-0674-2,ISBN 978-90-455-0674-6. [dostęp 2009-03-23].
  89. ↑Sulistiyono, Sri Kurnianingsih, Kuntarti: Matematika Sma Dan Ma untuk Kelas XI Semester 1. Jakarta: ESIS, s. 172.ISBN 979-734-502-5,ISBN 978-979-734-502-0.ISBN 979-734-502-5. [dostęp 2009-03-22]. (indonez.).
  90. ↑信州大学. 工学部: 信州大学工学部紀要. 信州大学工学部, 1981. [dostęp 2009-03-22]. (jap.).
  91. ↑Yong-un Kim: Tongyang ŭi kwahak kwa sasang: Hanʼguk kwahak ŭi kanŭngsŏng ŭl chʻajasŏ. Ilchisa, 1984. [dostęp 2009-03-23]. (kor.).
  92. ↑Litovskiĭ fizicheskiĭ sbornik. Gos. izd-vo polit. i nauch. lit-ry, 1984. [dostęp 2009-03-23]. (lit.).
  93. ↑Johann Mutschmann, Fritz Stimmelmayr, Werner Knaus: Taschenbuch der Wasserversorgung. Vieweg+Teubner Verlag, 2007, s. 873.ISBN 3-8348-0012-0,ISBN 978-3-8348-0012-1. [dostęp 2009-03-22]. (niem.).
  94. ↑abHans Geiger, Karl Scheel: Handbuch der Physik. Julius Springer, 1928. [dostęp 2009-03-22]. (niem.).
  95. ↑Dubbel Manual Da Construcao de Maquinas. Hemus, s. 68.ISBN 85-289-0270-6,ISBN 978-85-289-0270-9. [dostęp 2009-03-22]. (port.).
  96. ↑abMemórias da Academia das ciências de Lisboa, classe de ciências. Lisbona: 1967. [dostęp 2009-03-22]. (port.).
  97. ↑abAntônio Gonçalves, Moreira Couto: Geometria descritiva e insolação. 1961. [dostęp 2009-03-22]. (port.).
  98. ↑Тесты и экзаменационные задания по математике за курс средней школы (ЕГЭ): Учебное пособие. Издательский дом „Питер”, s. 160.ISBN 5-469-00278-0,ISBN 978-5-469-00278-9. [dostęp 2009-03-22]. (ros.).
  99. ↑Orta Doğu: Isi transferí. [dostęp 2009-03-23]. (tur.).
  100. ↑Mykola Platonovych Bahan: Ukraïnsʹka radi͡a͡nsʹka entsyklopedii͡a͡. Akademii͡a nauk Ukr. Radi͡ansʹkoï Sot͡sialistichnoï Respubliky, 1959. [dostęp 2009-03-22]. (ukr.).
  101. ↑A Magyar Tudományos Akadémia Matematikai és Fizikai Tudományok Ostályának kózleményei. 1974. [dostęp 2009-03-22]. (węg.).
  102. ↑James Stewart: Calcolo. Funzioni di una variabile. Apogeo Editore, 2001, s. 222.ISBN 88-7303-747-X,ISBN 978-88-7303-747-7. [dostęp 2009-03-22]. (wł.).
  103. ↑abcPierangelo Andreini: Manuale dell’ingegnere meccanico. Wyd. 2. Hoepli Editore, 2002, s. 16.ISBN 88-203-3380-5,ISBN 978-88-203-3380-5. [dostęp 2009-03-22]. (wł.).
  104. ↑Funkcje elementarne, [w:]Encyklopedia PWN [online],Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-12-12] .
  105. ↑Funkcje cyklometryczne, [w:]Encyklopedia PWN [online],Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-12-12] .
  106. ↑sinusoida, [w:]Encyklopedia PWN [online],Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-12-12] .
  107. ↑cosinusoida, [w:]Encyklopedia PWN [online],Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-12-12] .
  108. ↑tangensoida, [w:]Encyklopedia PWN [online],Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-12-12] .
  109. ↑cotangensoida, [w:]Encyklopedia PWN [online],Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-12-12] .
  110. ↑Bronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓, s. 117.
  111. ↑Bronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓, s. 237.
  112. ↑Reinhardt i Soeder 2006 ↓, s. 297.
  113. ↑abcBogdan Miś: Tajemnicza liczba e i inne sekrety matematyki. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1989, s. 164.ISBN 83-204-0920-9.

