Movatterモバイル変換

[0]ホーム

Przejdź do zawartości

Dziedzina całkowitości

Edytuj linki

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Dziedzina całkowitości,pierścień całkowity^[1] –pierścień spełniający cztery warunki – jest:

niezerowy,
przemienny,
z jedynką,
pozbawiony (właściwych)dzielników zera.

Pierścienie te są uogólnieniempierścienia liczb całkowitych i stanowią one naturalny kontekst do badaniapodzielności ze względu na dość regularne reguły przeprowadzania rachunków; najistotniejszą ich własnością jest tzw.prawo skracania.

Nieprzemienne dziedziny całkowitości nazywa siędziedzinami, wiele pozycji jednak się nimi nie zajmuje (ograniczając się do klasy pierścieni przemiennych), nazywając dziedziny całkowitości w skrócie równieżdziedzinami. Inną nazwą dziedziny całkowitości, pochodzącą odLanga^{[potrzebny przypis]}, jestpierścień całkowity.

Własności

[edytuj |edytuj kod]

Niech $R {\displaystyle R}$ będzie dziedziną całkowitości. Jeżeli $a,b,c\in R,$ przy czym $c\neq 0,$ to zachodziwłasność skracania:

jeśli

ac=bc,

a=b.

Dowód: Niech

c\neq 0.

Jeśli

ac=bc,

ac-bc=0,

czyli

(a-b)c=0.

Ale w pierścieniu

R {\displaystyle R}

nie ma dzielników zera, więc

a-b=0.

Stąd

a=b.

Każdeciało jest dziedziną całkowitości.
Dowód: Zbiór niezerowych elementów ciała jest grupą, tzn. iloczyn niezerowych elementów jest różny od zera.
Każda skończona dziedzina całkowitości jest ciałem.
Dowód: Wystarczy wykazać, że dowolny niezerowy element jest odwracalny. Rozważmy dla danego elementu $a\neq 0$ jego iloczyny ze wszystkimi $n {\displaystyle n}$ elementami pierścienia: $aa_{1},aa_{2},\dots ,aa_{n}.$ Gdyby wśród nich nie było jedynki, to pewien element występowałby dwa razy (co najmniej) dla iloczynów z różnymi elementami, np. $aa_{i}=aa_{j}$ dla pewnych $i\neq j.$ Ale z własności skracania wynika $a_{i}=a_{j}$ wbrew temu, że $a_{i},\ a_{j}$ są różnymi elementami.