Fraktal (łac.fractus – złamany, cząstkowy, ułamkowy) w znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt samopodobny (tzn. taki, którego części są podobne do całości)[1] albo „nieskończenie złożony” (ukazujący coraz bardziej złożone detale w dowolnie wielkim powiększeniu). Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują określać fraktal jako zbiór, który posiada wszystkie poniższe charakterystyki albo przynajmniej ich większość[2]:
Na przykład linia prosta na płaszczyźnie jest formalnie samopodobna, ale brak jej pozostałych cech i zwyczajowo nie uważa się jej za fraktal. Z drugiej strony,zbiór Mandelbrota ma wymiar Hausdorffa równy 2, taki sam jak jego wymiar topologiczny. Jednak pozostałe cechy wskazują, że jest to fraktal. Wiele fraktali ma niecałkowity wymiar Hausdorffa, co wyjaśnia etymologię tej nazwy.
Szczególnymi fraktalami – nie nazywając ich po imieniu – zajmowali sięGeorg Cantor,Giuseppe Peano,Wacław Sierpiński,Paul Lévy, a takżeDonald Knuth. Szczególny wkład w rozwój geometrycznejteorii miary wniósłAbraham Bezikowicz, który skonstruował również wiele konkretnych fraktali o paradoksalnych własnościach. Równieżzbiór Julii, ściśle związany zezbiorem Mandelbrota, był badany w latach 20. zeszłegowieku.Mandelbrot, używająckomputera dowizualizacji, uczynił z fraktali przedmiot intensywnych badań. O ważności tego zagadnienia zadecydowały zastosowania w różnych dziedzinach, zwłaszcza poza matematyką, np. obecnie prawie każdy telefon komórkowy korzysta z wbudowanejanteny fraktalnej. Liczne odpowiedniki fraktali istnieją też wnaturze.
Za jedną z cech charakterystycznych fraktala uważa sięsamopodobieństwo, to znaczypodobieństwo całości do jego części. Co więcej, zbiory fraktalne mogą być samoafiniczne, tj. część zbioru może być obrazem całości przez pewneprzekształcenie afiniczne. Dla figur samopodobnych można określić wielkość zwanąwymiarem samopodobieństwa lubwymiarem pudełkowym. Są to wielkości będące uogólnieniem klasycznych definicji wymiaru.
Wiadomo, że stosunek pól płaskich (wymiaru 2) figur podobnych równa się kwadratowi skali ich podobieństwa. Na przykładfigura podobna do innej w skali 3 ma dziewięć razy większe pole od tamtej ( albo). W przestrzeni stosunek objętości brył (trójwymiarowych) podobnych jestsześcianem skali ich podobieństwa; bryła podobna do innej w skali 2 ma osiem razy większąobjętość od tamtej ( albo). Wymiar samopodobieństwa figury daje się zatem określić jako logarytm o podstawie równej skali podobieństwa i liczbie logarytmowej wskazującej, ile razy większa od figury wyjściowej (jaką częścią figury wyjściowej) jest figura podobna do niej w tej skali. Dla fraktali liczba ta może nie być całkowita.
Na przykładzbiór Cantora jest podobny do swoich dwu części w skali 3;wymiar Hausdorffa zbioru Cantora wynosi Analogicznietrójkąt Sierpińskiego jest podobny do swoich trzech części w skali 2, a jego wymiar Hausdorffa jest równyDywan Sierpińskiego jest podobny do swoich ośmiu części w skali 3, zatem jego wymiar Hausdorffa to
Ogólniej, jeżeli fraktal składa się z części, które łączą się między sobą na obszarze miary Lebesgue’a zero i są podobne w skali do całego fraktala, towymiar Hausdorffa fraktala będzie równy Jeszcze ogólniej, jeśli założymy, że każda część jest podobna do całości w innej skali to wymiar Hausdorffa jest rozwiązaniem poniższego równania z niewiadomą
Niektóre fraktale są zbiorami omierze Lebesgue’a równej zero. Dotyczy to fraktali klasycznych, np.trójkąt Sierpińskiego izbiór Cantora mają miarę Lebesgue’a równą zero. Ogólnie każdy fraktal, dla któregowymiar Hausdorffa jest ostro większy odwymiaru topologicznego, będzie mieć tę własność. Z kolei zbiór Mandelbrota i niektóre zbiory Julii mają dodatnie miary Lebesgue’a (na przykład miara Lebesgue’a zbioru Mandelbrota wynosi ok. 1,5).
Najprostszą metodą tworzenia fraktali jest wykorzystanie zbioruprzekształceń afinicznych będącychprzekształceniami zwężającymi (kontrakcjami). Transformując dowolny, niepusty zbiór zgodnie z regułą (tworząc ciąg zbiorów):
W praktyce aby wygenerować fraktal stosuje się algorytm iteracji losowej zwanygrą w chaos. Polega on na tym, że wybieramy dowolny punkt i transformujemy gowiele razy, za każdym razem losując odpowiednio przekształcenie
Procedurę tę powtarzamy np.kilka tysięcy razy. W szczególnych przypadkach dla efektu wizualnego może być istotny sposób losowania przekształceń. Np. dlapaproci Barnsleya przekształcenia (zob.definicję) losuje się z częstościami 85%, 7%, 7%, 1% odpowiednio.
W praktyce liczenie ogranicza się do kilkudziesięciu iteracji lub do momentu, gdy Uzyskiwane kolory w obrazach fraktali (zwłaszcza zbiorów Julii) realizuje się np. zliczając, jak szybko poszczególne punkty rozbiegają się do nieskończoności i przydzielając im w zależności od tego różne barwy.
Kalafior rzymski (romanesco) jest przykładem występowania fraktali w przyrodzieFraktalna budowa zbóż
Struktury o budowie fraktalnej są powszechnie spotykane w przyrodzie. Przykładem mogą być krystalicznedendryty (np. płatki śniegu), system naczyń krwionośnych, systemy wodne rzek, błyskawice, kwiaty kalafiora,kora mózgowa.[3]
↑Kenneth Falconer,Techniques in fractal geometry, John Willey and Sons, 1997,ISBN 0-471-92287-0.
↑WojciechW.DerkowskiWojciechW.,AlicjaA.KędziaAlicjaA.,Analiza wymiaru fraktalnego kory mózgowej oraz komputerowo uśrednianych poznawczych potencjałów wywołanych u chorych na chorobę Alzheimera., [w:]JanJ.Zarzycki (red.),Komputerowe wspomaganie badań naukowych =: The computer-aided scientific research, Prace Wrocławskiego Towarzystwa Naukowego. Seria B = The Works of Wrocław Scientific Society, Wrocław: Wrocławskie Towarzystwo Naukowe. Wydawnictwo, 2015 (nr 221), s. 13-20,ISBN 978-83-7374-091-4 [dostęp 2025-10-18].typ?
Michael FieldingM.F.BarnsleyMichael FieldingM.F.,Fractals Everywhere,HawleyH.Rising, wyd. 2nd ed., Boston: Academic Press Professional, 1993,ISBN 0-12-079061-0,OCLC28025975. Brak numerów stron w książce
Falconer, Kenneth.Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. West Sussex: John Wiley & Sons, Ltd., 2003.ISBN 0-470-84861-8.
JacekJ.KudrewiczJacekJ.,Fraktale i chaos, Warszawa: WNT, 1996,ISBN 83-204-1927-1,OCLC749317426. Brak numerów stron w książce
Mandelbrot, Benoît B.,The Fractal Geometry of Nature, New York: W.H. Freeman and Co., 1982,ISBN 0-7167-1186-9.
.jpg)
.jpg)
.jpg)
