Był graczem praworęcznym, wyróżniał się na korcie wysokim wzrostem, słynął z topspinowego bekhendu, uważanego za jeden z najlepszych bekhendów w historii tenisa. Eksperci sportowi umieszczają go w gronie najważniejszych postaci tenisa XX wieku. Znalazł się m.in. w gronie 20 najlepszych graczy według pisma „Tennis Magazine”. Szczególnie wysoko cenił Budge'aWilliam Tilden, który napisał o nim:
„Budge u szczytu swojej kariery był najlepszy ze wszystkich... Grałem w ciągu ostatnich dwudziestu pięciu lat przeciwko wszystkim największym zawodnikom i mogę powiedzieć, że w okresie pełnych sześciu lat, kiedy był na wierzchołku, tak jako amator i później jako zawodowiec, Budge grał najrówniej. Nikt tak dobrze jak on nie grał przez 365 dni w ciągu roku”.
W 1934 roku Budge był już klasyfikowany w najlepszej dziesiątce tenisistów amerykańskich, a rok później w czołowej dziesiątce świata. Spotykał się kilkakrotnie z ówczesnym liderem amatorskiego tenisa,Fredem Perrym, przegrywając z nim m.in. naWimbledonie imistrzostwach USA (obecnie US Open) w 1936 roku. Zdołał pokonać utytułowanego rywala w nieco mniej prestiżowym turnieju, Pacific Southwest.
W 1937 roku Amerykanin wygrał w Wimbledon i mistrzostwa USA, a także poprowadził zespół narodowy do pierwszego po kilkunastu latach triumfu wPucharze Davisa. Budge w zespole narodowym w 29 meczach poniósł 4 porażki. Jako lider rankingu światowego zdobywał punkty w grze pojedynczej, a także tworzył skuteczną parę deblową zGene’em Mako. W meczu finałowym z Wielką Brytanią Budge zadecydował o sukcesie swojej drużyny, zdobywając punkty zarówno w grze pojedynczej (przeciwkoCharliemu Hare iBunny'emu Austinowi), jak i w deblu wspólnie z Mako.
Sukcesy w turnieju wimbledońskim (oprócz singla wygrał także debel z Mako i mikst zAlice Marble) oraz w Pucharze Davisa zadecydowały o przyznaniu Budge'owi kilku prestiżowych nagród – Nagrody Jamesa Sullivana dla najlepszego amatorskiego sportowca amerykańskiego oraz tytułu Sportowca RokuAssociated Press. Otrzymał on także propozycję przejścia do grona tenisistów zawodowych, ale nie przyjął jej i kontynuował występy w turniejach amatorskich.
W 1938 roku Budge jako pierwszy zawodnik w historii wygrał cztery najważniejsze turnieje, kompletując Wielkiego Szlema. W finaleAustralian Championships (obecnie Australian Open) pokonałJohna Bromwicha, wFrench Championships (obecnie French Open) okazał się lepszy odRodericha Menzela. Powtórzył sukces na Wimbledonie, triumfując we wszystkich trzech kategoriach. W finale gry pojedynczej pokonał Bunny’ego Austina. W mistrzostwach USA zwyciężył w finale z Gene’em Mako. Tegoż samego roku Budge przyczynił się do skutecznej obrony Pucharu Davisa przez zespół amerykański. W całym sezonie poniósł dwie porażki, poza turniejami wielkoszlemowymi wygrywając 2 kolejne imprezy.
W latach 1937–1938 Amerykanin zaliczył serię 92 pojedynków bez porażki, co przełożyło się na 14 wygranych turniejów. Zdecydował się ostatecznie na przejście na zawodowstwo; występy w gronie amatorów zakończył porażką z Australijczykiem Bromwichem na turnieju Pacific Coast w Berkeley.
Jako zawodowiec debiutował w 1939 roku w Madison Square Garden wNowym Jorku, pokonując dawnego mistrza WimbledonuEllswortha Vinesa. W serii pojedynków z tym rywalem w ciągu roku odniósł 21 zwycięstw i poniósł 18 porażek. Skuteczniej grał przeciwko Fredowi Perry'emu odnotowując 18 wygranych i 11 porażek. W 1941 roku Budge okazał się lepszy od Williama Tildena, wygrywając 51 pojedynków z 58, jednak Tilden liczył sobie w tamtym okresie 47 lat. W 1940 i 1942 roku Budge zdobywał mistrzostwo USA zawodowców, pokonując w finałach Ferda Perry’ego iBobby’ego Riggsa. W latach 1946, 1947 i 1949 Budge przegrywał z Riggsem finały mistrzostw USA zawodowców, a w 1953 roku uległ w finaleRicardo Gonzálezowi. Wkrótce zakończył występy zawodowe, poświęcając się pracy trenerskiej z młodzieżą.
Powrócił na korty werze open tenisa, uczestnicząc w deblowej rywalizacji weteranów na Wimbledonie. Wygrał ten turniej w 1973 roku w parze zFrankiem Sedgmanem.