Ten artykuł od 2011-12 wymagazweryfikowania podanych informacji.

Należy podać wiarygodne źródła w formieprzypisów bibliograficznych.
Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte.
Sprawdź w źródłach:Encyklopedia PWN •Google Books • Google Scholar •BazHum •BazTech •RCIN • Internet Archive (texts /inlibrary)
Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się wdyskusji tego artykułu.
Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon{{Dopracować}} z tego artykułu.

Funkcja ograniczona –funkcja, którejzbiór wartości (obraz) jestograniczony. Pojęcie to stosuje się wteorii porządku,topologii metrycznej ianalizie funkcjonalnej – dotyczy funkcji o wartościach w zbiorachskierowanych,przestrzeniach metrycznych lubliniowo-topologicznych. Funkcję, która nie jest ograniczona, nazywa sięnieograniczoną^[1].

Dlafunkcji rzeczywistych ograniczenie sprowadza się do zawarcia wszystkich wartości w pewnymprzedziale ograniczonym lub równoważne do ograniczeniamodułu wartości funkcji^[2][3].

Dla funkcji w zbiorach skierowanych definiuje się też pewne uogólnienia ograniczenia, będące jegowarunkami koniecznymi. Funkcja jest:

• ograniczona z góry, jeżeli wszystkie jej wartości są mniejsze od pewnego ustalonego elementu;
• ograniczona z dołu, jeżeli wszystkie jej wartości są większe od pewnego ustalonego elementu;
• ograniczona wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednocześnie ograniczona z góry i z dołu.

• Funkcje rzeczywiste${\displaystyle f(x)=x,g(x)=x^2}$ są nieograniczone, tak jak wszystkiewielomiany stopnia dodatniego.
• Funkcja kwadratowa${\displaystyle g(x)=x^2}$ jest jednak ograniczona z dołu; wszystkie wielomiany stopnia parzystego są ograniczone jednostronnie.
• Homografie rzeczywiste nie są ograniczone, nawet jednostronnie.
• Niektórefunkcje wymierne są ograniczone, np.rozkład Cauchy’ego.
• Pierwiastniki mogą:
  • nie być ograniczone wcale, jakpierwiastek sześcienny;
  • ograniczone jednostronnie jakpierwiastek kwadratowy;
  • ograniczone (obustronnie) jak funkcja opisującapółokrąg:${\displaystyle f(x)=\sqrt{1-x^2};}$
• Funkcje trygonometryczne sinus i cosinus są ograniczone – wszystkie ich wartości należą do przedziału${\displaystyle [-1,1].}$
• Odległość punktów (w ogólnościmetryka), długośćwektora (w ogólnościnorma) – to funkcje ograniczone z dołu przez zero, ale nie z góry.
• Długość krzywej (np.obwód figury),pole powierzchni iobjętość – przykładymiar, które z definicji są ograniczone z dołu przez zero.
• Prawdopodobieństwo – miara ograniczona z dołu przez 0, z góry przez 1.

Funkcja odwrotna do ograniczonej nie musi być ograniczona; przykładowo funkcją odwrotną doarcus tangensa jest tangens obcięty do pewnego przedziału, w którym jednak nie jest ograniczony.

Twierdzenie Weierstrassa podaje warunek wystarczający na ograniczenie funkcji rzeczywistej. Mówi ono, że każdafunkcja ciągła nazbiorze zwartym musi być ograniczona.

Pojęcie ograniczoności funkcji stosuje się w szczególności dociągów punktów w przestrzeniach metrycznych i liniowo-topologicznych, na przykład do ciągów liczbowych^[3]. Podstawowe fakty:

• każdyciąg zbieżny w takiej przestrzeni jest ograniczony^{[potrzebny przypis]};
• ograniczone ciągi rzeczywiste tworząprzestrzeń liniową oznaczanąℓ^∞;
• lemat Bolzana-Weierstrassa mówi, że każdy rzeczywisty ciąg ograniczony mapunkty skupienia, a ich zbiór makresy – istniejągranice dolna i górna;
• monotoniczny ciąg ograniczony musi być zbieżny^{[potrzebny przypis]};
• ciąg monotoniczny musi być ograniczony przynajmniej jednostronnie;
• twierdzenie o dwóch ciągach podaje warunek wystarczający na to, by ciąg nieograniczony był rozbieżny do nieskończoności;
• twierdzenie o trzech ciągach podaje warunek wystarczający na to, by ciąg ograniczony był zbieżny.

• operator ograniczony
• funkcja lokalnie ograniczona

• Typy funkcji matematycznych

• Artykuły wymagające uzupełnienia źródeł od 2011-12
• Artykuły z brakującymi przypisami od 2022-12