Forma${\displaystyle k}$-liniowa, funkcjonał${\displaystyle k}$-liniowy, albo${\displaystyle k}$-tensor na przestrzeni liniowej${\displaystyle V}$ nad ciałem${\displaystyle K}$ to funkcja postaci

${\displaystyle F:V^k\to K,}$

liniowa względem wszystkich swoich argumentów. Formy${\displaystyle k}$-liniowe stanowią uogólnienieform liniowych idwuliniowych oraz jeden ze sposobów sformalizowania pojęciatensora. Odgrywają bardzo ważną rolę wgeometrii różniczkowej gdzie z reguły za ich pomocą definiuje sięformy różniczkowe i (pośrednio) całkę z formy różniczkowej porozmaitości.

Niech${\displaystyle V}$będzie przestrzenią liniową nadciałem${\displaystyle K.}$ Funkcję${\displaystyle F:V^k\to K,}$ która jestliniowa względem każdego ze swoich argumentów, tzn.

${\displaystyle F(v_1,\dots ,v_i+v_i^{\prime },\dots ,v_k)=F(v_1,\dots ,v_i,\dots ,v_k)+F(v_1,\dots ,v_i^{\prime },\dots ,v_k)}$

oraz

${\displaystyle F(v_1,\dots ,\alpha v_i,\dots ,v_k)=\alpha F(v_1,\dots ,v_i,\dots ,v_k)}$

dla dowolnych${\displaystyle v_1,\dots ,v_k,v_i^{\prime }\in V,\alpha \in K}$ i${\displaystyle i=1,\dots ,k}$ nazywamyformą${\displaystyle k}$-liniową, funkcjonałem${\displaystyle k}$-liniowym lub krótko:${\displaystyle k}$-formą lub${\displaystyle k}$-tensorem na${\displaystyle V}$^[1].

Zbiór${\displaystyle k}$-tensorów na${\displaystyle V}$ oznaczamy${\displaystyle T^k(V).}$

W${\displaystyle T^k(V)}$ na przestrzeni liniowej${\displaystyle V}$ nad ciałem${\displaystyle K}$ wprowadzamy strukturę przestrzeni liniowej definiując działania punktowo:

${\displaystyle (F+G)(x):=F(x)+G(x),}$

${\displaystyle (\alpha F)(x):=\alpha F(x)}$

dla${\displaystyle x\in V^k}$ i${\displaystyle \alpha \in K.}$

 Zobacz też:Iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych.

Bardzo ważnym działaniem na formach wieloliniowych jestiloczyn tensorowy form wieloliniowych${\displaystyle \otimes :T^k(V)\times T^l(V)\to T^{k+l}(V)}$ dany wzorem

${\displaystyle (F\otimes G)(v_1,\dots ,v_k,v_{k+1},\dots ,v_{k+l}):=F(v_1,\dots ,v_k)\cdot G(v_{k+1},\dots ,v_{k+l})}$

dla${\displaystyle v_1,\dots ,v_{k+l}\in V.}$ Działanie to będziemy w dalszym ciągu nazywać krótko iloczynem tensorowym.

Iloczyn tensorowy jest łączny:

${\displaystyle (F\otimes G)\otimes H=F\otimes (G\otimes H),}$

i rozdzielny względem dodawania:

${\displaystyle F\otimes (G+H)=F\otimes G+F\otimes H}$

${\displaystyle (F+G)\otimes H=F\otimes H+G\otimes H}$

nie jest jednak przemienny:

${\displaystyle F\otimes G\ne G\otimes F.}$

Istotnie, załóżmy, że przestrzeń liniowa${\displaystyle V}$ ma wymiar${\displaystyle n⩾2}$ i rozpatrzmy rzutowania${\displaystyle e^i}$ na${\displaystyle i}$-tą współrzędną względem bazy${\displaystyle (e_i{)}_{i=1}^n}$ tzn. funkcje${\displaystyle e^i:V\to K,i=1,\dots ,n}$ dane wzorem

${\displaystyle e^i(v)=e^i\left(\sum _{j=1}^n{v}_j{e}_j\right):=v_i.}$

Rzutowania${\displaystyle e^i}$ są${\displaystyle 1}$-formami, ma więc dla nich sens iloczyn tensorowy. Mamy

${\displaystyle e^1\otimes e^2(e_1,e_2)=e^1(e_1)e^2(e_2)=1\cdot 1\ne 0\cdot 0=e^2(e_1)e^1(e_2)=e^2\otimes e^1(e_1,e_2).}$

Załóżmy, że przestrzeń liniowa${\displaystyle V}$ nad${\displaystyle K}$ jest${\displaystyle n}$-wymiarowa i rozpatrzmy rzutowania na${\displaystyle i}$-tą współrzędną względem bazy${\displaystyle (e_i{)}_{i=1}^n}$ przestrzeni${\displaystyle V,}$ tzn. funkcje${\displaystyle e^i:V\to K}$ postaci

${\displaystyle e^i(v)=e^i\left(\sum _{j=1}^n{v}_j{e}_j\right):=v_i.}$

Rzutowania te są${\displaystyle 1}$-formami, ma zatem sens ich iloczyn tensorowy. Utwórzmy iloczyny

${\displaystyle e^{i_1}\otimes \dots \otimes e^{i_k}}$

dla pewnych indeksów${\displaystyle 1⩽i_1,\dots ,i_k⩽n.}$ Iloczyny te stanowią bazę przestrzeń${\displaystyle T^k(V).}$ W szczególności wynika z tego, że każdą${\displaystyle k}$-formę na${\displaystyle V}$ można jednoznacznie przedstawić w postaci

${\displaystyle F=\sum _{i_1,\dots ,i_k=1}^n{r}_{i_1,\dots ,i_k}{e}^{i_1}\otimes \dots \otimes e^{i_k}}$

dla pewnych skalarów${\displaystyle r_{i_1,\dots ,i_k}\in K.}$

Rozpatrzmy przestrzeń${\displaystyle T^k(W).}$ Każde przekształcenie liniowe${\displaystyle L:V\to W}$ indukuje odwzorowanie${\displaystyle L^{\ast }:T^k(W)\to T^k(V)}$ dane wzorem

${\displaystyle L^{\ast }F(v_1,\dots ,v_k):=F(L{v}_1,\dots ,L{v}_k),}$

dla${\displaystyle F\in T^k(W),}$ które nazywamycofnięciem formy.${\displaystyle L^{\ast }F}$ jest już${\displaystyle k}$-tensorem na${\displaystyle V.}$

W matematyce i fizyce szczególne znaczenie mają formy antysymetryczne, gdyż pola tensorów antysymetrycznych to jedyne pola tensorowe, które można całkować.

 Zobacz też:Forma różniczkowa.

Niech${\displaystyle F\in T^k(v).}$ Niech${\displaystyle S_k}$ oznacza rodzinę permutacji zbioru${\displaystyle \{1,\dots ,k\}.}$ Powiemy, że${\displaystyle F}$ jest formą antysymetryczną, jeżeli dla dowolnej permutacji${\displaystyle \sigma \in S_k}$ zachodzi

${\displaystyle F(v_{\sigma (1)},v_{\sigma (2)},\dots ,v_{\sigma (k)})=\mathrm{sgn}(\sigma )F(v_1,v_2,\dots ,v_k).}$

(1) Innymi słowy${\displaystyle F}$ jest formą antysymetryczną, jeżeli zamieniając miejscami dwa dowolne argumenty zmienia się znak formy${\displaystyle F}$ na przeciwny.

(2) Ponieważ jedyną permutacją zbioru${\displaystyle \{1\}}$ jestidentyczność i jej znak wynosi 1, to każda${\displaystyle 1}$-forma jest antysymetryczna.

(3) Zbiór${\displaystyle k}$-form antysymetrycznych na przestrzeni liniowej${\displaystyle V}$ oznaczamy${\displaystyle {\mathrm{\Lambda }}^k(V).}$

(4)${\displaystyle {\mathrm{\Lambda }}^k(V)}$ tworzy przestrzeń liniową wraz z działaniami zdefiniowanymi punktowo.

(5) Z powodu warunku antysymetryczności${\displaystyle {\mathrm{\Lambda }}^k(V)}$ na${\displaystyle n}$-wymiarowej przestrzeni liniowej${\displaystyle V}$ jest przestrzenią liniową${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}$-wymiarową. Wynika to z postaci bazy przestrzeni${\displaystyle {\mathrm{\Lambda }}^k(V).}$ W szczególności dla${\displaystyle k>n}$ formy antysymetryczne są tożsamościowo równe 0.

Dowolną formę${\displaystyle F\in T^k(V)}$ można „przerobić” na formę antysymetryczną za pomocą odwzorowania nazywanegoantysymetryzacją alboalternacją${\displaystyle \mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{t}:T^k(V)\to {\mathrm{\Lambda }}^k(V)}$ danego wzorem

${\displaystyle \mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{t}F(v_1,\dots ,v_k):=\frac{1}{k!}\sum _{\sigma \in S_k}\mathrm{sgn}(\sigma )F(v_{\sigma (1)},v_{\sigma (2)},\dots ,v_{\sigma (k)}).}$

Jeżeli${\displaystyle F\in T^k(V)}$ jest formą antysymetryczną to

${\displaystyle \mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{t}F=F,}$

czyli odwzorowanie alternacji nie zmienia form antysymetrycznych.

Ponieważ wynikiem iloczynu tensorowego form antysymetrycznych może nie być forma antysymetryczna, to wprowadza się „poprawiony” iloczyn tensorowy${\displaystyle \wedge :{\mathrm{\Lambda }}^k(V)\times {\mathrm{\Lambda }}^l(V)\to {\mathrm{\Lambda }}^{k+l}(V)}$ tak aby wynik mnożenia był formą antysymetryczną. Definiujemy go wzorem

${\displaystyle F\wedge G:=\frac{(k+l)!}{k!l!}\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{t}(F\otimes G).}$

Nazywamy goiloczynem zewnętrznym, alboalternującym. Iloczyn zewnętrzny jest łączny:

${\displaystyle (F\wedge G)\wedge H=F\wedge (G\wedge H),}$

rozdzielny względem dodawania:

${\displaystyle (F+G)\wedge H=F\wedge H+G\wedge H,}$

${\displaystyle F\wedge (G+H)=F\wedge G+F\wedge H.}$

Ponadto zachodzi:

${\displaystyle F\wedge G=(-1{)}^{kl}G\wedge F}$

dla${\displaystyle F\in {\mathrm{\Lambda }}^k(V),G\in {\mathrm{\Lambda }}^l(V).}$

Niech${\displaystyle V}$ będzie${\displaystyle n}$-wymiarową przestrzenią liniową nad ciałem${\displaystyle K.}$ Utwórzmy iloczyny

${\displaystyle e^{i_1}\wedge \dots \wedge e^{i_k}}$

dla Iloczyny te stanowią bazę przestrzeni${\displaystyle {\mathrm{\Lambda }}^k(V).}$ W szczególności wynika z tego, że każdą formę${\displaystyle F\in {\mathrm{\Lambda }}^k(V)}$ można jednoznacznie przedstawić w postaci

dla pewnych skalarów${\displaystyle r_{i_1,\dots ,i_k}\in K.}$

(1) Zdefiniujmy${\displaystyle F:{\mathbb{R}}^2\times {\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}}$ wzorem

${\displaystyle F(x,y)=F((x_1,x_2),(y_1,y_2)):=x_1{y}_1+2x_1{y}_2+3x_2{y}_1+4x_2{y}_2.}$

${\displaystyle F}$ jest${\displaystyle 2}$-tensorem. Możemy go zapisać w postaci

gdzie${\displaystyle e^1,e^2:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}}$ to rzutowania zdefiniowane

${\displaystyle e^1(x_1,x_2):=x_1,e^2(x_1,x_2):=x_2.}$

Widzimy, że${\displaystyle F}$ możemy zapisać

${\displaystyle F=e^1\otimes e^1+2e^1\otimes e^2+3e^2\otimes e^1+4e^2\otimes e^2.}$

(2)Iloczyn skalarny${\displaystyle ⟨\cdot ,\cdot ⟩:V\times V\to \mathbb{R}}$ to funkcja taka, że

${\displaystyle ⟨\alpha v_1+\beta v_2,v⟩=\alpha ⟨v_1,v⟩+\beta ⟨v_2,v⟩,}$

${\displaystyle ⟨v,\alpha v_1+\beta v_2⟩=\alpha ⟨v,v_1⟩+\beta ⟨v,v_2⟩.}$

Wynika z tego, że iloczyn skalarny jest${\displaystyle 2}$-tensorem na${\displaystyle V.}$

(3) Definicja aksjomatycznawyznacznika mówi, że wyznacznik to funkcja${\displaystyle det:({\mathbb{R}}^n{)}^n\to \mathbb{R}}$ taka, że

${\displaystyle det(v_1,\dots ,v_i+v_i^{\prime },\dots ,v_n)=det(v_1,\dots ,v_i,\dots ,v_n)+det(v_1,\dots ,v_i^{\prime },\dots ,v_n),}$

${\displaystyle det(v_1,\dots ,\alpha v_i,\dots ,v_n)=\alpha det(v_1,\dots ,v_i,\dots ,v_n),}$

${\displaystyle det(v_1,\dots ,v_i,\dots ,v_j,\dots ,v_n)=-det(v_1,\dots ,v_j,\dots ,v_i,\dots ,v_n),}$

Gdzie${\displaystyle v_1,v_2,\dots ,v_n}$ oznaczają tutaj kolumny macierzy${\displaystyle (v_1,v_2\dots ,v_n).}$ Oznacza to, że wyznacznik jest${\displaystyle n}$-tensorem na${\displaystyle {\mathbb{R}}^n.}$ Co więcej, jest to tensor antysymetryczny.

(4) Niech${\displaystyle V}$ będzie przestrzenią liniową z pewną bazą${\displaystyle (e_i{)}_{i=1}^n.}$ Obliczmy${\displaystyle e^i\wedge e^j.}$ Z definicji iloczynu zewnętrznego mamy

Widzimy, że

${\displaystyle e^i\wedge e^j=e^i\otimes e^j-e^j\otimes e^i.}$

W szczególności wynikają z tego przydatne związki

${\displaystyle e^i\wedge e^j=-e^j\wedge e^i,e^i\wedge e^i=0.}$

• forma różniczkowa
• iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych
• tensor

• L Górniewicz, R.S. Ingarden: Analiza matematyczna dla fizyków. Wydawnictwo Naukowe UMK. Brak numerów stron w książce
• M. Spivak: Analiza matematyczna na rozmaitościach. Brak numerów stron w książce

• Formy na przestrzeniach liniowych

• Uniwersalny szablon cytowania – brak strony
• Szablon cytowania książki – brak numeru strony