Element algebraiczny – uogólnienie pojęcialiczby algebraicznej narozszerzenia dowolnychciał. Liczby algebraiczne to elementy algebraiczne ciałaliczb zespolonych nad ciałemliczb wymiernych.

Niech${\displaystyle K}$ będziepodciałem ciała${\displaystyle L.}$ Element${\displaystyle a\in L}$ nazywamyelementem algebraicznym nad${\displaystyle K}$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje niezerowywielomian o współczynnikach z ciała${\displaystyle K,}$ którego pierwiastkiem jest${\displaystyle a.}$

Element niebędący algebraicznym nad${\displaystyle K}$ nazywamyelementem przestępnym nad${\displaystyle K}$ w ciele${\displaystyle L.}$

• Zbiór wszystkich elementów ciała${\displaystyle L}$ algebraicznych nad${\displaystyle K}$ tworzy ciało, zwanerozszerzeniem algebraicznym ciała${\displaystyle K.}$
• Jeśli${\displaystyle a\in L}$ jest elementem algebraicznym nad${\displaystyle K,}$ to

${\displaystyle K(a)=K[a]=\{f(a)\in L:f\in L[x]\}}$ (por. oznaczenia w artykulerozszerzenia ciał)

• Dla każdego elementu algebraicznego${\displaystyle a\in L}$ nad${\displaystyle K}$ istnieje dokładnie jedenunormowany wielomian pierwszy${\displaystyle p_a}$ o współczynnikach z ciała${\displaystyle K}$ (tj.element pierwszy w pierścieniu${\displaystyle K[x]}$), którego pierwiastkiem jest${\displaystyle a.}$ Wielomian${\displaystyle p_a}$ nazywamywielomianem minimalnym elementu algebraicznego${\displaystyle a.}$ Zachodzi${\displaystyle [F(a):F]=\mathrm{deg}{p}_a.}$ Stopień ten nazywamystopniem elementu algebraicznego${\displaystyle a.}$

• Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987. Brak numerów stron w książce
• Andrzej Mostowski, Marceli Stark: Elementy algebry wyższej. Warszawa: PWN, 1975. Brak numerów stron w książce

• Teoria ciał
• Własności elementów pierścieni

• Szablon cytowania książki – brak numeru strony