Ten artykuł od 2021-01 wymagazweryfikowania podanych informacji.

Należy podać wiarygodne źródła w formieprzypisów bibliograficznych.
Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte.
Sprawdź w źródłach:Encyklopedia PWN •Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych •BazHum •BazTech •RCIN • Internet Archive (texts /inlibrary)
Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się wdyskusji tego artykułu.
Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon{{Dopracować}} z tego artykułu.

Diagonalizacja – sprowadzeniemacierzy kwadratowej do postacidiagonalnej^[1], a konkretniejrozkład macierzy${\displaystyle A\in M_k(K)}$ nailoczyn macierzy${\displaystyle P,\mathrm{\Delta },P^{-1}\in M_k(K):}$

${\displaystyle A=P\mathrm{\Delta }{P}^{-1},}$

gdzie${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ jest macierzą diagonalną.

Macierz${\displaystyle P}$ jest nazywanamacierzą przejścia.

Współczynniki na głównej przekątnej macierzy diagonalnej${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ są równe kolejnymwartościom własnym macierzy${\displaystyle A,}$ z kolei kolumny macierzy${\displaystyle P}$ stanowią kolejnewektory własne macierzy${\displaystyle A.}$

Macierze kwadratowe, które można przedstawić w postaci diagonalnej, nazywamydiagonalizowalnymi.

Rozkład Jordana irozkład wartości osobliwych to dwa różne uogólnienia diagonalizacji, działające dla dowolnych macierzy.

Diagonalizacja ułatwiapotęgowanie macierzy:

gdzie:

• ${\displaystyle P^{-1}P=I_k,}$ gdzie${\displaystyle I_k}$ jestmacierzą jednostkową stopnia${\displaystyle k,}$
• ${\displaystyle {\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_k}$ są wartościami własnymi macierzy${\displaystyle A,}$
• ${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}^n=\mathrm{diag}({\lambda }_1^n\dots {\lambda }_k^n)}$ jestmacierzą diagonalną o współczynnikach będących potęgami kolejnych wartości własnych.

Macierzesymetryczne ihermitowskie są diagonalizowalne. Ogólniej,macierze normalne są diagonalizowalne unitarnie – tzn. istnieje dla nichunitarna macierz przejścia dla rozkładu diagonalnego.

W szczególności:

• jeśli${\displaystyle A}$ jestmacierzą symetryczną, to ma rozkład diagonalny${\displaystyle A=P\mathrm{\Delta }{P}^{-1},}$ w którym${\displaystyle P}$ jest pewnąmacierzą ortogonalną,
• jeśli${\displaystyle A}$ jestmacierzą hermitowską, to ma rozkład diagonalny${\displaystyle A=P\mathrm{\Delta }{P}^{-1},}$ w którym${\displaystyle P}$ jest pewnąmacierzą unitarną, a wartości własne sąrzeczywiste,

Jeśli dla pewnej macierzy${\displaystyle A}$ mamy rozkład diagonalny

${\displaystyle A=P\mathrm{\Delta }{P}^{-1},}$

wówczas:

• macierze${\displaystyle A}$ i${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ sąpodobne,
• iloczyn wszystkichwartości własnych macierzy${\displaystyle A}$ jest równy jejwyznacznikowi,
• jeśli${\displaystyle A}$ jestmacierzą dodatnio określoną, wartości własne sąnieujemne.

Załóżmy, że${\displaystyle (V,\xi )}$ jestprzestrzenią ortogonalną oraz${\displaystyle ({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)}$ jest bazą${\displaystyle V}$ taką, że dla każdego${\displaystyle 1⩽k⩽n-1}$ zachodzi${\displaystyle g({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_k)\ne 0}$ (wyznacznik Grama). Wtedy istnieje baza prostopadła${\displaystyle ({\beta }_1,\dots ,{\beta }_n)}$przestrzeni${\displaystyle V,}$ w której${\displaystyle \xi }$ ma macierz:

gdzie${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}_k=g({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_k)}$ dla${\displaystyle k\in \{1,\dots ,n\}}$

• postać Jordana

• Macierze kwadratowe
• Endomorfizmy liniowe
• Rozkłady macierzy

• Artykuły wymagające uzupełnienia źródeł od 2021-01