Bibliografia

[edytuj |edytuj kod]

Linki zewnętrzne

[edytuj |edytuj kod]
Trygonometria
działy
funkcje
trygonometryczne
  • sinus
  • cosinus
  • tangens
  • cotangens
  • secans
  • cosecans
tożsamości
trygonometryczne
rzeczywiste
zespolone
innetwierdzenia
zagadnienia
funkcje odwrotne –
cyklometryczne
powiązane
pojęcia
geometrii
algebry
analizy
inne
powiązane działy
matematyki
uczeni według
daty narodzin
starożytni
pozaueropejscy
średniowieczni
XVI wiek
XVII wiek
XVIII wiek
pokrewne
funkcje
elementarne
inne

Funkcje elementarne
algebraiczne
wielomianowe
homografie
innewymierne
inne
przestępne
definiowane
potęgowaniem
inne
przestępne
krzywe
tworzące
wykresy
stożkowe
inne algebraiczne
przestępne
pojęcia
definiujące
powiązane
tematy
Okręgi
relacje
między
odcinkiem a okręgiem
prostą a okręgiem
kątem a okręgiem
okręgiem awielokątem
okręgiem a parąpunktów
okręgiem asferą
figury
definiowane
okręgami
krzywe płaskie
inne figury płaskie
krzywe sferyczne
powierzchnie ibryły
twierdzenia
o cięciwach
o stycznych
problemy
(zadania)
długości
pola
inne
opis
analityczny
kluczowe pojęcie
układ kartezjański
układ biegunowy
narzędzia
inne pojęcia
uogólnienia
krzywe
inne
powiązane
nauki
geometria
algebra
analiza
badacze
antyczni
średniowieczni
inowożytni


Krzywe stożkowe
pojęcia
definiujące
planimetrycznie
stereometrycznie
typy
powiązane
figury
punkty
linie
opis
algebraiczny
wszystkich
stożkowych
okręgów i elips
hiperbol
opis
parametryczny
okręgów i elips
hiperbol
zastosowania
mechanika
astronomia
powiązane
powierzchnie
pokrewne
terminy
uogólnienia
okręgów i elips
parabol
wszystkich stożkowych
badacze
starożytni
nowożytni

Krzywe płaskie
pojęcia
definiujące
droga
łuk
krzywa
płaszczyzna
przykłady oparte
naprostej
elementarne
fraktalne
oparte
naokręgu
krzywe
2. stopnia
krzywe płaskie
3. stopnia
bez przecięć
z przecięciami
krzywe płaskie
4. stopnia
otwarte
zamknięte
inne
algebraiczne
krzywe płaskie
krzywe
cykliczne
cykloidy
trochoidy
spirale
konchoidy
krzywe
płaskie
opisane
trygonometrią
kartezjańskie
wykresyfunkcji
trygonometrycznych
inne
inne krzywe
płaskie
otwarte
zamknięte
otwarte lub zamknięte
powiązane
figury
punkty
proste
krzywe
wektory
powiązane
pojęcia
łuk zwykły
długość krzywej
inne
powiązane
działy
matematyki
geometria
algebra
analiza
topologia
badacze
według
daty
narodzin
p.n.e.
XVI wiek
XVII wiek
XVIII wiek
I połowa
XIX wieku
II połowa
XIX wieku







Źródło: „https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Funkcje_trygonometryczne&oldid=77914379”
Kategorie:
Ukryte kategorie:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp