Ten artykuł od 2024-02 zawiera treści, przy którychbrakuje odnośników do źródeł.

Należy dodaćprzypisy do treści niemających odnośników do źródeł. Dodanie listyźródeł bibliograficznych jest problematyczne, ponieważ nie wiadomo, które treści one uźródławiają.
Sprawdź w źródłach:Encyklopedia PWN •Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych •BazHum •BazTech •RCIN • Internet Archive (texts /inlibrary)
Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon{{Dopracować}} z tego artykułu.

Forma liniowa (funkcjonał liniowy, kowektor) –przekształcenie liniowe danejprzestrzeni liniowej wciało jej skalarów, czylifunkcjonał, który jest liniowy, tj.addytywny ijednorodny. Pojęcie to uogólnia się bez zmian na przypadekmodułów nadpierścieniami.

Niech${\displaystyle V}$ będzieprzestrzenią liniową nadciałem${\displaystyle K.}$ Przekształcenie${\displaystyle \phi :V\to K}$ nazywa sięformą liniową (funkcjonałem liniowym,kowektorem), jeżeli jest ono

• jednorodne,

  ${\displaystyle {\mathrm{\forall }}_{c\in K}{\mathrm{\forall }}_{\mathbf{x}\in V}\phi (c\mathbf{x})=c\phi (\mathbf{x}),}$

• addytywne,

  ${\displaystyle {\mathrm{\forall }}_{\mathbf{x},\mathbf{y}\in V}\phi (\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{y})=\phi (\mathbf{x})+\phi (\mathbf{y});}$

równoważnie można powiedzieć, że jestliniowe, czyli spełnia warunek:

${\displaystyle {\mathrm{\forall }}_{c,d\in K}{\mathrm{\forall }}_{\mathbf{x},\mathbf{y}\in V}\phi (c\mathbf{x}+d\mathbf{y})=c\phi (\mathbf{x})+d\phi (\mathbf{y}).}$

Niech wektory przestrzeni rzeczywistej${\displaystyle {\mathbb{R}}^n}$ są reprezentowane jako wektory kolumnowe

${\displaystyle \overrightarrow{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right].}$

Wtedy każdy funkcjonał liniowy${\displaystyle f}$ postaci

${\displaystyle f(\overrightarrow{x})=a_1{x}_1+\dots +a_n{x}_n}$

można wyrazić w postaci wektora wierszowego${\displaystyle [a_1\dots a_n].}$ Działanie funkcjonału na wektor można wyrazić jako mnożenie skalarne wektora${\displaystyle [a_1\dots a_n]}$ przez wektor${\displaystyle \overrightarrow{x}:}$

${\displaystyle f(\overrightarrow{x})=[a_1\dots a_n]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right].}$

Funkcjonał${\displaystyle f:{\mathbb{R}}^3\to \mathbb{R}}$ dany jest wzorem

${\displaystyle f(x,y,z)=x+2y+3z.}$

Funkcjonał ten można przedstawić za pomocą wektora wierszowego, tj.

${\displaystyle f=[1,2,3],}$

a wektory przestrzeni${\displaystyle {\mathbb{R}}^3}$ za pomocą wektorów kolumnowych

${\displaystyle \overrightarrow{v}=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right].}$

Zbiór wszystkich funkcjonałów${\displaystyle \{f,f:{\mathbb{R}}^3\to \mathbb{R}\}}$ tworzy przestrzeń liniową nad ciałem liczb rzeczywistych, gdyż dla dowolnych funkcjonałów${\displaystyle f,g:{\mathbb{R}}^3\to \mathbb{R}}$ dowolna kombinacja liniowa

${\displaystyle h=c_{1}f+c_{2}g}$

jest funkcjonałem${\displaystyle h:{\mathbb{R}}^3\to \mathbb{R},}$ przy czym${\displaystyle c_1,c_2}$ są dowolnymi liczbami rzeczywistymi.

Działania na funkcjonałach można zastąpić działaniami na wektorach wierszowych i np. zdefiniowaćiloczyn skalarny funkcjonałów za pomocąiloczynu skalarnego odpowiadających im wektorów wierszowych. W ten sposób przestrzeń funkcjonałów staje sięprzestrzenią metryczną, z metryką (odległością) generowaną przez iloczyn skalarny

${\displaystyle d(f,g)=⟨f-g|f-g⟩.}$

Wymiar przestrzeni z przykładu jest równy 3: jest tak dlatego, że dowolny funkcjonał można przedstawić w bazie trzechliniowo niezależnych funkcjonałów; odpowiadają im trzy liniowo niezależne wektory wierszowe; jako bazę wybiera się standardowo funkcjonały reprezentowane przez wektory postaci

${\displaystyle e_1=[1,0,0],e_2=[0,1,0],e_3=[0,0,1],}$

które są wzajemnie ortogonalne, przy tym wektorom${\displaystyle e_1,e_2,e_3}$ odpowiadają funkcjonały${\displaystyle f_1,f_2,f_3:{\mathbb{R}}^3\to \mathbb{R}}$ dane wzorami:

${\displaystyle f_1(x,y,z)=x,}$

${\displaystyle f_2(x,y,z)=y,}$

${\displaystyle f_3(x,y,z)=z.}$

Wymiar przestrzeni funkcjonałów jest tu równy 3 – czyli jest równy wymiarowi przestrzeni, na jakiej funkcjonały działają. Silna zależność przestrzeni funkcjonałów od przestrzeni, na jakiej działają, powoduje, że przestrzeń tę nazywa sięprzestrzenią dualną lubsprzężoną do${\displaystyle V}$ i oznacza${\displaystyle V^{\ast };}$ w podanym przykładzie przestrzeń dualna jest przestrzenią rzeczywistą, tj.${\displaystyle V^{\ast }\equiv {\mathbb{R}}^3;}$ elementy przestrzeni dualnej nazywa siękowektorami.

Zauważmy, że podane wyżej kowektory${\displaystyle e_1,e_2,e_3}$ odpowiadające funkcjonałom${\displaystyle f_1,f_2,f_3:{\mathbb{R}}^3\to \mathbb{R}}$ są unormowane do 1, jeżeli jakonormę wprowadzi się standardowyiloczyn skalarny w przestrzeni dualnej${\displaystyle V^{\ast }.}$ Bazę tak unormowaną nazywa siębazą dualną ortonormalną.

Funkcjonały liniowe pojawiły się po raz pierwszy wanalizie funkcjonalnej, która bada przestrzenie wektorowe funkcji, a typowym przykładem funkcjonału liniowego jestcałkowanie.

Przykład:

Całka Riemanna jest funkcjonałem z przestrzeni funkcji ciągłych na przedziale [a, b] na zbiór liczb rzeczywistych,${\displaystyle I:C[a,b]\to \mathbb{R},}$ danym wzorem

${\displaystyle I(f)={\int }_a^{b}f(x)dx.}$

Liniowość funkcjonału całkowego wynika z podstawowych własności całki:

${\displaystyle I(f+g)={\int }_a^b[f(x)+g(x)]dx={\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_a^{b}g(x)dx=I(f)+I(g),}$

${\displaystyle I(\alpha f)={\int }_a^b\alpha f(x)dx=\alpha {\int }_a^{b}f(x)dx=\alpha I(f).}$

 Zobacz też:przykłady przestrzeni liniowych.

Każda forma liniowa jest albotrywialna (równa zeru dla każdego wektora) albo„na” (ciało skalarów), co wynika wprost z uwagi, iż${\displaystyle K}$ może być traktowana jako jednowymiarowa przestrzeń liniowa – jej jedynymi podprzestrzeniami są podprzestrzeń trywialna${\displaystyle \{0\}}$ lub niewłaściwa${\displaystyle K.}$ Formy liniowe o tym samym jądrze są proporcjonalne.

Forma liniowa jestciągła wtedy i tylko wtedy, gdy jejjądro jestdomknięte.Wartość bezwzględna dowolnej formy liniowej jestpółnormą na przestrzeni liniowej, na której została określona.

 Osobne artykuły:działanie określone punktowo, przestrzeń dualna i przestrzeń sprzężona.

Zbiór${\displaystyle \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(V,K)}$ wszystkich form liniowych${\displaystyle V\to K}$ z przestrzeni${\displaystyle V}$ na ciało${\displaystyle K}$ tworzy przestrzeń liniową (por.przestrzeń funkcyjna) z działaniami dodawania form liniowych,${\displaystyle \phi +\psi ,}$ i mnożenia przez skalary,${\displaystyle c\phi ;}$ jeżeli${\displaystyle \mathbf{v}}$ jest wektorem przestrzeni${\displaystyle V,}$ a${\displaystyle c}$ jest skalarem w${\displaystyle K,}$ to

${\displaystyle (\phi +\psi )(\mathbf{v})=\phi (\mathbf{v})+\psi (\mathbf{v})}$

oraz

${\displaystyle (c\phi )(\mathbf{x})=c\phi (\mathbf{x}).}$

Przestrzeń${\displaystyle \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(V,K)}$ nazywa sięprzestrzenią dualną (lubsprzężoną) do przestrzeni${\displaystyle V}$ i oznacza symbolem${\displaystyle V^{\star }.}$ W przypadku, gdy${\displaystyle V}$ jest przestrzenią liniową nieskończonego wymiaru (z dodatkowąstrukturą topologiczną, tj.przestrzenią liniowo-topologiczną) daleko bardziej produktywne bywa ograniczenie się dopodprzestrzeni${\displaystyle V^{\prime }}$ wszystkich tych form liniowych, które sąciągłe (zob.operator liniowy nieciągły).

Jeśli${\displaystyle V}$ jest skończeniewymiarowa, to${\displaystyle V^{\star }=V^{\prime },}$ gdyż wszystkie formy liniowe są wtedy ciągłe; a ponadto przestrzenie${\displaystyle V}$ oraz${\displaystyle V^{\star }}$ są równegowymiaru, co oznacza, iż są oneizomorficzne (jako izomorficzne z tymi samymiprzestrzeniami współrzędnych). Utożsamienie przestrzeni liniowej z jej przestrzenią dualną za pomocąformy dwuliniowej bądźformy półtoraliniowej (szczególnie, gdy ciałem skalarów sąliczby rzeczywiste lubzespolone) umożliwia zdefiniowanie na niejgeometrii. Np. standardowym sposobem tego rodzaju utożsamienia jest wprowadzenieiloczynu skalarnego. Ten naturalny krok tłumaczy alternatywną nazwę form liniowych: „kowektor”. Kowektory danej przestrzeni mają nieco inne własności niż wektory (zob.dualność i iloczyn skalarny w przestrzeniach współrzędnych).

Typy form

• forma
• forma półtoraliniowa
• forma dwuliniowa
• forma kwadratowa

Własności

• określoność formy

Przykłady form w geometrii

• metryka euklidesowa
• metryka pseudoriemannowska
• metryka riemannowska

Inne

• przestrzeń sprzężona z przestrzenią Banacha
• twierdzenie o oddzielaniu

• Andrzej Birkholc: Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1986. Brak numerów stron w książce

• Formy na przestrzeniach liniowych
• Analiza funkcjonalna

• Artykuły z brakującymi przypisami od 2024-02
• Szablon cytowania książki – brak numeru strony